学习必备欢迎下载授课提纲一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型5、变换问题研究目标函数二、基本不等式1、（ 1）基本不等式若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“ =”） (2) 若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ =”）(3) 若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“ =”）2、利用基本不等式求值技巧授课主要内容：一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）例 1.已知实数 x、y 满足约束条件0503xyxyx，则24zxy的最小值为（）A5 B -6 C10 D-10 变式练习一：若 x,y 满足约束条件20210220xyxyxy,则 z=3x+y 的最大值为变式练习二：设x，y满足约束条件13,10,xxy则z2xy的最大值为 _二 直线的斜率型2 6,53例 2.已知实数 x、y 满足不等式组2240xyx,求函数31yzx的值域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载变式练习一：若x，y 满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为 . 变式练习二： 11.若实数yx,满足00042yxyx，则12xyz的取值范围为（）),32 4,.(A),32 2,.(B32, 2.C32,4.D三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例 3. 已知实数x、 y 满足10101xyxyy， 则22448wxyxy的最值为 _. 解析：目标函数2222448(2)(2)wxyxyxy，点 (2,2)到点 B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max( 22)( 12)25w；点 (2,2)到直线 x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最小值，min|221|3 222w。变式练习一：设实数x，y满足约束条件10,10,1xyxyx，则222xy的取值范围是（A）1,172（B）1,17（C）1, 17（D）2, 172变式练习二：四 点到直线的距离型例 4.已知实数 x、y 满足2221,42xyuxyxy求的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载解析：目标函数222242(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点 (-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1) 到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1 的距离，由点到直线的距离公式可求得|2( 2)1 1|4 555d，故21695555d同步训练：已知实数x、 y 满足220240330xyxyxy,则目标函数22zxy的最大值是 _。五 变换问题研究目标函数例 5.已知axyxxy2，且yxz2的最大值是最小值的3 倍，则 a 等于（）A31或 3 B31C52或 2 D52解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2点和 B 点分别取得最小值和最大值. 由),(?aa?Axyax得，由yxyx2得B(1，1). a?z?z3,3minmax. 由题意 B (-2,1) 1 12O x y 2x+y=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载变式练习一：如果实数,a b满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是基本不等式考点一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） y3x 212x 2（2） yx1x技巧一：凑项例 1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。技巧三： 分离例 3. 求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt）当, 即 t=时,4259ytt（当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( )af xxx的单调性。 例：求函数2254xyx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数， 故52y。所以，所求函数的值域为5,2。考点二：条件求最值1. 若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . 2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值技巧七 、已知 x，y 为正实数，且x 2y 221，求 x1y2的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2 b 22。同时还应化简1y2中y2前面的系数为12，x1y2 x21y 222 x12y 22技巧八：已知a，b 为正实数， 2baba30，求函数y1ab的最小值 . 法一： a302bb1，ab302bb1 b2 b2 30bb1由 a0 得， 0b1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载令 tb+1，1t16， ab2t2 34t31t 2（t16t） 34t16t2t16t8 ab18 y118当且仅当 t4，即 b3， a6 时，等号成立。法二： 由已知得： 30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab令 uab则 u222 u300， 52 u32 ab32 ， ab18， y118变式： 1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。作业：1、01xxxy求函数最小值 . 2、03221xxxy求函数最小值 . 3、若1x，则函数14xxxf最小值为 . 4、已知0x，0y，且1yx，求yx11的最小值 . 5、已知0x，0y，且32yx，求yx11的最小值 . 6、设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）A 8 B 4 C 1 D 14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页