学习必备欢迎下载导数的概念及几何意义1一物体运动满足曲线方程s4t22t3，且 s(5)42(m/s)，其实际意义是() A物体 5 秒内共走过 42 米B物体每 5 秒钟运动 42 米C物体从开始运动到第5 秒运动的平均速度是42 米/秒D物体以 t5 秒时的瞬时速度运动的话， 每经过一秒， 物体运动的路程为42 米解析由导数的物理意义知， s(5)42(m/s)表示物体在 t5 秒时的瞬时速度故选 D. 答案D 2设函数 f(x)满足limx0f 1 f 1xx1，则 f(1)_. 解析 limx0f 1 f 1xxlimx0f 1x f 1xf(1) 1. 答案1 3 函数 f(x)x21 在 x1 处可导，在求 f(1)的过程中，设自变量的增量为x，则函数的增量 y_. 解析yf(1x)f(1)(1x)21(121) 2x(x)2. 答案2x(x)24设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线 () A不存在 B与 x 轴垂直C与 x 轴平行D与 x 轴平行或重合答案D 5一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间 t 之间的函数关系为 s18t2，则当 t2 时，此木块在水平方向的瞬时速度为() A. 2 B. 1 C.12D.14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载解析slimt0stlimt018tt218t2tlimt014t t18t2tlimt0(14t18t)14t. 当t2 时，s12. 答案C 6若函数 f(x)在 x0处的切线的斜率为k，则极限 limx0f x0x f x0x_. 解析limx0f x0x f x0x limx0f x0x f x0xk. 答案k7 已知函数 f(x)在区间 0,3上图象如图所示，记 k1f(1)， k2f(2)， k3f(3)，则 k1，k2，k3之间的大小关系为 _(请用“”连接) 解析由 f(x)的图象及导数的几何意义知，k1k2k3. 答案k1k2k38已知点 M(0，1)，F(0,1)，过点 M 的直线 l 与曲线 y13x34x4 在 x2处的切线平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载(1)求直线 l 的方程；(2)求以点 F 为焦点， l 为准线的抛物线 C 的方程解(1)f(2)limx0132x34 2x 41323424x0，直线 l 的斜率为 0，其直线方程为y1. (2)抛物线以点F(0,1)为焦点， y1 为准线，设抛物线的方程为x22py，则p21，p2.故抛物线 C 的方程为 x24y. 9已知曲线 yx21，问是否存在实数 a，使得经过点 (1，a)能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由解存在理由如下：yx21，y limx0yx limx0xx21 x21xlimx02xx x2x2x. 设切点坐标为 (t，t21)，y2x，切线的斜率为ky|xt2t. 于是可得切线方程为y(t21)2t(xt)将(1，a)代入，得 a(t21)2t(1t)，即 t22ta10. 切线有两条，方程有两个不同的解故 44(a1)0.a0 解析f(x)12(ax21)12 (ax21)12ax21 2axaxax21. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载由 f(1)2，得aa12， a2. 答案B 4f(x)e2x2x，则f xex1_. 解析f(x)(e2x)(2x)2e2x22(e2x1)f xex12 e2x1ex12(ex1)答案2(ex1) 5已知函数 f(x)2x3ax 与 g(x)bx2c 的图象都过点 P(2,0)，且在点 P 处有相同的切线求实数a，b，c 的值解函数 f(x)2x3ax 与 g(x)bx2c 的图象都过点 P(2,0)，2232a0，b22c0，得 a8,4bc0，f(x)2x38x，f(x)6x28. 又当 x2 时，f(2)16，g(2)4b，4b16，b4，c16. a8，b4，c16. 6已知函数 f(x)lnx，g(x)12x2a(a 为常数)，直线 l 与函数 f(x)、g(x)的图象都相切，且 l 与函数 f(x)图象的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值解f(x)lnx，f(x)1x，f(1)1，即直线 l 的斜率为 1，切点为 (1,0)直线 l 的方程为 yx1. 又 l 与 g(x)的图象也相切，等价于方程组yx1，y12x2a只有一解，即方程12x2x1a0 有两个相等的实根， 1412(1a)0，a12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载7已知曲线 y5 x. (1)求该曲线与直线y2x4 平行的切线方程；(2)求过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程解(1)设切点为 (x0，y0)，由 y5 x，得 y52 x，y|xx052 x0. 切线与直线 y2x4 平行，52 x02，x02516，y0254. 故所求的切线方程为y2542 x2516，即 16x8y250. (2)点 P(0,5)不在曲线 y5 x上， 故设切点为 M(m， n)， 则切线的斜率为52 m. 又切线的斜率n5m，52 mn5m5 m5m，m2 m0.解得 m4 或 m0(舍去)切点 M(4,10)，切线的斜率为54. 故切线方程为 y1054(x4)，即 5x4y200. 函数的单调性与导数1若 f(x)lnxx(0abf(b) Bf(a)f(b) Cf(a)1 解析 f(x)1x xlnxx21lnxx2，当 x (0，e)时，lnx (0,1)， 1lnx0，即 f(x)0. f(x)在(0，e)上为增函数，又0abe， f(a)f(b)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载答案C 2设 f(x)在(a，b)内可导，则 f(x)0 是 f(x) 在(a，b)内单调递减的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析f(x)在(a，b)内有 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递减；反过来， f(x)在(a，b)内单调递减，则f(x)0. f(x)0 是 f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件答案A 3设函数 f(x)exx2，g(x)lnxx23.若实数 a，b 满足 f(a)0，g(b)0，则() Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a) C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0， f(x)exx2 在其定义域内是增函数又f(a)0，f(1)e10，f(0)10， 0a0， g(x)1x2x0， g(x)lnxx23 在(0，)上为增函数，而g(1) 20，g(b) 0? 1b2. g(a)0.故g(a)0f(b)答案A 4已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0)等于_解析 f(x)x22xf(1)， f(x)2x2f(1) f(1)22f(1)， f(1)2. f(x)2x4， f(0)4. 答案4 5已知导函数 yf(x)的图象如下图所示，请根据图象写出原函数yf(x)的递增区间是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载解析由图象可知，当 1x5 时，f(x)0， f(x)的递增区间为 (1,2)和(5，)答案(1,2)，(5， ) 6下列命题中，正确的是 _若 f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x(a，b)，都有 f(x)0；若在(a， b)内 f(x)存在， 则 f(x)必为单调函数；若在 (a， b)内的任意 x 都有 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内是增函数；若 x(a，b)，总有 f(x)0，则在(a，b)内 f(x)0. 答案7已知 R 上的可导函数 f(x)的图象如图所示， 则不等式 (x22x3)f(x)0 的解集为_解析由 f(x)的图象可知， f(x)0? 1x0? x1. 因此(x22x3)f(x)0，f x 0，或x22x30，即x3，1x1，或1x3，x1，即 1x3. 答案x|1x0 在 R 上恒成立；当 a0 时，有 xlna. 令 f(x)0，得 exa，当 a0 时，xlna. 综上，当 a0 时，f(x)的单调增区间为 (， )；当 a0 时，f(x)的增区间为 lna， )，减区间为 (， lna9若函数 f(x)13x312ax2(a1)x1 在区间 (1,4)上为减函数， 在区间(6，)上为增函数，试求实数a 的取值范围解函数 f(x)的导数 f(x)x2axa1. 令 f(x)0，解得 x1，或 xa1. 当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(1， )上为增函数，不合题意当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(， 1)上为增函数，在 (1，a1)上为减函数，在 (a1， )上为增函数依题意应有当 x(1,4)时，f(x)0. 所以 4a16，解得 5a7. 所以 a 的取值范围是 5,7函数的极值与导数1 函数 f(x)的定义域为开区间 (a， b)， 导数 f(x)在(a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间 (a，b)内极小值有 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载A1 个B2 个C3 个D4 个解析设 x0为 f(x)的一个极小值点，则在x0左侧 f(x)0，由 yf(x)的图象知，只有一个适合答案A 2已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为 (b，c)，则 ad 等于() A2 B1 C1 D2 解析y33x2，令 y0，得 x 1.可判断函数 y3xx3在 x1 处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即 b1，c2，又 adbc， ad2. 答案A 3三次函数当 x1 时，有极大值，当x3 时，有极小值，且函数的图象过原点，则该三次函数为 () Ayx36x29x Byx36x29x Cyx36x29xDyx36x29x解析本题若直接求解， 相当于解一个大题， 本题按照小题小做的原则， 可采用试验找答案，显然四个函数的图象都过原点，下面分别求导函数，验证x1 和 x3 都是导函数的根，对于B，y3x212x93(x1)(x3)当 x1和 x3 时，有 y0.而其他不适合题意答案B 4已知函数 y2x3ax236x24 在 x2 处有极值， 则该函数的一个递增区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载是() A(2,3) B(3， ) C(2， ) D(， 3) 解析y6x22ax36.依题意知 6224a360， a15， y6x230x366(x2)(x3)，易知当 x3 时，y0，函数的一个增区间为 (3，)答案B 5函数 f(x)13x32ax23a2x 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 () A(0， ) B(， 3) C. 0，13D. 0，32解析f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)，易知 a0， f(0)3a20，(4a)212a24a20，依题意可得03a0.解得 0a0，解得 a2. 答案a2或 a1 7 已知函数 f(x)x33x29xm， 在 R 上的极大值为 20， 则实数 m_. 解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，当1x0，当 x3 时，f(x)0，故错答案9一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为() A.3S 4B.S 4C.2S 4D2S 410设 x2，x4 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点(1)求常数 a，b；(2)判断 x2，x4 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3x22axb，由极值点的必要条件可知，x2，x4 是方程f(x)0 的两根a3，b24. (2)f(x)3x26x243(x2)(x4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载当 x0，当2x4时，f(x)4 时，f(x)0，x2 是 f(x)的极大值点， x4 是 f(x)的极小值点11设函数 f(x)2x33(a1)x21，其中 a1. (1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论 f(x)的极值解由已知得， f(x)6xx(a1)，令 f(x)0，解得 x10，x2a1，(1)当 a1 时，f(x)6x2，f(x)在(， )上单调递增当 a1 时，f(x)6xx(a1)f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x (， 0)0(0，a1)a1(a1，) f(x)00f(x)极大值极小值从表上可知，函数 f(x)在(，0)上单调递增；在 (0，a1)上单调递减；在(a1， )上单调递增(2)由(1)知，当 a1时，函数 f(x)没有极值当 a1 时，函数在 x0 处取得极大值 1，在 xa1 处取得极小值 1(a1)3. 函数的最值与导数1函数 f(x)x2cosx 在0，2上的最大值点为 () Ax0 Bx6Cx3Dx2解析令 f(x)12sinx0，则 sinx12，又 x 0，2， x6，又 f(0)2，f(6)63，f(2)2， f(6)最大，最大值点为 x6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载答案B 2函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是 () A0a1 B0a1 C1a1 D0a12解析 f(x)3x23a3(x2a)，依题意 f(x)0 在(0,1)内有解 0a154，f(2)5154， 1a0，当x (0,1)时，y0；当 x (1,4)时，yg(x)，令 F(x)f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上的最大值为 _解析F(x)f(x)g(x)0， F(x)在a，b上是增函数最大值为F(b)f(b)g(b)答案f(b)g(b) 7已知 aR，f(x)(x24)(xa)(1)求 f(x)；(2)若 f(1)0，求 f(x)在2,2上的最值；(3)若函数 f(x)在(， 2和2， )上是递增的，求a 的取值范围解(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4. (2)由 f(1)0，得 a12，此时 f(x)(x24)(x12)，f(x)3x2x4. 由 f(x)0，得 x43，或 x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页学习必备欢迎下载又 f(43)5027，f(1)92，f(2)0，f(2)0，f(x)在2,2上的最大值为92，最小值为5027. (3)f(x)3x22ax4 的图象是开口向上的抛物线，且过定点(0，4)由条件得 f(2)0，f(2)0，即4a80，84a0，2a2. 故 a 的取值范围是 2,28已知 a 是实数，函数 f(x)x2(xa)(1)若 f(1)3，求 a 的值及曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax，f(1)32a3，a0. 又当 a0 时，f(1)1，f(1)3，曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 3xy20. (2)令 f(x)0，解得 x10，x22a3. 当2a30，即 a0 时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a. 当2a32，即 a3 时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0. 当 02a32，即 0a3 时，f(x)在0，2a3上单调递减，在 2a3，2上单调递增，从而f(x)max84a，0a2，0，2a2.) 定积分的概念与计算1由曲线 yf(x)(f(x)0)，xa，b，xa，xb 和 x 轴围成的曲边梯形的面积 S等于() A.abf(x)dx，Babf(x)dx C.abf(x)adxD.abf(x) bdx 答案B2如图，阴影部分的面积为() A.abf(x)dx B.abg(x)dx C.abf(x)g(x)dx D.abf(x) g(x)dx 解析阴影部分的面积Sabf(x)dx|abg(x)dx| abf(x)dxabg(x)dx abf(x) g(x)dx. 答案C3曲线 ycosx(0x32 )与坐标轴所围成的面积为 () A2 B3 C.52D4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载解析利用函数 ycosx 在 0x32的图知，所求面积为S320cosxdx3(sinx)203. 答案B4如图阴影部分面积为 () A. 2 3 B. 92 3 C.323D.353解析S13(3x22x)dx (3x13x3x2)13539323. 答案C5曲线 y1x与直线 yx，x2 所围成图形的面积为 _解析示意图如图所示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载所求面积为 S12(x1x)dx(12x2lnx)2132ln2. 答案32ln2 定积分在物理中的应用1 质点做直线运动，其速度 v(t)3t22t3， 则它在第 2 秒内所走的路程为 () A1 B3 C5 D7 解析由定积分的物理意义知S12(3t22t3)dt(t3t23t)21(846)(113)7. 答案D2做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力 F(x)1ex，则质点沿着 F(x)相同的方向，从点x10 处运动到点 x21 处，力 F(x)所做的功是 () A1eBeC.1eDe1 解析W01F(x)dx01(1ex)dx (xex)101e1e. 答案B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载3一物体在力 F(x)100x2 ，3x4x2(单位： N)的作用下沿与力F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4 处(单位： m)，则力 F(x)做的功为 () A44 JB46 JC40 JD60 J解析W04F(x)dx 0210dx24(3x4)dx 10x20(32x24x)4220401446(J)答案B4在弹性限度内，弹簧每拉长1 cm 要用 5 N 的拉力，要把弹簧拉长20 cm，则拉力做的功为 () A0.1 JB0.5 JC5 JD10 J解析设弹簧所受的拉力F(x)kx，由题意知，弹簧受 5 N 的拉力伸长量为1 cm，得 5k0.01，k500. F(x)500x.因此， W0 .20500xdx250x20.2010(J)答案D5一物体以 v(t)t23t8(m/s)的速度运动，求其在前30 秒内的平均速度解由定积分的物理意义有s300(t23t8)dt(13t332t28t)3007890(m) vst789030263(m/s)6模型火箭自静止开始垂直向上发射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足 a(t)1004t2，求火箭前 5 s内的位移解由题设知 tt00，v(0)0，s(0)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载v(t)0t(1004t2)dt100t43t3. s(5)05v(t)dt05(100t43t3)dt(50t213t4)5031253. 即火箭前 5 秒的位移是31253. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页