第八章静电场中的导体和电介质8-1 静电场中的导体一、静电感应导体的静电平衡条件1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时，称这种状态为导体的静电平衡。（2）静电平衡条件从场强角度看：导体内任一点，场强0E；导体表面上任一点E与表面垂直。从电势角度也可以把上述结论说成：导体内各点电势相等；导体表面为等势面。用一句话说：静电平衡时导体为等势体。二、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内无空腔时电荷分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：内SSqsdE01导体静电平衡时其内0E，0sdES， 即0内Sq。S面是任意的，导体内无净电荷存在。结论： 静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为：内SSqsdE01静电平衡时，导体内0E0内Sq，即 S内净电荷为 0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷空腔内表面上的净电荷为0。但是， 在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现 +q，B 点附近出现 -q，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，BAUU, 但静电平衡时，导体为等势体，即BAUU，因此，假设不成立。结论： 静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上， （腔内电势与导体电势相同） 。（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点电荷+q，在导体内作一高斯面S，高斯定理为内SSqsdE01静电平衡时0E，0内Sq。又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页腔内表面必有感应电荷 -q， 。结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q，外表面有感应电荷 +q。3、导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积元S（很小）上，电荷分布如图所示，过S边界作一闭合柱面， S上下底1S 、2S 均与S平行，S侧面3S 与S垂直，柱面的高很小，即1S 与2S 非常接近S，此柱面并且是关于S对称的。 S作为高斯面，高斯定理为内SSqsdE01SEESdsEsdEsdEsdEsdEsdEsSSSSSS111321很小SqS0011内SSE010E（注意与无限大带电平面02E的区别） 。结论： 导体表面附近，E。4、导体表面曲率对电荷分布影响根据实验，一个形状不规则的导体带电后，在表面上曲率越大的地方场强越强。由上面讲到的结果知， E大的地方，必大，所以曲率大的地方电荷面密度大。5、尖端放电三、静电屏蔽由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响。另一方面，一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界的带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。应用：如电话线从高压线下经过， 为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等。例 8-1：在电荷 +q 的电场中，放一不带电的金属球，从球心O到点电荷所在距离处的矢径为 r ，试问（1）金属球上净感应电荷q？（2）这些感应电荷在球心O处产生的场强E？解： （1）q0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页（2）球心O处场强0E（静电平衡要求），即+q在O处产生的场强E与感应电荷在O处产生场强的矢量和 =0。0感EErrqEE304感方向指向 +q。（感应电荷在O处产生电势 =？球电势 =？选无穷远处电势 =0。 ）8-2 电容电容器一、孤立导体的电容在真空中设有一半径为R 的孤立的球形导体，它的电量为q，那么它的电势为（取无限远处电势=0）RqU04对于给定的导体球，即R一定，到q变大时， U也变大，q变小时，U也变小，但是RUq04确不变， 此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，Uq仅与导体大小和形状等有关，因而有下面定义。定义：孤立导体的电量q 与其电势 U之比称为孤立导体电容，用C表示，记作：UqC（8-1）对于孤立导体球，其电容为RRqqUqC0044。 C的单位为：F （法） ，1F=1C/1V 。在实用中 F 太大，常用F或pF，他们之间换算关系：pFFF12610101。（电容与电量的存在与否无关）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页二、电容器实际上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然影响导体电容。下面我们具体讨论电容器的电容。1、电容器：两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。2、电容器电容：如图所示，两个导体A、B放在真空中，它们所带的电量分别为+q，-q ，如果 A、B电势分别为AU、BU，那么 A、B电势差为BAUU，电容器的电容定义为：BAUUqC（8-2）由上可知，如将 B移至无限远处，BU=0。所以，上式就是孤立导体的电容。所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。所以，孤立导体电容是B放在无限远处时BAUUqC的特例。导体 A、B常称电容器的两个电极。三、电容器电容的计算1、平行板电容器的电容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页设 A、B二极板平行，面积均为S，相距为 d，电量为 +q，-q，极板线度比 d 大得多，且不计边缘效应。所以 A、B间为均匀电场。由高斯定理知， A、B间场强大小为)(0SqE。dSUUqCdSqEdUUBABA00dSC0（8-3）2、球形电容器设二均匀带电同心球面A、B，半径AR 、BR ，电荷为 +q，-q。A、B间任一点场强大小为：204rqE，BAABBARRRRRRBARR)RR(qRRqdrrqEdrrdEUUBABABA002041144ABBABAABBARRRRRRRRqqUUqC0044)(。讨论： （1）当AABRRR时，有ABRR，令dRRAB，则dSdRUUqCAABA0204即平行板电容器结果。（2）A为导体球或 A、B均为导体球壳结果如何？3、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为AR 、BR ，电荷为 +q，-q ，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量lq，l是柱高。由高斯定理知， A、B内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页任一点 P处E的大小为rE02ABRRRRRRBARRdrrEdrrdEUUBABABAln2200，ABABBARRlRRqUUqCln2ln200。（可知：在计算电容器时主要是计算两极间的电势差）。四、电介质对电容器电容的影响以上所得电容是极间为真空情况，若极间充满电介质（不导电的物质） ，实际表明，此时电容C要比真空情况电容0C 大，可表示10rCC，或0CCr。r与介质有关，称为相对介电系数。以上各情况若充满电介质（极间） ，有：球形：ABBAABBArBARRRRRRRRUUqC440；平板：dSdSCr0；柱形：ABABrRRlnlRRlnlC220。r0称为介质的介电常数。000CCCr充介质后（1r）五、电容器的串联与并联在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来。若干个电容器连接成电精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。1、串联：几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。设 A、B间的电压为BAUU，两端极板电荷分别为 +q，-q，由于静电感应，其它极板电量情况如图，nBACqCqCqCqUU321。由电容定义有nBACCCCUUqC11111321nCCCCC11111321（8-4）2、并联：每个电容器的一端接在一起，另一端也接在一起。 （特点：每个电容器两端的电压相同，匀为BAUU，但每个电容器上电量不一定相等）等效电量为：nqqqqq321，由电容定义有：nBAnBACCCCUUqqqqUUqC321321nCCCCC321（8-5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页例 8-2：平行板电容器，极板宽、长分别为a 和 b，间距为 d，今将厚度 t ，宽为 a 的金属板平行电容器极板插入电容器中，不计边缘效应，求电容与金属板插入深度x 的关系（板宽方向垂直底面）。解：由题意知，等效电容如左下图所示，电容为：323211CCCCCCCC)()()()()()(0001100101010100tdtxbdatdaxdxbaddtdaxdxbadtdaxdaxdtdaxdaxdxba说明： C大小与金属板插入位置（距极板距离）无关；注意： （1）掌握串并联公式；（2）掌握平行板电容器电容公式。例 8-3：半径为 a 的二平行长直导线相距为d（da） ，二者电荷线密度为，试求（ 1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。解： （1）如图所取坐标， P点场强大小为：)(2200xdxEEEBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页aadln)aadaadln(aadxdxlnaad)xdln(xlndx)xd(xEdxxdEUadaBABAAB00000022222（2）aadaadUUqCBAlnln100注意： （1）rE02公式。（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件。8-3 电介质的电极化一、电极化实验表明，充电后的电容器去掉电源，再插入某种电介质（如：玻璃，硬橡胶等），则极板间电压减小了。由EdU知，E减小了。 E是如何减少的呢？从平板电容场强公式0E知，E 的减小，意味着电介质与极板的接触处的电荷面密度减小了。但是，极板上的电荷0q 没变，即电荷面密度0没变，这种改变只能是电介质上的两个表面出现了如图所示的正、负电荷q 。电介质在外电场0E 作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的电极化。电极化时电介质表面处出现的净电荷称为极化电荷（束缚电荷） ，0q 称为自由电荷。可见，电荷面密度0（自由电荷面密度） -（极化电荷面密度），即减小了。（束缚电荷受到限制，束缚电荷量比自由电荷少的多，故比0少的多。 ）E减小。另外，可从图看出，q 产生的场强E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页与0q 产生的场强0E 相反，所以它的场强为0EEE，即减小了，这也可以解释实验结果。二、电极化的微观机理1、电介质分类（ 2 类）（ 1）无极分子电介质：无外电场时，分子正负电荷中心重合（如42,CHHeH等） 。（2）有极分子电介质：即使无外电场时，分子的正负电荷中心也不重合（如：COOHNHHCl,23等） 。分子正负电荷中心不重合时相当于一电偶极子。2、电极化微观机理（1）无极分子的电极化无极分子在没有受到外电场作用时， 它的正负电荷的中心是重合的，因而没有电偶极矩，如图a 所示，但当外电场存在时，它的正负电荷的中心发生相对位移，形成一个电偶极子，其偶极矩p方向沿外电场0E 方向，如图 b 所示。对一块介质整体来说，由于电介质中每一个分子都成为电偶极子，所以，它们在电介质中排列如图，在电介质内部，相邻电偶极子正负电荷相互靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍是电中性的，但在和外电场垂直的两个端面上就不同了。由于电偶极子的负端朝向电介质一面，正端朝向另一面，所以电介质的一面出现负电荷，一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页面出现正电荷，显然这种正负电荷是不能分离的，故为束缚电荷。结论： 无极分子的电极化是由于分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，这种电极化称为位移电极化。（2）有极分子的电极化有极分子本身就相当于一个电偶极子，在没有外电场时，由于分子做不规则热运动，这些分子偶极子的排列是杂乱无章的，如图d 所示，所以电介质内部呈电中性。当有外电场时，每一个分子都受到一个电力矩作用，如图所示，这个力矩要使分子偶极子转到外电场方向，只是由于分子的热运动，各分子偶极子不能完全转到外电场的方向，只是部分地转到外电场的方向， 即所有分子偶极子不是很整齐地沿着外电场0E 方向排列起来，如图f 所示。但随着外电场0E 的增强，排列整齐的程度要增大。无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上都产生了束缚电荷。结论： 有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。说明： 在静电场中，两种电介质电极化的微观机理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区分它们。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页8-4 电介质中的电场高斯定理电位移一、电介质中的电场从上节看到，当电介质受外电场0E 作用而电极化时，电介质出现极化电荷，极化电荷也要产生电场，所以，电介质中的电场是外电场0E 与极化电荷产生电场E的叠加，即EEE0，大小：0EEE。1、下面以平行板电容器为例求电介质中场强 E。由电容器定义，有000UqC（无介质）0U 为电压，0q 为电量。UqC0（有介质）U为电压，0q 为电量。0000000000EECCEEEEddEUUUqUqCCr00rEE0000EE介质中真空中r002、极化电荷面密度介质内电场：EEE00EEE。即：0000（极化电荷面密度）)(r110000)1(00（8-6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页二、有介质时的高斯定理根据真空中的高斯定理，通过闭合曲面S 的电场强度通量为给面所包围的电荷除以0q ，即内SSqsdE01此处，内Sq 应理解为闭合面内一切正、负电荷的代数和，在无电介质存在时，qqS0011内；在有介质存在时， S内既有自由电荷，又有极化电荷，内Sq应是 S内一切自由电荷与极化电荷的代数和，即内内SSS)qq(qsdE000110q、q分别表示自由电荷和极化电荷。实际上，q难以测量和计算，故应设法消除之。下面以平行板电容器为例，来讨论之。设极板上自由电荷面密度为0，介质在极板分界面上极化电荷面密度为，介质相对介电常数为r。取柱形高斯面，底面1S、2S分别在介质和极板内，且与板面平行，3S为侧面，与板面垂直。此时，高斯定理为内内SrrSSqSS)(SS)SS()qq(SdE0001001010101000111111),11(1000SqSr内其中内SSqsdE0由上可知，q 不出现了。定义：ED（8-7）D称为电位移矢量（注意此式只适用于各向同性电介质，而对各向同性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页的均匀电介质，为一常数）。高斯定理为：内SSqsdD0（8-8）说明： （1）上式为电介质中的高斯定理，它是普遍成立的。（2）D是辅助量，无真正的物理意义。算出D后，可求)D(E。（3）如同引进电力线一样，为描述方便，可引进电位移线，并规定电位移线的切线方向即为D的方向，电位移线的密度（通过与电位移线垂直的单位面积上的电位移线条数）等于该处D的大小。所以，通过任一曲面上电位移线条数为sdDS，称此为通过 S的电位移通量；对闭合曲面，此通量为sdDS。 可见有介质存在时，高斯定理陈述为：电场中通过某一闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内包围的自由电荷的代数和。（4）电位移线与电力线有着区别： 电位移线总是始于正的自由电荷，止于负的自由电荷（可从定理看出） ；而电力线是可始于一切正电荷和止于一切负电荷（即包括极化电荷）。如：平行板电容器情况（不计边缘效应） 。例 8-4：平行板电容器，板间有二种各向同性的均匀介质，分界面平行板面，介电常数分别为1、2，厚度为1d 、2d ，自由电荷面密精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页度为。求（ 1）D、E=？（2）电容器 C= ？解： （1）D=？设二种介质中电位移矢量分别为1D 、2D ，在左极板处做高斯面S，一对面平行板面，面积均为 A， 侧面垂直板面，由高斯定理内SSqsdD0有ADdSDDdSSdDSdDSdDSdDSdDS11右底面右底面右底面侧面右底面左底面其中，左底面 D =0，侧面上SdD。又AqS内0，AAD1，即1D，方向垂直板面向右。同样在右极板处做高斯面S，一对面平行极板面，面积均为A，侧面与板面垂直，由高斯定理内SSqSdD0有：SADdSDDdSDdSSdDSdDSdDSdDSdD22左底面左底面左底面左底面侧面右底面左底面SAq内0AAD2，即2D，方向向右。可见，21DD，即两种介质中D相同（法向不变）。DE22221111DEDE方向向右。（2）C=? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页221122112211221111ddSddSddqdEdEqUqC例 8-5：在半径为 R的金属球外，有一外半径为R的同心均匀电介质层，其相对介电常数为r，金属球电量为Q，试求： （1）场强空间分布； （2）电势空间分布。解： （1）由题意知，均是球对称的，取球形高斯面S，由内SSqsdD0有QrD042)()(球外球内DE)(4)(4)(02020介质外介质内球内rQrQErQ0 ：E沿半径向外； Q0 ：E沿半径向内。（2）介质外任一点 P电势prrrPrQdrrQEdrrdEUPPP02044介质内任一点 Q电势R)Rr(QRQRrQrQrQdrEdrErdErdErdEUQrQrRRrrRRrRRrrPQQQQ111144114440002020球为等势体，电势为R)RR(rQdrrQdrrQrdErdErdEUrRRRrRRRR111144402020球精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页例 8-6：有一个带电为 +q半径为1R的导体球， 与内外半径分别为3R、4R带电量为 -q 的导体球壳同心，二者之间有两层均匀电介质，内层和外层电介质的介电常数分别为1、2，且二电介质分界面也是与导体球同心的半径为2R的球面。试求：（1）电位移矢量分布；（2）场强分布；（3）导体球与导体空间电势差；（4）导体球壳构成电容器的电容。解： （1）由题意知，场是球对称的，选球形高斯面S, 内SSqsdD0有内SqrD024得)(0)(4)(033221RrRrRrqRrD，D沿半径向外。（2）DE)(0)(4)(4)(03322221211RrRrRrqRrRrqRrEE与D同向，即沿半径向外。（3）321211123321232221122214114114443221322131RRRR)RR(R)RR(qRRqRRqdrrqdrrqrdErdErdEUURRRRRRRRRR表球（4）1123321232121)()(4RRRRRRRRRUUqC表球精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页强调： （1）E与D关系；（2）电势差求法；（3）电容器的概念及电容求法。8-5 电场的能量一、带电电容器的能量一个电中性的物体， 周围没有电场， 当把电中性物体的正、 负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场。所以，通过外力做功可以把其它形式能量转变为电能，贮藏在电场中。今以带电电容器为例进行讨论。如图所示，设 t 时刻，两极板上电荷分别为+q(t) 和-q(t)，A、B间电势差为：CtqtUtUBA)()()(再把电量dq从 B移到 A，外力做的功为dqC)t(qdq)UU(dWBA。当 A、B上电量达到 +Q和-Q 时，外力做的总功为：)(21)(2121)(220BABAQUUQUUCCQdqCtqdWW外力功全部转化为带电电容器贮藏的电能eW ，电容器储存的电能为：)(21)(212122BABAeUUQUUCCQW（8-9）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页二、电场的能量dSCEdUUBA):(2121212222电容器体积SdVVESdEdEdSWe由上可知，平行板电容器能量与E,V,有关。因为场强为匀强电场，eW 应均匀分布，故单位体积内能量，即能量密度为DEEVWwe21212（8-10）DEEwe21212（8-11）说明： （1）适用于任何电容器；适用于任何电场。（2）对任一带电系统整个电场能量为dVEdV)DE(dVwWeVVVe22121。（3）由（ 1）知，能量存在是由于电荷的存在，电荷是能量的携带者，但（ 2）式表明，能量是存在于电场中，电场是能量的携带者。在静电场中能量究竟是电荷的携带的还是电场携带的，是无法判断的。因为在静电场中，电场和电荷是不可分割地联系在一起的，有电场必有电荷，有电荷必有电场，而且电场与电荷之间有一一对应关系，因而无法判断能量是属于电场还是属于电荷。但是，在电磁波情形下就不同了，电磁波是变化的电磁场的传播过程，变化的电场可以离开电荷而独立存在，没有电荷也可以有电场，而且场的能量能够以电磁波的形式传播，这一事实证实了能量是属于电场的，而不是属于电荷的。例 8-7：无限长圆柱形电容器是由半径为1R 的导体圆柱和同轴的导体组成的， （1）电容器上具有的电场能量； （2）证明：CQWe221，Q 、C分别为 l 长导体上电量及 l 长电容器电容。解：如图所取坐标，原点在圆柱轴线为r 轴。由题已知，其场是轴对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页的，由高斯定理知，介质内任一点 P 的场强大小为rDE2（介质外 E=0）在半径为 r，厚为 dr ，高为l的薄圆筒内，电场能量为drrlrRdrrrRdrEdVwdWee42421221222222所求能量为：12224421RRlnldrrldVwWeRRe。证明：1221222121RRlndrrrdEUURRRR121221ln2ln2RRlRRlUUQCWeRRlRRllCQ1221222ln4ln21)(2121例 8-8：有一个均匀带电荷为Q的球体，半径为R ，试求电场能量。解：由高斯定理知，场强为)(4)(42030RrrQRrrRQE在半径为 r , 厚为 dr 的球壳内，能量为：drrEdrrEdrrwdVwdWeee220220224214所求能量为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页)RQ(RQRRQdrrQdrrRQdrr rQdrrrRQdVwWeRRRVRe5341840188424220025602202046022200223000注意： （1）dWe表达式建立；（2）积分分段。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页