1 人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录21 数列的概念与简单表示法22 等差数列23 等差数列的前n 项和24 等比数列25 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、 数列的概念与简单表示法 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做数列 . 注意 ：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项） ，第2 项，第n 项， . 数列的一般形式：,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n 项 数列的通项公式：如果数列na的第 n 项na与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意 ：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1，0，它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan. 数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5. 数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3， n ）为定义域的函数( )naf n，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 反过来，对于函数y=f(x), 如果f(i)（i=1 、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1) 、f(2) 、 f(3) 、 f(4) ，f(n) ，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列 ：项数有限的数列. 例如数列 1，2，3， 4，5，6。是 有穷数列无穷数列 ：项数无限的数列. 例如数列 1，2，3， 4，5，6是 无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7数列的表示方法（1）通项公式法如果数列na的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；（2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象） ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（3）递推公式法如果已知数列na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121naaaaannn4、列表法简记为典型例题：例 1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 解： (1) na 2n1； (2) na) 12)(12(2nnn； (3) na2)1(1n；(4) 将数列变形为10, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , na；(5) 将数列变形为12, 23, 3 4, 45, 5 6, ，na例 2：设数列na满足11111(1).nnaana写出这个数列的前五项。解：二、等差数列1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 na, 若na1na=d ( 与 n 无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。2等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列na的首项是1a，公差是d，则据其定义可得：daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3134由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差 d，便可求得其通项na。由上述关系还可得：dmaam)1(1即：dmaam)1(1则：nadna)1(1=dmnadndmamm)()1()1(即等差数列的第二通项公式nadmnam)( d=nmaanm3有几种方法可以计算公差d d=na1na d =11naan d =mnaamn4结论：（性质） 在等差数列中，若m+n=p+q ，则，qpnmaaaa即m+n=p+q qpnmaaaa (m, n, p, q N ) 但通常由qpnmaaaa推不出 m+n=p+q ，nmnmaaa典型例题：例 1：求等差数列8，5，2的第 20 项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 -401 是不是等差数列-5 ，-9 ，-13 的项？如果是，是第几项？解：例 3：求等差数列3，7，11，的第4 项与第 10 项. 例 5：100 是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例 6：20 是不是等差数列0， 321， 7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例 8：在等差数列 na 中，若1a+6a=9, 4a=7, 求3a , 9a . 三、等差数列的前n 项和1等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS证明：nnnaaaaaS13211221aaaaaSnnnn +：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS23121nnnaaaaaa)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2 等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn用上述公式要求nS必须具备三个条件：naan,1但dnaan)1(1代入公式 1 即得：2)1(1dnnnaSn此公式要求nS必须已知三个条件：dan,1（有时比较有用）对等差数列的前n项和公式 2：2) 1(1dnnnaSn可化成式子：n)2da(n2dS12n，当 d0，是一个常数项为零的二次式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 3 由nS的定义可知，当n=1 时，1S=1a；当 n2 时，na=nS-1nS，即na=)2() 1(11nSSnSnn. 4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用na: 当na0，d0，前 n项和有最大值可由na0，且1na0，求得 n的值当na0，前 n项和有最小值可由na0，且1na0，求得 n的值（2） 利用nS：由n)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时n 的值典型例题：例 2：等差数列 10， 6， 2，2，前9 项的和多少？解：例 3：等差数列前10 项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项解例 6：已知等差数列an中， S3=21，S6=64，求数列 |an| 的前 n 项和 Tn例 7： 在等差数列 an 中，已知a6a9a12a1534，求前 20 项之和例 8：已知等差数列an 的公差是正数，且a3a7=12，a4 a6=4，求它的前20 项的和 S20的值例 9：等差数列 an、bn 的前 n 项和分别为Sn和 Tn，若STnnabnn231100100，则等于 A1BCD23199299200301精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 分析nS =n(a + a )nn1n该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前 项和的值与项的值进行联系abSTnnnn1001002312例 10： 解答下列各题：(1) 已知：等差数列an中 a23， a6 17，求 a9；(2) 在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3) 已知：等差数列an中， a4a6a15a1750，求 S20；(4) 已知：等差数列an中， an=333n，求 Sn的最大值四、等比数列1等比数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 .这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0） ，即：1nnaa=q（q0）1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) na成等比数列nnaa1=q（Nn,q0）2隐含：任一项00qan且“na0”是数列na成等比数列的必要非充分条件3 q= 1 时， an为常数。2.等比数列的通项公式1:)0(111qaqaann由等比数列的定义，有：qaa12；21123)(qaqqaqaa；312134)(qaqqaqaa； )0(1111qaqaqaannn3.等比数列的通项公式2:)0(11qaqaammn4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5等比数列与指数函数的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 等比数列na的通项公式)0(111qaqaann, 它的图象是分布在曲线1xayqq（q0）上的一些孤立的点。当10a，q 1 时，等比数列na是递增数列；当10a，01q，等比数列na是递增数列；当10a，01q时，等比数列na是递减数列；当10a，q 1 时，等比数列na是递减数列；当0q时，等比数列na是摆动数列；当1q时，等比数列na是常数列。6等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数G， 使 a,G，b 成等比数列， 那么称这个数G 为 a 与 b 的等比中项 . 即G=ab（a,b 同号）如果在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a,G，b 成等比数列，则abGabGGbaG2，反之，若G2=ab,则GbaG，即 a,G,b 成等比数列 a,G,b 成等比数列G2=ab（ab0）7等比数列的性质：若 m+n=p+k ，则kpnmaaaa在等比数列中，m+n=p+q ，kpnmaaaa,有什么关系呢？由定义得：11n11nmmqaaqaa11k11kppqaaqaa221nmnmqaaa，221kpkpqaaa则kpnmaaaa8判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9 等比数列的增减性： 当 q1, 1a0 或 0q1, 1a1, 1a0,或 0q0时, na是递减数列 ;当 q=1 时, na是常数列 ;当 q0，则 lga1,lga2,lga3成等差 注 （1）lgnnaa成等比成等差（2）nanaa成等差成等比典型例题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 例 1：求和：. 解：等差数列等比数列定义一般地 ,如果一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比递推关系121nnaaaa（*nN）1nnaad（*nN）11nnnnaaaa（*2,nnN）121nnaaaa（*nN）1nnaqa（*0,qnN）11nnnnaaaa（*2,nnN）通项公式1(1)naand（*nN）napnq（*,p qnN为常数）11nnqaa（*nN）nnqpa（*,0,0,p qqpnN是常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 求和公式12()nnSn aa（*nN）1(1)2nn nSnad(*nN) 2nSAnBn(*,A BnN是常数) 11,1(1),11nnna qSaqqq(*nN) 1,1,1nnna qSAAqq(*nN，0A) 主要性质若 p+q=s+r, p、q、s、rN*,则pqsraaaa. 对任意c0,c1,nac为等比数列 . *112,2nnnaaanNn. 若na、nb分别为两等差数列，则nnab为等差数列 . 若nb为正项等差自然数列，则nba为等差数列 . ,232nnnnnSSSSS为等差数列 . 若 p+q=s+r, p、q、s、 rN*,则rsqpaaaa. 对任意 c0,c1, 若 an恒大于 0，则logcna为等差数列 . 2,211nNnaaannn. 若na、nb为两等比数列，则nnba为等比数列 . 若nb为正项等差自然数列，则nba为等比数列 . ,232nnnnnSSSSS为等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页