1 一元二次不等式的定义象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式探究 一元二次不等式250xx的解集怎样求不等式1的解集呢？探究：1二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx二次函数有两个零点：120,5xx于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。2观察图象，获得解集画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x5 时，函数图象位于x 轴上方，此时，y0, 即250xx；当 0x5 时，函数图象位于x 轴下方，此时，y0 与cbxax2 0 与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程cbxax2=0 的判别式acb42三种取值情况( 0， =0， 0来确定 . 因此，要分二种情况讨论2a0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 分 O ， =0， 0 与cbxax20(或0) 计算判别式，分析不等式的解的情况：.0 时，求根1x2x，.002121xxxAxxxA，则若；或，则若.=0 时，求根1x2x0x，.00000xxAxAxxA，则若；，则若的一切实数；，则若.0 时，方程无解，.00xARxA，则若；，则若 写出解集 . 求解不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式， 因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 x2+3x-40 (x+4)(x-1)0 或或-4x1 或。原不等式解集为x|-4x1 。x2+3x-40 (x+)2|x+|-x+-4x1 。原不等式解集为x|-4x1 。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下， 均需分类讨论， 那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0, 0aaa; 例 1 解不等式：0122xaax分析： 此题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：044222aaa解得方程0122xaax两根,24221aaaxaaax24222当0a时, 解集为aaaxaaaxx242242|22或当0a时，不等式为012x, 解集为21| xx当0a时 , 解集为aaaxaaax242242|22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例 2 解不等式042axx分析此题中由于2x的系数大于0, 故只需考虑与根的情况。解： 162a当4, 4a即0时，解集为R；当4a即 0 时，解集为2axRxx且；当4a或4a即0,此时两根分 别 为21621aax，21622aax，显然21xx, 不等式的解集为21621622aaxaaxx或例 3 解不等式Rmxxm014122解 因, 012m2223414)4(mm所以当3m，即0时，解集为21| xx；当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx或；当33mm或，即0时，解集为R。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,xxxxxx；例 4 解不等式)0(01)1(2axaax分析： 此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。此题只需讨论两根的大小即可。解： 原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a当1a或10a时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当1a或1a时，aa1, 可得其解集为；当01a或1a时, aa1, 解集为axax1|。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页