北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件）向量共线的充要条件: 与与 共线共线 （2）向量垂直的充要条件：）向量垂直的充要条件：（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：且方向相同。且方向相同。（4）平面向量基本定理）平面向量基本定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例例1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。即即 ，ACB=90思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证：求证：解：设解：设 ，则，则 分析：因为平行四边形对边平行且相分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设等，故设 其它线段对应向其它线段对应向量用它们表示。量用它们表示。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设思路一：设AD与与BE交于交于H，只要证，只要证CHAB，即高，即高CF与与CH重合，即重合，即CF过点过点H由此可设由此可设利用利用ADBC，BECA，对应向量垂直。，对应向量垂直。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例3、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH解：解：设AD与BE交于H，即高即高CF与与CH重合，重合，CF过点过点H，AD、BE、CF交于一点。交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例例4、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解：设解：设则则由此可得由此可得即即 故有故有 ，且它们有，且它们有公共点公共点A，所以，所以P、A、Q三点共线三点共线四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例例5、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析：如图建立坐标系，设分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是是AM的中点，故的中点，故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得：解得：e=5故故AEM的面积为的面积为10四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例例5、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由，由 正方形面积为正方形面积为64，可得边长为，可得边长为8 由题意可得由题意可得M(8,4)，N是是AM的的 中点，故中点，故N(4,2) =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)解得：解得：e=5 即即AE=5四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值练习：练习：PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：分析分析:由题意由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由由PO=mOA, QO=nOB可知：可知： O分分 的比为的比为 ，O分分 的比为的比为由此可设由此可设 由向量定比分点公式，可求由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而为重心，其坐标也可求出，进而由向量由向量 ，得到，得到 m n 的关系。的关系。-m -n? ?四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值练习：练习：PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：OABGPQ证：如图建立坐标系，证：如图建立坐标系， 设设所以重心所以重心G的坐标为的坐标为由由PO=mOA, QO=nOB可知：可知：即即O分分 的比为的比为-m，O分分 的比为的比为-n 求得求得由向量由向量 可得：可得：化简得：化简得：五、小结、巩固练习：五、小结、巩固练习：练习练习1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形练习练习2：如图：如图O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足求证求证：ABOCABCO