反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型 +重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 . 1二、基础知识点 . 21. 知识结构 . 22. 反比例函数的概念. 23. 反比例函数的图象. 24. 反比例函数及其图象的性质. 25. 实际问题与反比例函数. 4三、常考题型 . 61. 反比例函数的概念. 62图象和性质 . 63函数的增减性. 84解析式的确定. 10 5面积计算 . 12 6综合应用 . 17 三、重难点题型 . 22 1. 反比例函数的性质拓展. 22 2. 性质的应用 . 23 1. 求解析式 . 23 2. 求图形的面积 . 23 3. 比较大小 . 24 4. 求代数式的值 . 25 5. 求点的坐标 . 25 6. 确定取值范围 . 26 7. 确定函数的图象的位置 . 26 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念1y =?（k0）可以写成 y = ?-1（k0）的形式，注意自变量x的指数为 1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件；2y =?（k0）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数 y =?的自变量 x0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点3.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 y =?的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称） 4.反比例函数及其图象的性质1函数解析式： y =?（k0）2自变量的取值范围： x0 3图象：（1）图象的形状：双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页|? |越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直|? |越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 k0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（a，b）在双曲线的另一支上图象关于直线 y=x对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（b，a）在双曲线的另一支上（4）k 的几何意义图1 如图 1，设点 P（a，b）是双曲线 y =?上任意一点，作PA x轴于 A点，PB y轴于 B点，则矩形 PBOA 的面积是 |? |（三角形 PAO和三角形 PBO 的面积都是12|? |） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页图2 如图 2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作 QC PA的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 2|? |（5）说明：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论直线 y=?1? 与双曲线 y =?2?的关系：当?1?20时，两图象没有交点；当?1?20时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称5.实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是（） Ay=3x By3=2x C3xy=1 Dy=?2答案： A为正比例函数 B为一次函数 C变型后为反比例函数 D为二次函数（2）下列函数中， y 是 x 的反比例函数的是（） Ay =14? By = -1?2 Cy =1?-1 Dy = 1 +1?答案： A为反比例函数， k 为14B、C、D都不是反比例函数2图象和性质（1）已知函数 y = （k + 1）?2+?-3是反比例函数。若它的图象在第二、四象限内，那么k=_ 若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_ 答案：因为函数是反比例函数，且经过二、四象限所以k + 10k2+ k - 3 = -1解得：k=2 因为函数是反比例函数，且y 随 x 的增大而减小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页所以k + 10k2+ k - 3 = -1解得：k=1 （2） 已知一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二、 四象限， 则函数 y =?的图象位于第 _象限答案：因为 y=ax+b经过一、二、四象限所以 a0，b0 所以 ab0 所以函数 y =abx经过二、四象限（3）若反比例函数 y =?经过点（ 1，2） ，则一次函数 y=kx+2的图象一定不经过第 _象限答案：因为函数 y =kx经过点（ 1，2）所以2=k-1，解得 k=2 所以 y=kx+2为 y=2x+2 所以 a0，b0 所以经过一、二、三象限（4）已知 ab0，点 P（a，b）在反比例函数 y =?的图象上，则直线 y=ax+b不经过的象限是答案：因为点 P（a，b）在反比例函数 y =ax的图象上所以 b=aa= 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页因为 ab0 所以 a0 所以 y=ax+b经过一、二、四象限，不经过第三象限（5）若 P（2，2）和 Q （m ，-?2）是反比例函数 y =?图象上的两点，则一次函数 y=kx+m的图象经过哪几个象限？答案：因为 P（2，2）是y =kx上的点所以 k=4 因为 Q （m ，-m2）是反比例函数 y =kx图象上的点所以-m2=4m所以 m 0 所以 y=kx+m经过一、三、四象限（6）已知函数 y=k（x1）和y =?（k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（） A B C D答案： B 3函数的增减性（1）在反比例函数 y =?（?0）的图象上有两点A（?1，?1） ，B（?2，?2） ，且?1?20，则?1- ?2的值为（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页A正数 B负数 C非正数 D非负数答案： A 因为 k0 所以函数图像在二、四象限，y 随 x 的增大而增大因为x1x2所以y1y2，所以 y1- y2为正数（2） 在函数 y =-?2-1?（a 为常数）的图象上有三个点（-1，?1） ，（-14，?2） ， （12，?3） ，则函数值 ?1、?2、?3的大小关系是怎样的？答案：因为函数为 y =-a2-1x，其中-a2- 10 所以函数图像在二、四象限，y 随 x 的增大而增大因为 1-1412所以y1y2y3（3）下列四个函数中： y=5x；y=5x；y=5?；y=-5?其中 y 随 x 的增大而减小的函数有：答案：要使 y 随 x 的增大而减小，则正比例函数k0 符合条件的有：为反比例函数，且k0，是在每一个象限内y 随 x 的增大而减小，不符合。综上得，符合条件的有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页（4） 已知反比例函数 y =?的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点， 则当 x0时， 这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）答案： ?= 2?= ? + 1，解得? = 1? = 2所以反比例函数过点（ 1,2） ，则 k=20 所以当 x0时，在第一象限， y 随 x 的增大而减小4解析式的确定（1）若 y 与1?成反比例， x 与1?成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数C一次函数 D不能确定答案： B 因为 y 与1x成反比例所以 y?1x=?1因为 x 与1z成正比例所以 x=?2?1z合并得： yz=?1?2所以为反比例函数（2） 若正比例函数 y=2x与反比例函数 y =?的图象有一个交点为 （2，m ） ，则 m=_ ，k=_，它们的另一个交点为 _答案：因为 y=2x 过点（2，m ）所以 m=2 2=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页因为y =kx过点（ 2，m ） ，即（2,4 ）所以 k=8 ? = 2? =8?，解得另一个点为：（2，4）（3）已知反比例函数 y =m2x的图象经过点（ 2，8） ，反比例函数y =mx的图象在第二、四象限，求m的值答案：因为函数 y =m2x的图象经过点（ 2，8）所以 8（ 2）=m2 m=4 因为y =mx的图象在第二、四象限所以 m 0 所以 m= 4 （4）已知一次函数 y=x+m与反比例函数 y =?+1x（m 0）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3） 求 x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式答案： 3 = ?0 + ?3 =?+1?0解得： ?0= 1?= 2一次函数解析式为： y=x+2 反比例函数解析式为： y =3x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页（5） 为了预防“非典”， 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克） 与时间 x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示），现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 _ ， 自变量 x 的取值范围是 _ ； 药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_ 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案： y =34x，0 x 8；y =48x，x830 消毒时间为：483- 3 34= 13.2510，所以有效5面积计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页（1）如图，在函数 y = -3?的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为?1、?2、?3，求三个面积的大小关系。答案：根据反比例函数图像面积的性质知?1=?2=?3（2）如图， A、B是函数 y =1?的图象上关于原点O对称的任意两点，AC/y 轴，BC/x 轴，ABC的面积 S，则（ ） AS=1 B1S2 CS=2 DS2 答案： C 设 A（a，1a） ，其中 a0，则 B（a，-1a） BC= a（a）=2a，AC=1a（-1a）=2a所以 S=122? 2a=2 （3）如图， RtAOB 的顶点 A在双曲线 y =?上，且 SAOB=3，求 m的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页答案：根据反比例函数图像性质 SAOB=|?|2又因为图像在第一象限所以 m 0 所以 m=6 （4）已知函数 y =4?的图象和两条直线y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于 P1和 P2两点，过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R1，垂足分别为 Q1，R1，过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形 OQ1P1R1和 OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小答案：y =4xy = x，解得 x=2，y=2，即P1（2,2）y =4xy = 2x，解得 x= 2，y=2 2，即P1（ 2,2 2）所以矩形 OQ1P1R1的周长为（ 2+2）2=8 OQ2P2R2的周长为（ 2+2 2）2=6 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页因为82= 64（6 2）2= 72所以 OQ2P2R2的周长长。（5）如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 y =1?的图象相交于 A、C两点，过 A作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC ，若ABC面积为 S，则 S=_ 答案：y =1xy = kx，解得 x= ?，y= ?所以 A（ ?， ? ） ，C （ ?，- ? ） ，B（ ?，0）所以 S=12 ? （ ?-（- ?）=1 （6）如图在 RtABO中，顶点 A是双曲线 y=?与直线 y=x+（k+1）在第四象限的交点， AB x轴于 B且 SABO=32求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和 AOC 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页答案： y =kxy = -x + （k + 1），解得?1= 1?1= ?，?2= ?2= 1所以 A（1，k） ，B（1,0 ） ，C（k，1）因为 SABO=32所以32=121|? |解得 k=3 所以反比例函数解析式为：y=-3x，直线解析式为： y=x2 设直线交 x 轴于点 D 则 D（2,0）则? ?= ? ?+ ? ?=121 2 +122 |? |=4 （7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9，点 O为坐标原点，点 A、C分别在 x 轴、y 轴上，点 B在函数 y=?（k0，x0）的图象上，点P （m ，n）是函数 y=?（k0，x0）的图象上任意一点，过P分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 E、F，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为 S 求 B点坐标和 k 的值； 当 S=92时，求点 P的坐标； 写出 S关于 m的函数关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页答案：根据反比例函数图像性质知正方形 OABC 的面积9=k 因为是正方形，所以B（3,3 ）设 FP与 AB交于点 D 因为无论 P在什么地方，四边形OFPE 的面积为 9。而 S=92所以四边形 OADF 的面积为 992=92=OA OF 所以 F（0，32）所以 n=32所以 m=6 同理可推导出 9S=3n n=9-?3 m=9?=279-?6综合应用（1）若函数y=k1x（k10）和函数 y =?2?（?20）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和?2（） A互为倒数 B符号相同 C 绝对值相等 D 符号相反答案： D 因为若 k1和?2同号，则必定有 2个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页因为无交点，所以符号必定相反（2）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例数 y =?的图象交于 A、B两点： A（，1） ，B（1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围答案：将点 A坐标代入反比例函数得，m= 2 所以反比例函数解析式为：y =-2x因为 B也在反比例函数上，所以n=-21= -2 ，即 B（1，2）将点 A，点 B代入一次函数得： 1 = -2k+ b-2 = ? + ?解得： k = -1? = -1，即直线解析式为： y=x1 x2或0x1 （3）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点，且与反比例函数 y =?（m 0）的图象在第一象限交于 C点，CD垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页 求点 A、B、D的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式答案：因为 OA=OB=1=1 所以 A（1,0） ，B（0,1 ） ，D（1,0 ）A（-?，0） ，B（0，b）所以-?= -1? = 1，k=1，b=1，则一次函数解析式为：y=x+1 因为 D（1,0 ） ，所以 C的横坐标为 1 代入一次函数得，纵坐标为：1+1=2 所以 D（1,2 ）所以 m=1 2=2，即反比例函数解析式为：y=2x（4）如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限 C、D两点，坐标轴交于A、B 两点，连结 OC ，OD （O是坐标原点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； 双曲线上是否存在一点P，使得 POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由答案：因为交于点C（1,4 ）所以 k=14=4，即反比例函数解析式为：y=4x D横坐标为 4，代入反比例函数得： m=44= 1要想 POC 和POD 的面积相等，则只需要OP为 CD的中垂线即可因为 C（1,4） ，D（4,1 ）所以直线 AB的解析式为： y=x+5 设 P（a，4a）因为 OP是 CD中垂线所以 OP这条直线的斜率为 1，即4a-0a-0= 1解得： a=2，所以 P（2,2）（5）不解方程，判断下列方程解的个数1x+ 4x = 0；1x- 4x = 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页答案：构造双曲线y=1x和直线 y=4x，它们无交点，说明原方程无实数解构造双曲线 y=1x和直线 y=4x，它们有两个交点， 说明原方程有两个实数解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页四、重难点题型1.反比例函数的性质拓展1. 积的不变性：自变量x 与其对应的函数y 的乘积是定值，等于比例系数 k，即 ky=k（k0，k 为常数），因此反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积不变，等于比例系数k。2. 图象与 k 的关系：反比例函数的图象是两支双曲线。当k0时，双曲线两个分支在第一、三象限内，如图1。当 k0时，在每个象限内 y 随 x 增大减小；当 k0时，在每个象限内， y 随 x 增大而增大。4. 图象与坐标轴关系：在 y =?中，x0，所以 y0，因此反比例函数的图象无限接近x 轴，y 轴，但永远不可能与x 轴、y 轴相交。5. 对称性：轴对称性： 反比例函数的图象是轴对称图形，直线 y=x和 y=x 是它的两条对称轴。中心对称性： 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。6. 面积相等性：如图 3，在反比例函数图象上任取两点P、Q ，过 P、Q分别作 x 轴、y 轴垂线，垂足如图 3，则有：，。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页图3 2.性质的应用1. 求解析式（1）试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数的解析式：_ 。答案：由反比例函数图像与k 的性质知： k0，可得出这样的解析式，如：y = -1?，y = -5?等。（2）如图，点 A是反比例函数图象上一点，自点A作 y 轴垂线，垂足为 T，已知 ? ?= 4，则此函数的表达式为 _。答案：由面积相等性质可得：12|? | = 4，k=8 又由图形和 k 的性质得， k0，所以 k=8，故解析式为 y = -8?。2.求图形的面积（1）如图，反比例函数 y = -4x的图象与直线 y = -13x的交点为 A、B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页过 A作 y 轴的平行线，过B作 x 轴平行线，它们交于C，则ABC的面积为 _。答案：方法一：本联立 y = -4xy = -13x求 A、B坐标，再确定 C的坐标，最后计算面积。方法二：利用性质可得巧解。如图过 B作 BE x 轴，E为垂足， AC 、BC与 x 轴、y 轴分别交于M 、F，因为反比例函数与正比例函数都是以原点为中心的中心对称图形，则 A、B交于原点坐标，由对称性知：AM=BE=MC，OM=OE，所以?矩?= ?矩?由面积不变性得： ? ?= ? ?=12|? | = 2?矩?= |? | = 4所以? ?= 2 + 2 + 4 = 83. 比较大小（1）已知 ?1（?1，?1）、?2（?2，?2）、?3（?3，?3）是反比例函数y =2?图象上三点，且 ?1?20?3，求?1、?2、?3的大小关系。答案：因为 x1x20，所以P1、P2在同一象限即第三象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页所以0y1y2。因为0x3所以P3在第一象限，所以 y30所以y30y1y2 4. 求代数式的值（1）如图，直线 y=kx（k0）与双曲线 y=4?交于 A （?1，?1） ，B （?2，?2）两点，则 2?1?2- 7?2?1的值等于 _ 。答案：因为双曲线与直线y=kx 均关于原点对称所以 A、B关于原点对称所以x1= -x2，y1= -y2又因为 x1y1= 4，x2y2= 4，所以2x1y2- 7x2y1= -2x1y1+ 7x2y2=8+28=20 。 5. 求点的坐标（1） 已知正比例函数 y=?1?（?10）与反比例函数 y=?2?的图象有一个交点（ -2 ，-1） ，则它的另一个交点坐标是_。答案：因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称所以两交点也关于原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页所以另一交点坐标为（ 2，1） 。 6. 确定取值范围（1）如图，已知 M （2，1） ，N （2，6）两点，反比例函数y=?的图象与线段相交， 过反比例函数图象上任意一点P作 y 轴垂线 PG ，G为垂足，则 POG 的面积 S的取值范围是 _。答案：当 y=kx过（2，1）时， k=2 当 y=kx过（2，6）时， k=12 由面积不变性质得 S PGO=12|k|所以1S PGO6 7. 确定函数的图象的位置（1）函数 y=-1?+ 1的图象不经过第 _ 象限。答案： y=-1x的图象在第二、四象限内将 y=-1x的图象向上平移 1个单位，即得 y=-1x+ 1的图象由平移可知： y=-1x+ 1的图象不经过第三象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页