第二单元长方体和正方体总结一、 长方体和正方体的特征：形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6 12 8 一般六个面都是长方形也有两个相对的面是正方形。相对的面面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6 12 8 六个面都是正方形六个面的面积相等十二条棱长都相等长方体：有 6 个面，相对的面完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到3 个面。有 12 条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；12条棱可以分为 3 组分别为长、宽、高，每组的4 条棱一样长；长方体的棱长总和 =长4+宽4+高4=长 +宽+高4有 8 个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。正方体：有 6 个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3 个面。有 12 条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长 =棱长 12。上下左后右前精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页有 8 个顶点。练一练：1. 一个长方体长、宽、高分别是10cm 、7 cm 、4 cm ，这个长方体的棱长和是多少厘米？提示：根据长方体的总棱长公式计算2. 一个长方体的棱长和是160dm ，其中，长是20dm ，宽是 8dm ，它的高是多少？从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？3. 将一根铁丝长 720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？二、长方体和正方体的外表积定义：长方体或正方体6 个面的总面积，叫做它的外表积。1. 法一：(1) 长方体的外表积 有六个面=长宽 2+长高 2+宽高2=长宽 +长高 +宽高2因为长方体相对的面完全相同法二： 前、后面：长高2 =X 左、右面：长高2 =Y 上、下面：长宽2 =Z 则长方体的外表积有六个面= X + Y + Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页2. 正方体的外表积 有六个面 =棱长棱长6因为正方体的六个面完全相同在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个些面。一个抽屉有 5 个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5 个面的面积就可以了。通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。所以只要算四个侧面就可以了。1具有六个面的长方体或正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；2具有五个面的长方体或正方体物品：水池、鱼缸等；3具有四个面的长方体或正方体物品：水管、烟囱等。练一练：1. 一个正方体纸箱， 棱长 8dm ， 做 100 个这样的纸箱至少需要多少平方米纸板？提示： 100个需要多少平方米纸板，先算出一个需要多少，也就是求正方体的外表积。注意单位换算2. 一只无盖的长方形鱼缸，长0.4 米，宽 0.25 米，深 0.3 米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？提示：首先明白算哪几个面，画出示意图再做3. 一个游泳池，长 25 米，宽 10 米，深 2.4 米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是2 分米的正方形， 那么至少需要这种瓷砖多少块？ 提示：1. 算哪几个面 2. 这些面是用瓷砖一块一块砌成的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4. 一间教室的长是 10 米，宽是 8 米，高是 4 米，现在要粉刷教室的屋顶和四壁，除去门窗面积 25 平方米，粉刷面积是多少？提示：1. 明白粉刷哪几个面，算出面积 2. 门窗不需要粉刷，要减去25 平方米5. 一个长方体长 8 厘米，宽 4 厘米，高 4 厘米，把它锯成 3 段，外表积至少增加多少？提示： 1. 锯成 3 段，会有几个锯缝？会增加几个面？2. 长方体最小的面是多少，算出之后乘以增加的面数就是所求答案。画出示意图三、体积与容积单位及换算1. 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。1 立方米 =1000立方分米3311000mdm1 立方分米 =1000立方厘米3311000dmcm食指的手指尖的体积大约是1 立方厘米；粉笔盒的体积大约是1 立方分米；装29 英寸电视机的大纸箱的体积大约是1 立方米。2. 容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。计量容积一般用体积单位： 立方厘米、 立方分米和立方米。 但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升即L 和 ml。1 升=1000毫升11000Lml精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页1 毫升=1立方厘米311mlcm3. 体积单位与容积单位： 1 升=1立方分米311Ldm 1毫升=1 立方厘米311mldm练一练：1. 在括号内填上合适的单位一大瓶可乐是 2一瓶哇哈哈矿泉水是600一个集装箱是 20一块橡皮大约是 102. 6.09立方米 =立方厘米 32.05L=( )立方分米 =ml=立方厘米四、长方体与正方体体积 ( 或容积 ) 的计算1. 长方体的体积 =长宽高Vabh正方体的体积 =棱长棱长棱长棱长的三次方3Va a aa长方体或正方体的体积 =底面积高VSh容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，而容积是测量物体内部的数据。不计物体的厚度 ，体积=容积 。2. 不规则物体不溶于液体的体积计算放入物体 1一个水杯，底面积为S, 水的高度为 h, 则水的体积 =Sh. 当放入石头之后石头不溶于水且全部浸没在水中，水的高度变为 H, 则水杯内总体积为=SH . 石头不溶于水， 水上升的体积等于石头的体积。石头的体积 =SH-Sh=S(H-h)。拿出物体 2一个水瓶里有水和铁块铁块全部浸没在水中，底面积为S, 水的高度为 H,则水瓶内总体积 =SH . 当拿出铁块水中 物体之后，水的高度 变为h, 则水杯里水的体积为 =Sh. 铁块不溶于水， 水下降的体积等于铁块的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页铁块的体积 =SH-Sh=S(H-h)。3. 盐溶于水，则盐的体积 +水的体积盐水的体积练一练：1. 学校把 10.5 立方米的沙子铺在长6 米，宽 3.5 米的沙坑里，铺好之后，沙子的厚度是多少？沙子在沙坑里形成一个长方体，求厚度也就是求长方体的高挖一个长 50 米，宽 30米，高 2 米的养鱼池， 这个养鱼池的占地面积是多少？如果用水泵往养鱼池里注水12 小时，池内水深 1.5 米，这个水泵每小时注水多少立方米？提示：1. 养鱼池是个长方体， 占地面积也就是长方体的底面积或长方体的上面。 2. 求每小时注入多少水，先算12 个小时注入多少水。 12 小时注入的水是什么立体几何？ 工作效率 每小时注水的量 工作时间 12小时=工作总量水的体积第二讲长方体和正方体一、长方体和正方体的认识【知识点 1】要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12 互 相 平 行的 棱 长 度相等6 相对的面完全相同8 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12 垂 直 于 正方 形 面 的棱 长 度 相等6 两 个 面 是 正 方形，其余四个面是完全相同的长方形8 正方体12 所 有 的 棱长 度 都 相等6 所有面都是正方形且完全相同8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有 6各面是正方形， 但不会存在 3 个、4 个、5 个面是正方形！练习：1判断并改正： 1 、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页 2 、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3 、一个长方体 (非正方体 ) 最多有四个面面积相等； ( ) 4 、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7 、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8 、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9 、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。 12、长方体和正方体最多可以看到3 个面。 14 、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。 15 、长方体不包括正方体除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。 16 、一个长方体中最少有4 条棱长度相等， 最多有 8 条棱长度相等。2填空：1、一个长方体最多有个面是正方形，最多有条棱长度相等。2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4 个侧面是形。3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面，它的六个面都是相等的形。4、把长方体放在桌面上，最多可以看到个面。最少可以看到个面。【知识点 2】棱长和公式：长方体棱长和 =长+宽+高 4 长+宽+高=棱长和4 长方体棱长和 =下面周长 2+高4 长方体棱长和 =右面周长 2+长4 长方体棱长和 =前面周长 2+宽4 正方体棱长和 =棱长 12 棱长=棱长和 12 棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎， 捆扎效果如图， 打结部分需要 10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？分析：此题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此， 在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。前面和后面的彩带长度 =高的长度；左面和右面的彩带长度 =高的长度；上面和下面的彩带长度 =长的长度。需要彩带的长度 =高4+长2+宽2+打结部分长度204+302+10=150cm 练习：1看图 2-6，并填空单位：厘米30 20cm 20cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页这个长方体长 ( ) 厘米，宽( )厘米，高( )厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是 ( ) 厘米。棱长总和是 ( ) 厘米。上下两个面是 ( )形。2看图 2-7 并填空单位：厘米这是一个 ( ) 体，正方体的棱长是 ( ) 厘米，棱长之和是 ( )厘米，每个面的面积是 ( ) 平方厘米。3有一个长方体的鱼缸，长50 厘米，宽 30 厘米，高 30 厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要米的铝合金。（4）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是厘米。7一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是。7一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？（8）一只鱼缸，棱长和为 280cm ，其中，底面周长为 50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，鱼缸的长、宽、高各是多少？【知识点 3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有 个面， 面完全相同， 如：前面和完全相同， 和完全相同， 和完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。 根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。例如：如图以下长方体的后面是 形状，长是宽是 ；它的右面是形状，长是宽是 ；下面是形状，长是宽是 。练习：上下左后右前30m 6m 50m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页（1）长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？（2）一个长方体的长是25 厘米，宽是 20厘米，高是 18 厘米，最大的面的长是厘米，宽是厘米，它的面积是平方厘米；最小的面长是厘米，宽是厘米，它的面积是平方厘米。3一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4 米，它的前后的面的面积是 ，左右的面的面积是 ，上下的面的面积是 。【知识点 4】经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：练习：以下三个图形中，能拼成正方体的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页【知识点 5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响1切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条长和 4条宽； 棱长增加的最长将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条宽和 4条高； 棱长增加的最短将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4 条棱。二、组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条宽； 棱长减少的最多将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条宽和 4 条高； 棱长减少的最少将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8 条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少 16 条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32 条 公式： 8N1 例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为 140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60 条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32 条，还剩 60-32=28 条；即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm ；所以一个正方体的棱长和为：512=60cm 。【知识点 6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体， 每条棱的长度相等， 所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8 个也就是说每条棱上放2 个小正方体，接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放 3 个小正方体即 333=33=27 个，依次类推接下来是444=43=64 个；555=53=125 个从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页小正方体拼大长方体的规律规律同正方体， 首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a 倍，宽是小正方体棱长的b 倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc 个小正方体组成的。练习：1用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为9 厘米的大正方体需要个小正方体。A、8 个B、27 个C、26 个D、64 个2一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，一共需要块这样的小正方体。3一个长方体的盒子里面长5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为 5 厘米的正方体小木块共可以放块。二、长方体和正方体的外表积【知识点 1】长方体外表积 =长宽 +长高 +宽高 2 =ab+ac+bc2 =前面面积 +上面面积 +右面面积 2 正方体外表积 =棱长棱长 6=aa6=6a2 =任意一个面的面积 6 前面面积 =后面面积；左面面积 =右面面积；上面面积 =下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，外表积不一定相等！外表积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！练习：1、一个长方体长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米。这个长方体上下两个面的面积各是平方厘米，前后两个面的面积各是平方厘米，左右两个面的面积各是平方厘米，外表积是平方厘米。2、判断题：长方体的外表积一定比正方体的外表积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍3、把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的外表积是。4、 长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2厘米，它的棱长总和是厘米，六个面中最大的面积是平方厘米，外表积是平方厘米。5、用字母表示正方体或长方体的外表积；用字母表示长方体的体积公式是。6、下面哪些问题跟长方体外表积有关。 A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？7、一个长方体的长是5 分米，宽和高都是4 分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有条，面积是 20 平方分米的面有个。8、一个长方体的金鱼缸，长是8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页9、一个长方体侧面积是360 平方厘米，高是 9 厘米，长是宽的1.5 倍，求它的外表积。【知识点 2】长方体外表求法的变形：贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5 ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m ，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm ，12cm ，5cm ，上面有长14cm ，宽 3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m ，宽 8m ，深 3m ，这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长 20 厘米，宽 15厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4 厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）一种长方体硬纸盒，长10 厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板 210 张，可以做这样的硬纸盒多少个？不计接口（3）一个通风管的横截面是边长是米的正方形, 长米. 如果用铁皮做这样的通风管 50 只, 需要多少平方米的铁皮 ? （4）一个房间的长 6 米，宽米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥， 粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥 4 千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是 10 厘米的通风管， 至少需要铁皮多少平方厘米？做 12 节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒， 棱长是 21 厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉，长 50厘米，宽 30 厘米，高 10厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？8长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的外表积是多少平方厘米？3. 一只鱼缸，棱长和为280cm ，其中，底面周长为50cm ，右面周长为 40cm ，前面周长为 50cm ，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页10一块长方形铁皮长60 厘米，宽 40 厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是10 厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的外表积是多少平方厘米？11一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是个面. 【知识点 3】棱长变化对外表积的影响：（1）正方体正方体的棱长扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，外表积扩大 4 倍，体积扩大 8倍；正方体的棱长扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，外表积扩大 9 倍，体积扩大 27倍；正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，外表积扩大 n2倍，体积扩大 n3倍。二、长方体长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，外表积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，外表积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，外表积扩大 n2倍，体积扩大 n3倍。长方体的长扩大 a倍，宽扩大 b倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，外表积变化也无规律，体积扩大abc倍。长方体的长扩大 a倍，宽扩大 b倍，棱长和变化无规律，外表积变化无规律，体积扩大 ab 倍 。长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c倍，棱长和变化无规律，外表积变化无规律，体积扩大 bc倍 。长方体的长扩大 a倍，高扩大 c倍，棱长和变化无规律，外表积变化无规律，体积扩大 ac 倍 。练习：1大正方体的棱长是小正方体的棱长的2 倍，那么大正方体的外表积是小正方体外表积的倍。2正方体的棱长缩小5 倍，它的体积就缩小倍3一个长方体的长、宽、高都扩大4 倍，它的外表积就。4正方体的棱长扩大6 倍，外表积扩大倍。5一个正方体的棱长为4 厘米扩大为 2 倍后，其棱长和为厘米，外表积为平方厘米比原来扩大了。6一个长方体长扩大2 倍，高扩大 4 倍，体积扩大倍。7大正方体的外表积是小正方体的4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的 ；大正方体棱长之和是小正方体的 A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍8把一个正方体切成大小相等的8 个小正方体， 8 个小正方体的外表积之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页 。9判断：一个长方体的长扩大2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，这个长方体的外表积扩大24 倍。正方体的棱长扩大1.2 倍，它的棱长也扩大 1.2 倍，它的外表积就扩大14.4 倍。有棱长为 1 厘米的正方体拼成较大的正方体， 其外表积比原来一个正方体时扩大了 4 倍。棱长为 16 厘米的正方体， 将棱长缩小 2 倍后，其棱长为 4 厘米，其外表积也缩小了 4 倍。【知识点 4】5、立体图形的切割：切割会使外表积增加，因此存在外表积增加最多或最少的问题?长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其外表积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其外表积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面， 切两刀增加四个完全相同的面， 依次类推。?正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸， 即外表积最小， 也就是外表积比原来单独包装时减少的外表积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。练习：1把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的外表积是。2用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的外表积最大是平方厘米，最小是平方厘米。3把一根长 80 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木料锯成长都是40 厘米的两段，外表积比原来增加了平方厘米。4用两个长、宽、高分别是3 厘米，2 厘米，1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的外表积最小是平方厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页5棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的外表积比正方体的外表积和减少。6一根长方体木料，长1.5 米，宽和厚都是 2 分米，把它锯成 4 段，外表积最少增加平方分米7一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，外表积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长 2 米的方木底面是正方形 锯成三段， 外表积增加 5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根 1.8m 长的木材，锯成三个完全相同的正方体后， 外表积比原来增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成 6 个完全相同的正方体， 每个正方体的外表积是多少？这时外表积之和比原来增加多少？从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是 4 厘米，宽为 3 厘米，高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的外表积是多少？立体图形的组合组合只会使外表积减少， 因此存在减少最多或最少的问题?长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其外表积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其外表积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。?正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。练习：1把三个棱长是1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的外表积是 ，比原来 3 个正方体外表积之和减少了 。2把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，外表积是 ，体积是 。3用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的外表积是4把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的外表积是350 平方米。这个正方形的外表积是多少平方米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页（5） 一个长方体的长 8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，外表积最大是多少？体积是多少？6一种长方体积木，长3 厘米，宽 2.5 厘米，高 2 厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，外表积最小是多少？7 用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体， 外表积减少多少平方分米？外表积是多少平方厘米？8有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，外表积减少32 平方厘米。求所拼长方体的外表积。9用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个外表积最大的长方体，这个大长方体的外表积是多少平方厘米？10用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？11用 3 个棱长 4 分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的外表积比3 个正方体的外表积少多少平方分米？外表积是多少平方厘米？12用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个外表积最大的长方体，这个大长方体的外表积是多少平方厘米？【知识点 5】小正方体拼成的大正方体外表涂漆问题例如：大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3 个；在棱上不包含顶点位置的小正方体露在外面的面有2 个；在面上不包含棱上的小正方体露在外面得面有1 个；用总数 3 个面的 2 个面的 1 个面得 =没有露在外面的小正方体的个数。在该正方体外表涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页练习：图 1 图 2 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后外表积的变化【知识点 6】单位换算长度单位： mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为10 面积单位： mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100 体积单位： mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000 容积单位： ml、l 相邻两个单位进率为1000 特别的： 1ml=cm3 1l=1dm3 1 方=1m 3不是同一类型的单位， 数据不能比较大小， 同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例如： 手指尖约占了 1 立方厘米的空间，即它的体积约为1 立方厘米。一个粉笔盒的体积约为1 dm3。建一游泳池，约要挖土6000 方。 1.36 dm3 =1360 cm33 =4573 dm3一个烧杯约能装水500ml。图一中，长方体共有个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有个；没有露在外面的小正方体共有个。图二中三个图一次有 、 、 小正方体 组 成 。 第 二 个 长 方 体 中 有 三 个 面 在 外 面 得 正 方 体 有个，两个面在外面的正方体有个，一个面在外面的有个，没有露在外面的小正方体 。挖去的小正方体在顶点位置 ，则大正方体的 外表积不变 ，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3 个，挖去后露出来的面也是3 个，所以外表积不变。挖去的小正方体在棱的位置 ，则大正方体的 外表积增加 ，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2 个，挖去后会露出4 个面，所以外表积会增大。挖去的小正方体在面上 ，则大正方体的 外表积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1 个面露在外面，挖去后会露出5 个面，所以外表积会增大。高级单位进 率 高 级 单 位 的数低级单位低 级 单 位 的 数 进率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm3 =5670cm3练习：(1) 立方分米 =立方厘米 500立方分米 =立方米9 立方米 500立方分米 =立方米 =立方分米升=毫升=立方厘米1700平方厘米 =平方分米 =平方米3 升=毫升 2700毫升=升2.57 升=毫升 640毫升=升2.8 立方分米 =( ) 立方厘米 0.8升=( ) 毫升720 立方分米 =( ) 立方米 51000毫升= ( ) 升32 立方厘米 =( ) 立方分米 4.25立方米 =( ) 立方分米=( ) 升2.7 立方米 =( ) 升 1200毫升=( ) 立方厘米1.24立方米 =( ) 升=( ) 毫升 3.06升=升毫升40 立方米立方分米 4立方分米 5 立方厘米立方分米30 立方分米立方米升毫升2100毫升立方厘米立方分米升毫升立方厘米(2) 一个水池能装水 400 立方米，这是指 ， 占地 2 公顷指的是 。一块橡皮擦的体积约是8( )。一本书的封面约是2( )。运货集装箱的体积约是40( )。一支钢笔长 18( )。一台录音机的体积约是20( )。三、长方体和正方体的体积【知识点 1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小； 容积是指所容纳物体的体积； 一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积 容积。比方说， 一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。容器壁忽略不计体积计算方法：长方体的体积 =长宽高正方体的体积 =棱长棱长棱长长方体和正方体的体积 =底面积高 =右面面积长 =前面面积宽精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，外表积不一定相等， 棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，外表积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的外表积比长方体的小；外表积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。练习：5. 判断：体积单位比面积单位大， 面积单位比长度单位大正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算外表积相等的两个长方体， 它们的体积一定相等长方体的体积就是长方体的容积2一个正方体的棱长和是12 分米，它的体积是立方分米3一个长方体的体积是30 立方厘米，长是 5 厘米，高是 3 厘米，宽是厘米4外表积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是立方厘米5一个长方体框架长8 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米，做这个框架共要厘米铁丝，是求长方体，在外表贴上塑料板，共要塑料板是求，在里面能盛 升水是求 ， 这个盒子有立方米是求6长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是厘米，六个面中最大的面积是平方厘米，外表积是平方厘米，体积是立方厘米7一个正方体棱长 2 厘米，体积是立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大 2 倍，它的体积是立方厘米。8一个菜窖能容纳6 立方米白菜，这个菜窖的是 6 立方米9外表积相等的长方体和正方体的体积相比，正方体体积大长方体体积大相等10 将一个正方体钢坯锻造成长方体， 正方体和长方体 体积相等， 外表积不相等体积和外表积都不相等外表积相等，体积不相等1、要制作 140 个棱长 5 厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？12某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40 厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？2、长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是 200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？3、一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3 米，宽米，深 2 米，每立方米沙子重 1400千克，这个沙坑里共装沙子多少吨？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页4、有一块面积为 36 平方分米的铁皮， 将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立方分米的物体？15用一根 12 分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是立方分米。【知识点 2】体积大小的比较对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。对于固体而言， 在体积小于容器体积的前提下， 还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。例如：有一个长为 8 分米，高位 5 分米，体积为 240平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为 7.4 分米，高位 4 分米，宽为 6.5 分米，是否可以放入该容器？分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。通过计算硬纸盒的长 =8分米宽=24085=6 分米高=5分米陶瓷的长 =7.4 分米宽=6.5 分米高=4分米我们可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大， 所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。练习：1. 有一个长方形玻璃鱼缸长为5 分米，宽为 3 分米，高为 3 分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5 分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？2. 有一个长方体的硬纸盒，长为11 分米，宽为 15 分米，高为 6 分米，现将一个长为 12 分米，宽为 10分米，高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？【知识点 3】切割组合对体积的影响练习：1一个长方体，如果高增加3 厘米，就成为一个正方体。这时外表积比原来增加了 96 平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？2一个长方体，把它的高增加3 厘米，它就变成一个正方体，并且外表积比原来增加了120 平方厘米，求原来的体积是多少？3一个长方体，把它的高减少5 厘米，它就变成一个正方体，并且外表积比原来减少了200 平方厘米，求原来的体积是多少？4一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的外表积比原来少了80 平方厘米，求原来长方体的外表积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页5一个棱长为分米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？6把一个棱长为米的正方体木块切割成棱长是分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？7把一个棱长为米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可以排多少米？8一个长方体木箱，从里面量长0.6 米，宽 0.4 米，高 0.2 米，这个长方体木箱内能装个棱长 2 分米的正方体物体。【知识点 4】砌墙类问题练习：1一块长 1.2 米, 宽 6 分米, 厚 3 分米的长方体木块 , 可以截出多少块棱长为3分米的正方体？【知识点 5】填土抬高地面类问题【知识点 6】计算不规则物体体积的方法液面上升或下降的问题练习：1一个长方体鱼缸，长 80 厘米，宽 60厘米，深 40 厘米，把一块长 30厘米，宽 24 厘米，高 16 厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米? 2在一个长 60 厘米，宽 54 厘米，深 45 厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12 厘米，宽 18 厘米，高 15 厘米的铁块， 把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？3一个长方体鱼缸，长 80 厘米，宽 60厘米，深 40 厘米，把一块长 30厘米，宽 24 厘米，铁块浸入在水中，水面上升9 厘米, 求铁块的高。4在一个长 60 厘米，宽 54 厘米，深 45 厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长12 厘米，宽 18 厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降5厘米，求铁块的高。5一个长方体鱼缸，长 80 厘米，宽 60厘米，深 40 厘米，把一块底面边长为20 厘米，高为 120厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？【知识点 7】等体积变形问题练习：1把一个棱长6 分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长9分米，宽 4 分米，求这个长方体钢锭高多少分米？【知识点 8】展开图形拼长方体或正方体1用一张长 60 厘米，宽 40 厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？思路一：从四个角上分别剪去一个边长为厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是 ，宽是 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页高是多少？求出它的容积。思路二：从左边剪下两个边长为厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是 ，宽是 ，高是多少？求出它的容积。思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为厘米的正方形做底面，然后把剩下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体，观察思考做成的长方体长是 ，宽是 ，高是多少？求出它的容积。【知识点 9】棱长变化对体积的影响练习：1正方体棱长扩大2 倍，外表积扩大倍，体积扩大倍2长方体的长扩大2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，体积扩大倍。 5 、一个棱长 1 米的大正方体能分成个棱长是 1 厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排米。3一个外表积为 36平方厘米的正方体木块， 切成两个长方体， 外表积增加了平方厘米。4一个正方体棱长缩小2 倍，外表积缩小倍，体积缩小倍。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页