第一章第一章第一章第一章 静电场静电场静电场静电场例例1：在半径为：在半径为a 的的球体内，电荷均匀分布，总电荷量为球体内，电荷均匀分布，总电荷量为 q，求，求各点的场强各点的场强 E，并计算场强，并计算场强 E 的散度和旋度。的散度和旋度。 解：由于电荷分布的球对称性，场强 E 只有沿r方向的分量，并且在与带电球同心的球面上电场的值处处相同。因此在 的区域内，可取半径为r 的同心球面为高斯面，如题1图（a)所示。高斯面上各点的场强 E 与面元ds的方向相同。由高斯定理，有 所以在 的区域内，同样可作出半径为 r 的高斯球面。于是有 式中 q为高斯面内的电荷，其值为 所以 当 时，由上面的推导结果得出相同的 E 值为；下面计算电场的散度和旋度。在 的区域内，有 当 时，即超过这个表面时电场是连续的。关于上面的结果示于图1 (b) 中。在 的区域内，有例例2：球形电容器由半径为球形电容器由半径为 R1 带电为带电为 Q 的导体球和与它同心的的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间充有导体球壳构成，其间充有 r1、r2 两种介质，两种介质，求：求：(1)场强分布；场强分布；(2) 两极间电势差；两极间电势差；(3) 电容电容 C 。解：解： (1)I区：区：导体内：导体内： E1=0 ；II区：区：作高斯球面作高斯球面III区：区：同理同理导体内导体内 ( R3 r R4 )IV区：区：V区：区： ( R4 a）。）。求：求：(1)导体球接地时空间电位分布及电荷导体球接地时空间电位分布及电荷Q 受电场力；受电场力；(2)导体球未接地时空间电位分布及电荷导体球未接地时空间电位分布及电荷Q受电场力；受电场力；解解:(1):(1)当导体球接地，当导体球接地，由镜像法，原问题可等由镜像法，原问题可等效为空间只存在效为空间只存在Q和镜和镜像电荷像电荷q，不存在边界，不存在边界的问题。的问题。易知：易知：QOrRdP(r)abq则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：导体球接地，因此球内空间电位为导体球接地，因此球内空间电位为0 0。电荷电荷 Q 受静电力为：受静电力为：(2) 当导体球不接地时，当导体球不接地时，由镜像法，该问题可用右由镜像法，该问题可用右图表示图表示 Qq0r rRdP(r, )qb空间只存在空间只存在 Q 和镜像电荷和镜像电荷q 和和 q ，不存在边界的问题。，不存在边界的问题。易知：易知：位置位于球心。位置位于球心。则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：例例6：两块无限大接地导体平面分别置于：两块无限大接地导体平面分别置于x=0 和和 x=a 处，其间处，其间在在 x=x0 处有一面密度为处有一面密度为 S0 的均匀电荷分布，如下图所示。的均匀电荷分布，如下图所示。试用边值问题求两导体板之间的电场和电位。试用边值问题求两导体板之间的电场和电位。解：电位仅是解：电位仅是 x 的函数，满足的函数，满足一维拉普拉斯方程，所以一维拉普拉斯方程，所以 0x0 a x S0 0 0由此可解得由此可解得 边界条件为边界条件为 于是有于是有得到得到 ， 所以所以 例例7：今有一球形薄膜：今有一球形薄膜导体，半径体，半径为R ，其上带电荷，其上带电荷q ,求薄膜求薄膜单位面积上所受膨胀力。单位面积上所受膨胀力。 解：孤立导体球电容为解：孤立导体球电容为利用虚位移法求力，采用球坐利用虚位移法求力，采用球坐标系，原点置于球心，系，原点置于球心，选虚位虚位移量移量 g为 R ，则有有 fR 的方向与的方向与 R 增大的方向相同，故为膨胀力。单位面积增大的方向相同，故为膨胀力。单位面积上的力为上的力为该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。 例例8 一个半径为一个半径为 a 的导体球，带电量为的导体球，带电量为 Q ，在导体球外套有，在导体球外套有外半径为外半径为 b 的同心介质球壳，的同心介质球壳， 壳外是空气，如图所示。求空壳外是空气，如图所示。求空间任一点的间任一点的E、D、P 以及束缚电荷密度。以及束缚电荷密度。 解：介质内：解：介质内： a r b束缚电荷体密度为：束缚电荷体密度为： 采用球坐标采用球坐标介质内表面介质内表面 r = a 的束缚电荷面密度为的束缚电荷面密度为 介质外表面介质外表面 r = b 的束缚电荷面密度为的束缚电荷面密度为 例例9：同心导体球的内导体半径为：同心导体球的内导体半径为a ，外导体的内半径为，外导体的内半径为 b，其，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为间填充两种介质，上半部分的介电常数为 1 ，下半部分的介电，下半部分的介电常数为常数为 2 ，内导体表面带电量为，内导体表面带电量为Q，如图所示。试求两球之间，如图所示。试求两球之间的电位移矢量和电场强度及内球所受到的电场力。的电位移矢量和电场强度及内球所受到的电场力。 【解解】因介质分界面上电场强度的切因介质分界面上电场强度的切向分量连续向分量连续Q且场强只有沿径（切）向方向分量，且场强只有沿径（切）向方向分量，所以所以在半径为在半径为r (a r a，则例例11：空气中放置两根无限长平行圆柱，半径均为：空气中放置两根无限长平行圆柱，半径均为6cm ，轴，轴线距离为线距离为20cm ，若导线间加电压为，若导线间加电压为1000V。求。求: (1)(1) 电场中的电场中的电位分布；电位分布；(2)(2)导线表面电荷密度的最大值和最小值。导线表面电荷密度的最大值和最小值。 解：解： 用电轴法求解，如图确定电轴的位置，有用电轴法求解，如图确定电轴的位置，有xyhhbbBCR0+l-lxyr2r1PA(1) 电场中的电位分布电场中的电位分布所以有所以有设设+ l l圆柱电位圆柱电位( (A点点) )为为 1 1，- - l 圆柱电位圆柱电位(B点点)为为 2 2，则两柱，则两柱之间电压为：之间电压为：(2) 由图可见在由图可见在B点处，场强和电荷面密度最大；在点处，场强和电荷面密度最大；在C点处场强点处场强和面密度最小，有和面密度最小，有最后得电位分布最后得电位分布有有例例12：真空中一点电荷真空中一点电荷q2位于半径为位于半径为R导体球附近，距导体球附近，距球心球心d ( (d R) )，导体球带电荷为，导体球带电荷为q1 ，若这两点电荷均，若这两点电荷均为正电荷，求为正电荷，求q2受电场力？问导体球与受电场力？问导体球与点电荷点电荷q2可否可否相吸引？相吸引？解：解：用球面镜像法求解，用球面镜像法求解，如图确定反演点及镜如图确定反演点及镜像电荷像电荷q和和q的位置，的位置，有有同时导体球所带电荷同时导体球所带电荷q1也应置于球心位置也应置于球心位置dbr1r2R0pq1q2qqxy这样点电荷这样点电荷q2 所受到导体球和所受到导体球和 q1 的作用力，就等效成的作用力，就等效成 q和和 q1 +q对它的作用力，利用库仑定律，直接得到对它的作用力，利用库仑定律，直接得到q2 所受到力为所受到力为要使导体球和要使导体球和 q1 的作用力为吸力，的作用力为吸力，则则 f 方向与正方向与正 x 轴相反，得轴相反，得即即例例13 平板平板电容器的容器的长、宽、高、高为 ，同样尺寸的介质块，同样尺寸的介质块处于如图位置，介质块的相对介电常数为处于如图位置，介质块的相对介电常数为 ，两板之间的电位，两板之间的电位差保持不变，为差保持不变，为 ，求作用与介质块上的电场力，求作用与介质块上的电场力 。( (忽略极忽略极板边缘效应）板边缘效应）x解：平行板解：平行板电容器中容器中的的储能能为（忽略极板（忽略极板边缘效效应）电压U0不变，设位移变化量为不变，设位移变化量为 x ，静电力为，静电力为因为因为Fe 沿沿 x 轴正轴正方向，因此介质块方向，因此介质块受到的力为向极板受到的力为向极板内的吸力。内的吸力。例例14、请简要回答下面问题。（、请简要回答下面问题。（1）在静电场中，等位面上的电位处处相等，）在静电场中，等位面上的电位处处相等，因此场强的数值也一样，正确么？请举例说明。因此场强的数值也一样，正确么？请举例说明。答：上述说法是错误的，因为在答：上述说法是错误的，因为在静电场中，静电场中， ，即场强值在空间，即场强值在空间中是电位的最大变化率，但其方向是沿电位最大减小率的方向。中是电位的最大变化率，但其方向是沿电位最大减小率的方向。 而电位大小是与场强大小无关的。例如：静电场中的导体表面处处为而电位大小是与场强大小无关的。例如：静电场中的导体表面处处为等位面，导体表面的场强处处与导体垂直，但场强各处的大小与导体的等位面，导体表面的场强处处与导体垂直，但场强各处的大小与导体的各处的曲率半径有关，曲率半径小的地方电荷面密度大，则场强也大。各处的曲率半径有关，曲率半径小的地方电荷面密度大，则场强也大。如图所示。如图所示。而电位为而电位为如图所示。即是随电容器内空间位置而变化的。如图所示。即是随电容器内空间位置而变化的。x0dy(2)(2)场强处处相等的区域，电位一场强处处相等的区域，电位一定处处相等？定处处相等？答：同上面问题一样是不正确的。在答：同上面问题一样是不正确的。在场强处处相等的区域，电位是空间坐场强处处相等的区域，电位是空间坐标的函数，不一定处处相等。标的函数，不一定处处相等。例如：充电的平行板电容器内场强处例如：充电的平行板电容器内场强处处相等为处相等为（3）如图所示以带电量为）如图所示以带电量为 q 的球体，在的球体，在其附近有一介电系数为其附近有一介电系数为 的电介质，问的电介质，问下列情况是否成立：下列情况是否成立：答：答：(a) 、(b)、(c)、(e) 是正确的。是正确的。(d) 电位移电位移 D 与与 q 及电介质的性质及电介质的性质及分布及分布有关，故有关，故(d) 项不成立项不成立q S1S2S3第二章第二章第二章第二章 恒定电场恒定电场恒定电场恒定电场例例1：一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度各为 和和 的电介质，的电介质，它们的电导率和介电常数分别为它们的电导率和介电常数分别为 和和 , 当外加电压当外加电压为为U0时时 ，求，求(1)(1)通过电容器的电流；通过电容器的电流；(2)(2)充电时积聚在分界面上充电时积聚在分界面上的自由电荷面密度。的自由电荷面密度。解（解（1 1）设通过电容器的电流为）设通过电容器的电流为I，略去，略去边缘效应，则两媒质中的电流密度为边缘效应，则两媒质中的电流密度为 s12两媒质中的电场分别为两媒质中的电场分别为所以所以两层介质表面电荷面密度为两层介质表面电荷面密度为上下导体表面电荷面密度为上下导体表面电荷面密度为通过电容器的电流和电流密度分别为通过电容器的电流和电流密度分别为两种媒质中的电位移矢量分别为两种媒质中的电位移矢量分别为例例2：一球形理想导体电极深埋于地下，已知土壤中的电导率：一球形理想导体电极深埋于地下，已知土壤中的电导率为为 ，介电系数为，介电系数为 ，并已知流入此电极的总电流为，并已知流入此电极的总电流为 I ，如下，如下图所示。求土壤中的图所示。求土壤中的 J、E、U 和和 D。解：此恒定电流场问题可以与无限均匀电介质解：此恒定电流场问题可以与无限均匀电介质 中带电荷中带电荷 Q 的的导体球的静电场问题相类比。设坐标系原点位于球心处，该静导体球的静电场问题相类比。设坐标系原点位于球心处，该静电场问题的电场问题的 D0 、E0 、U0 解表达式已在前面的习题中得为解表达式已在前面的习题中得为 利用静电比拟关系，将上面各式中的利用静电比拟关系，将上面各式中的 Q 换成换成 I， 换成换成 ，得到恒定电流场中的场量，得到恒定电流场中的场量 J、E、U ，即，即 恒定电流场中的恒定电流场中的 D 没有静电场的量与之对应，需通过恒定没有静电场的量与之对应，需通过恒定电流场中的电场强度电流场中的电场强度 E 和土壤的介电系数和土壤的介电系数 计算，即计算，即例例3：在一块厚度为：在一块厚度为 h 的导电板上，由两个半径分别为的导电板上，由两个半径分别为r1和和r2的的圆弧面与两个夹角为圆弧面与两个夹角为 的平面割出一块扇形体，如下图所示，的平面割出一块扇形体，如下图所示，导体材料的电导率导体材料的电导率 为常数。求：为常数。求：( (a) ) 上下平面之间的电阻；上下平面之间的电阻；( (b) ) 两圆柱弧面之间的电阻；两圆柱弧面之间的电阻；( (c) ) 两侧平面之间的电阻。两侧平面之间的电阻。解：（解：（a）设上、下两）设上、下两平面之间的电压为平面之间的电压为其中其中 S 为扇形面积：为扇形面积：代入上式得代入上式得=U=0I故上下平面之间的电阻为故上下平面之间的电阻为 实际上，上下两面之间的柱体是一个均匀截面柱体，若直实际上，上下两面之间的柱体是一个均匀截面柱体，若直接利用公式计算电阻，其步骤将会更简单。接利用公式计算电阻，其步骤将会更简单。（b）此时电流方向的横截面随）此时电流方向的横截面随 r 变化。其中，截面积变化。其中，截面积因因所以所以=U=0I（c）此时电流方向的横截）此时电流方向的横截面沿面沿 变化。则采用边值问变化。则采用边值问题求解，应用拉普拉斯方程，题求解，应用拉普拉斯方程，并采用柱坐标系。因弧片很并采用柱坐标系。因弧片很薄，可以认为电位薄，可以认为电位 只是只是 的变量，电位方程为的变量，电位方程为I=U=0即即通解通解边界条件边界条件求出待定系数求出待定系数得弧片中电位函数的解为得弧片中电位函数的解为利用电位梯度求出场强解，并解出电流密度失量利用电位梯度求出场强解，并解出电流密度失量弧片中总电流弧片中总电流弧片中电阻弧片中电阻计算电阻或电导的步骤：计算电阻或电导的步骤：（1）利用静电比拟方法，导出两电极之间电容和电导的关系：）利用静电比拟方法，导出两电极之间电容和电导的关系：（2）利用拉普拉斯方程，求出）利用拉普拉斯方程，求出 ，再求再求E、J、I ：例例4：设同轴线的内导体半径为设同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为外导体的内半径为b，内、，内、外导体间填充电导率为外导体间填充电导率为 的导电媒质，如下图所示，求同轴线的导电媒质，如下图所示，求同轴线单位长度的漏电导。单位长度的漏电导。解：媒质内的漏电电流沿径向从内导解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，体流向外导体， 设流过半径为设流过半径为 r 的任的任一同心球面的漏电电流为一同心球面的漏电电流为 I ，则媒质，则媒质内任一点的电流密度和电场为内任一点的电流密度和电场为同轴线横截面 内、外导体间的电压为内、外导体间的电压为 单位长度漏电电导及电阻为 也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R 求出漏电电阻 R ： 同轴线填充两种介质，结构如图所示。同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为两种介质介电常数分别为 和和 ，导电，导电率分别为率分别为 和和 ，设同轴线内外导体电，设同轴线内外导体电压为压为U0 。求：求：(1) (1) 导体间的导体间的 (2) (2) 分界面上自由电荷分布分界面上自由电荷分布【例5】解：解：1 1）这是一个恒定电场边值问题。不能）这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。直接应用高斯定理求解。设设单位长度内从内导体流向外导体电流为单位长度内从内导体流向外导体电流为I I 。由由边界条件，边界两边电流连续。边界条件，边界两边电流连续。则：则：由由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为： 在在 面上：面上： 在在 面上：面上： 在在 面上面上：2 2）由边界条件：由边界条件：例例6：一个半径为的半球形接地导体埋于电导率为：一个半径为的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，的土壤中，如下图所示。如下图所示。（1）请导出计算接地电阻的公式）请导出计算接地电阻的公式;（2）若）若a=0.2m、OA=5.2m，该地段的大地电导率为，该地段的大地电导率为10-4S/m，行人前落脚点在行人前落脚点在A，后落脚点在点，后落脚点在点B，跨距为，跨距为0.8m ，若设流入，若设流入接地导体中的电流接地导体中的电流 I= 100 A ，请计算跨步电压。请计算跨步电压。 , 解：（解：（1）采用镜像法，作半球的镜像，如图虚线所示。设流）采用镜像法，作半球的镜像，如图虚线所示。设流入球的电流为入球的电流为 I ，则导体球的电流密度分布为，则导体球的电流密度分布为 电场强度为电场强度为 以无穷远处为零点电位，则导体球表面的电压为以无穷远处为零点电位，则导体球表面的电压为 接地电阻为接地电阻为 则 AB 间跨步跨步电压为 （2）如图，据题意知，）如图，据题意知， 例例7、试问在什么条件下，在两种不同导电媒质分界面的那一侧，电场强度线、试问在什么条件下，在两种不同导电媒质分界面的那一侧，电场强度线近似与分界面表面垂直？近似与分界面表面垂直？答答: 根据恒定电场中电场强度中电场强度矢量线和电流密度矢量线的折射根据恒定电场中电场强度中电场强度矢量线和电流密度矢量线的折射定律定律（1）在电导率很小的导电媒质一侧的表面可视为电场强度线近似与分界面）在电导率很小的导电媒质一侧的表面可视为电场强度线近似与分界面垂直；（垂直；（2）当一侧为理想介质，而另一侧导电媒质的电导率很大时，则理）当一侧为理想介质，而另一侧导电媒质的电导率很大时，则理想介质一侧的电场强度线近似垂直于分界面。想介质一侧的电场强度线近似垂直于分界面。可知：可知：例例8：两半球形接地体埋在地下：两半球形接地体埋在地下(参见图参见图)。若球的半径为。若球的半径为a，土，土壤的电导率为壤的电导率为 ，球心间的距离为，球心间的距离为d ，且，且d a ，请计算两球间，请计算两球间的电阻。的电阻。 解：解： 当当 d a 时，可时，可以采用孤立导体球电位以采用孤立导体球电位的计算方法。利用镜像的计算方法。利用镜像法，作出半球的镜像。法，作出半球的镜像。如图虚线所示。如图虚线所示。 设流入半球的电流为设流入半球的电流为I ，则流入整个球的电流为，则流入整个球的电流为2I。这样两。这样两个孤立导体球的电流分布分别为个孤立导体球的电流分布分别为 电场强度分别为电场强度分别为 以无穷远处为零电位点，两接地器的电位分别为以无穷远处为零电位点，两接地器的电位分别为两接地器之间的电压为两接地器之间的电压为 两接地器间的电阻为两接地器间的电阻为例例9 9：试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件。试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件。解：解：根据电磁场的边界条件，有根据电磁场的边界条件，有 t 0在线性媒质中在线性媒质中所以所以 在分界面上在分界面上故故 因此，分界面上存在自由因此，分界面上存在自由电荷的条件是荷的条件是 例例10、如图半径为的长直圆柱导体置于无限大导体平板上方，空间充满电、如图半径为的长直圆柱导体置于无限大导体平板上方，空间充满电导率为导率为 的不良导电媒质，圆柱轴线距平板距离为的不良导电媒质，圆柱轴线距平板距离为 h ，导体的电导率，导体的电导率 ，如图，如图2-4所示。试求圆柱体和导体平面的单位长度的电导。所示。试求圆柱体和导体平面的单位长度的电导。 解：利用镜像法和电轴法求电容，画出镜像及电解：利用镜像法和电轴法求电容，画出镜像及电轴的示意图（此处略）轴的示意图（此处略）单位长度电容为单位长度电容为 由静由静电比比拟法法单位位长度度电导为： 可参考教材第一章中可参考教材第一章中的例的例1-11，但此题是利用，但此题是利用镜像法，所以求解电位时镜像法，所以求解电位时只须考虑实体圆柱体表面只须考虑实体圆柱体表面的电位，不要考虑镜像圆的电位，不要考虑镜像圆柱体表面的电位。柱体表面的电位。再利用静电比拟法得：再利用静电比拟法得：第三章第三章 恒定磁场恒定磁场1、均匀介质中线电流或分布电流产生的磁感应强度为、均匀介质中线电流或分布电流产生的磁感应强度为线电流线电流面电流面电流体电流体电流 介质中的磁导率；真空中磁导率介质中的磁导率；真空中磁导率 0= 4 10-7 H/m 。2、恒定磁场基本方程为、恒定磁场基本方程为积分形式积分形式微分形式微分形式成分方程成分方程3、介质的磁化、介质的磁化 介质在磁场中要产生磁化，用磁化强度矢量介质在磁场中要产生磁化，用磁化强度矢量 M 描写介质的磁化程度。描写介质的磁化程度。磁化强度矢量与磁感应强度及磁场强度关系磁化强度矢量与磁感应强度及磁场强度关系为为对于各向同性介质对于各向同性介质介质磁化时产生的磁化电流、磁化电流密度及磁化电流面密度分别介质磁化时产生的磁化电流、磁化电流密度及磁化电流面密度分别为为 m称为磁媒质的磁化率称为磁媒质的磁化率由由 B =0 引入矢量磁位引入矢量磁位 A，且，且4、矢量磁位、矢量磁位线电流线电流面电流面电流体电流体电流矢量磁位矢量磁位 A 计算计算由由 A =0 条件，矢量磁位条件，矢量磁位 A 满足泊松方程或拉普拉斯方程满足泊松方程或拉普拉斯方程5、恒定磁场边界条件、恒定磁场边界条件当分界面上不存在面电流当分界面上不存在面电流 Js=0 , 则有则有此时有折射定律为：此时有折射定律为：7、自感与互感、自感与互感磁通量计算磁通量计算线圈或电流回路的自感与互感线圈或电流回路的自感与互感6、对两种均匀媒质无限大分界平面的镜像电流、对两种均匀媒质无限大分界平面的镜像电流计算外自感与互感的诺曼公式计算外自感与互感的诺曼公式9、磁场力及虚位移法、磁场力及虚位移法磁场力一般计算公式磁场力一般计算公式8、对各向同性、线性、均匀媒质，载流回路的磁场能量、对各向同性、线性、均匀媒质，载流回路的磁场能量磁场能量及磁场能量体密度计算磁场能量及磁场能量体密度计算虚位移法计算磁场力公式虚位移法计算磁场力公式例例1、如图，请回答：（、如图，请回答：（1）在闭合环）在闭合环 L 上任一点的上任一点的 H 与电流与电流 I3 、I4 有关么，为什么？（有关么，为什么？（2）与那些电流有关写出具体表达式。）与那些电流有关写出具体表达式。 答：答： （1）因）因为电流流产生磁生磁场，所以，所以 H 与与空空间中所有中所有电流都有关，自然与流都有关，自然与 I3 、I4 有关；有关； 上式上式说明：磁明：磁场强强度的度的环路路积分只与其所包分只与其所包围的的电流有流有关，且与关，且与电流流满足右螺旋关系。足右螺旋关系。 （2）由安培环路定律：）由安培环路定律：解：把铜片划分成无限个宽为解：把铜片划分成无限个宽为dx的细长条，每条有电流：的细长条，每条有电流：由对称性知：由对称性知：yadx例例1. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略厚度忽略,电流为电流为I，求离铜片中心线正上方求离铜片中心线正上方y处处P点的点的rxyP.该电流在该电流在P点产生的磁场为：点产生的磁场为：I其中：其中：方向平行方向平行X轴轴当当y a 时时当当y 0 或或 xR时：时：3）轴线以外的磁场较复杂，可）轴线以外的磁场较复杂，可定性给出磁感应线定性给出磁感应线，电流与电流与B线仍服从右手螺旋关系。线仍服从右手螺旋关系。SN定义：磁偶极矩定义：磁偶极矩磁磁偶偶极极子子NS n与与I的方向的方向 成右手关系成右手关系若有若有N匝线圈，总磁矩为：匝线圈，总磁矩为：即即:比较：比较：(延长线上延长线上)IoR.PxBB讨论讨论11例例3 一个塑性圆盘，半径为一个塑性圆盘，半径为R，圆盘表面均匀分布电圆盘表面均匀分布电 荷荷q, 如果使该盘以角速度如果使该盘以角速度 绕其轴旋转，试证：绕其轴旋转，试证：(1)盘心处盘心处(2)圆盘的磁偶极矩圆盘的磁偶极矩Rrdr证：证：(1)将盘看成一系列的宽为将盘看成一系列的宽为dr的圆环构成的圆环构成每一环在中心产生的磁场：每一环在中心产生的磁场：(2)12例例4. 一长螺线管轴线上的磁场一长螺线管轴线上的磁场已知：导线通有电流已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为单位长度上匝数为n。dlrl解：在管上取一小段解：在管上取一小段dl， 电流为电流为dI=nIdl ， 该电流在该电流在P点的磁场为：点的磁场为： P.则：则：. . . .13P点不同，点不同，B不同。不同。1)若管长若管长LR，管内有很大一管内有很大一 部分场是均匀的。部分场是均匀的。2)3) 对半无限长螺线管对半无限长螺线管2)、 3)在整个管内空间成立！在整个管内空间成立！管内为均匀场管内为均匀场讨论讨论:管外空间管外空间B 0dlrl P. . . .14例例5. 半径为半径为R 的无限长圆柱载流直导线，电流的无限长圆柱载流直导线，电流 I 沿轴线沿轴线 方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任 意点意点P的的B=？解：先分析解：先分析P点的方向点的方向P.I由电流对称分布可知：由电流对称分布可知：取过取过P点半径为点半径为 r =op 的圆周的圆周L，L上各点上各点B大小相等，方向沿切线大小相等，方向沿切线当当r R 时时 由安培环路定理得：由安培环路定理得：若若r R同理：同理：BR与毕萨与毕萨定理结定理结果一致果一致L例例6.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的 电流线密度为电流线密度为 i，求平面外一点求平面外一点 B=？i. . . . . . . . .abcd解：解：由对称可知由对称可知并且离板等距离处的并且离板等距离处的B大小相等。大小相等。过过P点取矩形回路点取矩形回路abcdL其中其中ab、cd与板面等距离。与板面等距离。00.P与与P点到平板的距离无关。点到平板的距离无关。ii00例例7. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径 为为R，环上均匀密绕环上均匀密绕 N 匝线圈，设通有电流匝线圈，设通有电流 I。解：解： 由于电流对称分布，与环共轴由于电流对称分布，与环共轴的圆周上，各点的圆周上，各点 B 大小相等，大小相等，方向沿圆周切线方向。方向沿圆周切线方向。取以取以o为中心为中心，半径为半径为r 的圆周为的圆周为L当当R1 r R2若若 rR2IR当当 R管管截面截面 z , l z , 求求上上面面一片导体板所受的力。一片导体板所受的力。 yl解解：考考虑虑到到间间隔隔远远小小于于其其尺尺寸寸，故故可可以以看看成成无无限限大大面面电电流流。由由安安培培回回路路定定律律可可以以求求出出 两两 导导 体体 板板 之之 间间 磁磁 场场 为为B=i 0JS0，导导体体外外磁磁场场为为零零。当当用用虚虚位位移移法法计计算算上上面面的的导导体体板板受受力力时时，假假设设两两板板间间隔隔为一变量为一变量d。磁场能量为。磁场能量为 假定上导体板位移时，电流不变，假定上导体板位移时，电流不变， 这个力为斥力。这个力为斥力。 例例12 有有一一很很长长的的N匝匝螺螺线线管管，长长度度为为L，通通有有恒恒定定电电流流 I。其其截截面面积积为为S，具具有有恒恒定定磁磁导导率率 的的铁铁棒棒沿沿螺螺线线管管轴轴的的方方向向插插入入其其中中，使使棒长的一半留在螺线管内，试求出把铁棒拉出的力。棒长的一半留在螺线管内，试求出把铁棒拉出的力。 解：解： 找出铁棒在如图所示两种位置时系统能量的差值。螺线管找出铁棒在如图所示两种位置时系统能量的差值。螺线管很长，其中的很长，其中的H 在在 x 范围内几乎沿轴向方向。由边界条件范围内几乎沿轴向方向。由边界条件 LL法向为法向为x方向，方向，即即H1H2向内推入向内推入利用虚位移法，得利用虚位移法，得棒所受力为棒所受力为利用安培环路定律利用安培环路定律 得得 B 为为 则在螺线管内部的总磁场能量为则在螺线管内部的总磁场能量为 f 0 表示铁表示铁棒受力方向沿棒受力方向沿正正x 轴，说明轴，说明铁棒受到向外铁棒受到向外拉出的力。拉出的力。例例13 试画出下面各图所示情况下的镜像电流所处的位置，并试画出下面各图所示情况下的镜像电流所处的位置，并注明其方向、量值及有效计算区域。注明其方向、量值及有效计算区域。Ih 1 = 0图图1 2 Ia 1= 0 2 图图2 2 bhI 2 图图3 1= 0Id解：此题只需根据镜像法原理，画出镜像电流的位置、标注其解：此题只需根据镜像法原理，画出镜像电流的位置、标注其参数值，并注明磁场的有效计算区域即可。不必计算结果。参数值，并注明磁场的有效计算区域即可。不必计算结果。各求解示意图示于后面。各求解示意图示于后面。h 2 IhI 2 有效区有效区 0Ih 0有效区有效区I =I II =I 0a 0 0 0aI有效区有效区I =I I图图1解解图图2解解dhI =II =IhI 1= 0Id 1= 0有效区有效区 2 2 hdI = 0I = 0图图3 解解例例14 14 求如图所示无限长直线电流和匝数求如图所示无限长直线电流和匝数N=1000=1000的矩形回路之的矩形回路之间的互感。间的互感。I2m3m5mxyz0N=1000解：设长直导线中电流为解：设长直导线中电流为I ，则在矩形回路内产生的磁感应则在矩形回路内产生的磁感应强度为强度为在在 2 y 5 范围内距电流范围内距电流I 距离距离为为 y 处做一小面积元处做一小面积元 dS=5dy，穿过该面积元的磁通为穿过该面积元的磁通为ds该磁通与电流交链的磁通链为该磁通与电流交链的磁通链为无限长电流无限长电流I 与线圈之间互感为与线圈之间互感为例例15 15 求如图所示无限长直导体柱通过电流求如图所示无限长直导体柱通过电流I I , ,和矩形回路和矩形回路abcdabcd 及及 klmnklmn 交链的磁通。交链的磁通。abcdR/2R/4klmnRRRI解：先求矩形回路解：先求矩形回路abcdabcd 与电流交链的磁通。与电流交链的磁通。r所以矩形回路所以矩形回路abcd内某点内某点的的 B 为为通过矩形回路通过矩形回路abcd的磁通为的磁通为B其次求矩形回路其次求矩形回路klmnklmn与电流交链的磁通，此时与电流交链的磁通，此时回路回路klmn一半在一半在导体内，一半在导体外，故将通过回路的磁通分为两部分导体内，一半在导体外，故将通过回路的磁通分为两部分 。矩形回路矩形回路klmn的总磁通为的总磁通为例例16 如图所示为一如图所示为一U形电磁铁，其中通过形电磁铁，其中通过N匝线圈的电流匝线圈的电流I在在磁路中产生磁通磁路中产生磁通 ，铁芯的截面积为，铁芯的截面积为 S， 求（求（1）线圈的自感；（）线圈的自感；（2）电磁铁受到的磁场力。）电磁铁受到的磁场力。 N m d 0解：（解：（1）由于电磁铁的）由于电磁铁的磁导率磁导率 ，因此磁场，因此磁场限制在铁磁物质内，在气限制在铁磁物质内，在气隙与铁磁分界面上隙与铁磁分界面上B只有只有法线方向，由法线方向，由则可知铁磁内则可知铁磁内H= 0，由安由安培环路定律得培环路定律得n 穿过穿过气隙的磁通链为气隙的磁通链为线圈的自感线圈的自感为为（2）利用虚位移法求电磁铁下面的可动部件受力）利用虚位移法求电磁铁下面的可动部件受力 因为因为 f 0 ，作用力方向使气隙减小，可知可动部件受，作用力方向使气隙减小，可知可动部件受力为吸引力。力为吸引力。也可求出气隙中的磁场能量，再利用虚位移法求电磁铁下也可求出气隙中的磁场能量，再利用虚位移法求电磁铁下面的可动部件受力面的可动部件受力例例17 同轴线的内导体是半径为同轴线的内导体是半径为 a 的圆的圆柱，外导体是半径为柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面，其的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内外导体间充有磁导厚度可忽略不计。内外导体间充有磁导率分别为率分别为 1和和 2两种不同的磁介质，如两种不同的磁介质，如图所示。设同轴线中通过的电流为图所示。设同轴线中通过的电流为I ，试求：试求：( (1) ) 同轴线中单位长度所储存的同轴线中单位长度所储存的磁场能量磁场能量Wm；( (2) )单位长度的自感单位长度的自感L。 BH2H1解解:（1）同轴线的内外导体之间的磁场沿）同轴线的内外导体之间的磁场沿 0方向，在两种磁介质方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度相同，但磁场强度不同。根据安培环路定理，质中的磁感应强度相同，但磁场强度不同。根据安培环路定理， 当当 r a 时，有时，有: 所以所以 当当 a r a ，上式为，上式为例例20、一互感器的、一互感器的线圈如圈如图所示，内螺所示，内螺线管管长为 l ，直径，直径 d ，匝数匝数 N1 ，厚度忽略不，厚度忽略不计，外部，外部绕一个很薄的小一个很薄的小线圈，匝数圈，匝数为 N2 ，试求此互感器的互感。求此互感器的互感。解：解：内螺线管中的磁场可按无限内螺线管中的磁场可按无限长直螺线管计算，设内螺线管中长直螺线管计算，设内螺线管中流过的电流为流过的电流为I1 ，得，得，则通通过外部外部线圈的磁圈的磁链为 产生的生的互感互感为 同轴线内外半径分别为同轴线内外半径分别为a和和b，中间填充介质的电导，中间填充介质的电导率为率为 外加电压为外加电压为U 。求：求： ( 1 ) 介质内的电位，场强和电流密度介质内的电位，场强和电流密度 ( 2 ) 分界面上自由电荷分布分界面上自由电荷分布【练习1】ba