精品资料欢迎下载第十节连续函数的运算与初等函数的连续性要求 ：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。重点 ：利用函数的连续性求函数的极限。难点 ：分段函数连续性的讨论。作业 ：习题 110（86P）4)5)6)7)3)4)1,2,3,4问题提出为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的但是， 如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象初等函数连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理 1有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数定理 2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理 3两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零例 1函数xxxxxxsincoscot,cossintan，因为xx cos,sin在区间),(内连续，故由定理3 知正切xtan和余切函数xcot在它们的定义域内是连续函数结论 2三角函数在它们的定义域内是连续函数二、反函数与复合函数的连续性定理 4如果函数)(xfy在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(yx在对应的区间xyIxxfyI)(上单调增加（或单调减少）且连续例 2正弦函数xysin在区间2,2上单调增加且连续，所以它的反正弦函数xyarcsin在相应的闭区间1 , 1上也是单调增加且连续同样，反余弦函数xyarccos在区间 1 , 1上是单调减少且连续；反正切函数xyarctan在区间),(内是单调增加且连续；反余切函数xarcycot在),(是单调减少且连续结论 3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数定理 5 设函数)(xu当0xx时的极限存在且等于a，即axxx)(lim0，而函数)(ufy在点au处连续，那么复合函数)(xfy，当0xx时的极限也存在且等于)(af，即)()(lim0afxfxx说明（1）上式又可写为)(lim)(lim00xfxfxxxx；（2）定理 5 中的0xx换成x可得类似定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 3求极限0sinlimarctanxxx解00sinsinlimarctanarctan(lim)arctan1xxxxxx4定理 6设函数)(xu在点0x处连续且00)(ux，而函数)(ufy在点0u处连续，那么复合函数)(xfy在点0x处也是连续的证明因为lim( )( )uaf uf a，所以0,0,当|ua时，有|( )( ) |f uf a又因为( )x在点0x连续，所以对上述的0，0，当0|xx时，有|( )|xa即|ua于是，对0,0,当0|xx时，总有| ( )( )|fxf a所以复合函数)(xfy在点0x处连续例 4讨论函数2sin(325)yxx及xy1sin的连续性解函数2sin(325)yxx可看作由uysin及2325uxx复合而成，而正弦函数uysin在区间u内是连续函数，又函数2325uxx在(,)内是连续函数，据定理6 知复合函数2sin(325)yxx在区间(,)内是连续函数函数xy1sin可看作由uysin及xu1复合而成，而正弦函数uysin在区间u内是连续函数，又函数xu1在0x和x0内是连续函数，据定理 6 知复合函数xy1sin在区间)0,(和),0(内是连续函数三、初等函数的连续性1 指数函数)1,0(aaayx在区间),(内是连续函数证明对任),(0x，000(1)xxxxxyaaaa，在极限部分已证明极限1lim0xxa，所以1lim0xxa，故0) 1(limlim000xxxxaay，因此指数函数xay在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载点0x处连续，又由于),(0x的任意性，指数函数xay在),(内连续2 对数函数)1,0(logaaxya在区间),0(内是连续函数由指数函数xay单调性和连续性得到3幂函数xy（为任何实数） 幂函数定义域随而变，不过在),0(内总是有定义的，因此幂函数在),0(内是连续的因为xexyln，函数uey与xuln都是连续的， 由定理 6 可知幂函数xy在区间),0(内连续4幂指函数形如)0)(,)()(xuxuyxv的函数称为幂指函数若函数( ), ( )u x v x连续，且( )0u x，则幂指函数( )( )v xyu x连续若极限BxvAAxuxxxx)(lim),0()(lim00，则BxvxxAxu)()(lim0例 5求极限2sin0lim(1)xxx解2s i n0l i m (1)xxx12sin0lim(1)xxxxx012lim2sin0lim(1)xxxxxxe结论 4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续5初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）说明由连续性提供了求极限的方法，如果)(xf是初等函数，且0x是函数)(xf的定义区间内的点，则有)()(lim00xfxfxx例 6求极限xxsinlnlim2解因为20x是初等函数xxfsinln)(定义区间内的点，所以02sinlnsinlnlim2xx例 7求极限2011limxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载解2011limxxxx222001111limlim2( 11)11)xxxxxxxxxx例 8求极限0log (1)limaxxx解0l o g (1)l i maxxxaexxaxxaxaxln1log)1(limlog)1(loglim1010，若ea，则1)1ln(lim0xxx例 9求极限xaxx1lim0解xaxx1l i m0attattaxln)1(loglim01，若ea，则11lim0xexx例 10求极限xxx)21ln(lim0解2ln)21(limln)21ln(lim)21ln(lim22210100exxxxxxxxx又同理可得331lim1lim0330texetttxxx从上面两例可得到，11lim, 1)1ln(lim00e， （中变量一样） 例 11求极限)0()1(limaannn解由于n改为连续变量x，令tx1，则) 1(limxxaxxaxx11lim1xaxx11lim1teatt1limln0aaateattlnlnln1limln0，又由函数极限与数列极限关系定理，当n为自然数时，有aannnln) 1(lim例 12当b为何值时，函数1,1,)(2xbxxxxf在区间),(上连续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载解当1x时，2)(xxf为初等函数，所以是连续函数，当1x时，bxxf)(为初等函数 , 所以是连续函数，当1x时，若使函数在1x处连续，必有)1()01()01 (fff，即11b，所以，当0b时，函数)(xf在点1x处连续，从而在区间),(上连续6常用的基本极限（1）设mmmnnnbxbxbxQaxaxaxP110110)(,)(，（nmba,0,000为自然数）则0)(,0)(0)(,0)(,0)(,)()()()(lim00000000xPxQxPxQxQxQxPxQxPxx消去零因子，nmnmnmbaxQxPx,0,)()(lim00（2）21cos1lim, 1tanlim, 1sinlim2000xxxxxxxxx（3）exexxxxx10)1 (lim,)11(lim，) 1)1ln(lim(ln1)1(loglim00xxaxxxax，) 11lim(ln1lim00xeaxaxxxx（4）)0(1lim, 1limaannnnn（5）2arctanlim,2arctanlimxxxxxarcxarcxxcotlim, 0cotlim0lim,limxxxxee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页