二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若显然：正项级数的部分和数列显然：正项级数的部分和数列是单调增加数列是单调增加数列 ，即：由数列极限的存在定理知：由数列极限的存在定理知：如果部分和数列如果部分和数列否则，它发散。否则，它发散。有上界，有上界，则称则称为为正项级数正项级数 .则它收敛；则它收敛； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1. 正项级数正项级数收敛的充要条件是：收敛的充要条件是：部分和数列部分和数列有界有界 .若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设：设：有：有：(1) 若级数若级数则级数则级数(2) 若级数若级数则级数则级数则有：则有：收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .是两个是两个正项级数正项级数, 常数常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:设设因为因为:所以：所以：（1）如果级数）如果级数 收敛，收敛，则则 有界，有界，因此因此 也有界也有界.所以，级数所以，级数 收敛收敛设设因为因为:所以：所以：（2）如果级数）如果级数 发散，发散， 因此因此 也无界，也无界， 则则 无界无界.所以，级数所以，级数 发散发散例例1. 讨论讨论 p 级数级数:(常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散 .发散发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令:2)当1234n1所以 Sn 有界，p 级数收敛。综上所述：综上所述：当当 p 1 时，时， 收敛收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当 p 1 时，时， 发散发散证明级数证明级数发散发散 .证证: 因为因为而级数而级数发散发散根据比较审敛法可知根据比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则有则有:两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 (3) 当当 l = 设两正项级数设两正项级数满足满足:(1) 当当 0 l + 时时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 判别级数判别级数的敛散性的敛散性 .解解: 根据比较审敛法的极限形式知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 判别级数判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知:的敛散性的敛散性. 定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设设 为正项级数为正项级数, 且且则则:(1) 当当(2) 当当时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 当当时时, ,例如例如, , p 级数级数但级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数可能收敛级数可能收敛, ,也可能发散也可能发散. .例例5. 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性 .解解: 根据根据 定理定理4 可知可知:级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设设 为正项级数，为正项级数，则：则： 且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 .例如例如 , p 级数级数 说明说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性 .解解: 根据根据 定理定理5 可知可知:级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 根值判别法失效根值判别法失效但此时，有但此时，有级数发散级数发散 ;二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛 , 且其和且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 是单调递增有界数列是单调递增有界数列,又故级数收敛于故级数收敛于S, 且且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1：判断级数：判断级数 的敛散性的敛散性解：（解：（1）因为因为（2）= 0由交错级数审敛法：由交错级数审敛法：收敛收敛例例2：判断级数：判断级数 的敛散性的敛散性解：解：（2）= 0条件（条件（1）用导数来判断）用导数来判断 设函数设函数当当 时，时，即函数即函数 单调减小。单调减小。由此可以推得：由此可以推得：由交错级数审敛法：由交错级数审敛法：收敛收敛收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原则称原级级收敛收敛 ,数数为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然收敛收敛,收敛收敛也收敛也收敛且且收敛收敛 , 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :证证: (1)而而收敛收敛 ,收敛收敛因此因此绝对收敛绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令令因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习设正项级数收敛, 能否推出收敛 ?提示提示:由比较判敛法可知收敛 .注意注意: 反之不成立. 例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 判别级数的敛散性:解解: (1)发散 , 故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 , 故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 则级数(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: (B) 错 ;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束