名师精编优秀教案椭圆定义及其标准方程的教学设计( 金沙县逸夫中学陈相飞 ) 一、教材内容分析本课选自普通高学课程标准实验教科书（选修2-1）数学 ( 北师大版 )，第三章 1.1 节. 本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景, 感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用; 使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c 的代数意义、标准方程及其轨迹，本节对椭圆定义与轨迹的研究，和圆的定义与轨迹相呼应，学生学习了圆的定义之后，已初步具备了探讨椭圆定义的本质这个问题的能力，通过探究，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，形成对椭圆这一概念本质的理解，从而进一步让学生体验“用方程研究曲线” 这一基本思想 , 体现了数学的和谐之美 , 符合认知的渐进原则。二、学生学习情况分析我所任教学校， 有优越的多媒体设备， 学生的数学基础较好， 有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握圆的定义及轨迹，二次函数的图象等内容， 迫切想了解更多曲线本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。三、设计思路为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、 激发情感、 主动发现、 主动发展”的教学模式， 在课堂设计上，教师应学会如何创设情景， 激发学生学习的兴趣； 围绕教材的重难点， 比如本节的“椭圆概念的形成”和“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人， 不断完善自己的知识体系， 提高获取知识的能力， 尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。四、教学目标1知识与技能目标： 使学生了解椭圆的实际背景, 感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用 ; 掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c 的代数意义、标准方程及其轨迹，2. 过程与方法目标： 通过寻求椭圆的标准方程的推导， 帮助学生领会观察、 分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、 科学抽象、 规范总结的思维习惯， 逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；3情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨， 感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣， 给学生以成功的体验， 逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。五、教学重点和难点教学重点 : 椭圆的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点. 教学难点： 椭圆概念的形成。 通过椭圆的画法设计， 标准方程与圆的比较突破难点。六、教学过程设计中国自己的登月宇宙飞船中国人登上了月球太阳系行星的运动图p3月亮太阳金星地球土星木星精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案生活中的玻璃餐桌椭圆是由圆压扁得到的吗 ? 一设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张“ 嫦娥二号 ” 的图片师：中国自主研究的载人航天宇宙飞船是我们中国人的骄傲，同学们你们通过努力学习 , 一定可以为中国创造更多的骄傲, 对吗?生：对！生：当然可以！生：为祖国的富强而努力！师：对！大家都很有信心 , 我相信你们有一天可以做到的, 今天我们就着手研究飞船运行的轨道 -椭圆.( 给出另外三张图片 , 让学生简要讨论图片内容 .) 【学情预设】 学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。【设计意图】 一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动， 激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。二引导探究，获得新知师：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，我们看到第四张图片, 椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有没有关系吗 ? 生：不是！生：是！师：它和圆有没有关系吗? 生：有关系 . 生：没有关系 . 师：为了解决这两个问题, 先给出一种画椭圆的方法: 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1 和 F2两点( 如下图 )， 当绳长大于 F1和 F2 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆我们来看一看椭圆和圆的画法。(找 2 个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆,之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程) y oFFMx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案【学情预设】 学生认真观察图象的变化.【设计意图】 不仅回顾了圆的相关内容， 体验了椭圆的画法 , 而且为归纳出椭圆的定义打下基础 . 师：这椭圆是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静）师：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?(可以提问 , 也可以集体回答 .) 生：F1、F2点固定，是定点。师：对！还有什么条件吗？生：MF1+MF2就是细绳的长度。师：太对了，而细绳的长度是固定的，也就是说MF1+MF2 是个定长。同学们归纳的很正确，那么这里面有没有隐含着什么呢？生：师：我们来看 , F1、F2、M三个点是构成一个三角形的 ( 有学生说出应满足的结论 ) 生：MF1+MF2大于 F1F2的长度 . 师：回答得很好！你们根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来.( 引导学生概括椭圆的定义 ) 生：平面内到两定点F1、F2 的距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆师：对 , 椭圆的定义就是 : 平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 ( 大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.下面我们来看看 , MF1+MF2小于等于 F1F2的长度时 ,M 点的轨迹是什么情况呢?(学生思考 ) 生：若常数 =|F1F2| ，则是线段 F1F2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案生：应该有两种情况 : 若常数 =|F1F2| ，则是线段 F1F2 ；若常数 |F1F2| ，则轨迹不存在；师：也就是说 : 若常数 =|F1F2| ，则是线段 F1F2 ；若常数 |F1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆， 还必须加上限制条件：“此常数大于 |F1F2| ” (强调 MF1+MF2是定长但是大于 |F1F2| )【学情预设】 学生间合作交流，完成对椭圆定义的归纳。【设计意图】 着重培养学生分析、归纳等能力。三深入探索，推导方程师：接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤:(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M的坐标 ; （2）写出适合条件 P（M ） ; （3）用坐标表示条件P（M ），列出方程 ; （4）化方程为最简形式 ; 师：第一步，该如何建立坐标系呢？( 学生会说出不同的方案，选取下列方案) 生：以两定点 F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。 (老师在黑板上画出适当的图(如下图 ) （方案一）（方案二）oFy x2 FM y oFFMx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案师：这样建系很合理。 建立坐标系后 F1、 F2的坐标分别是12(,0),( ,0)FcFc, 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 生：|MF1|+|MF2|=a师：为了后面化简方便，我们这里把定长定为2a.下面列出方程 . 生：222()MFxcy,221()MFxcy, 得方程 : 2222()()2xcyxcya师：最后化简方程 , 化方程为最简形式 ;( 一段时间后，投影仪展示化简的过程: 原方程要移项平方、整理得222()acxxcy上式两边平方、整理得，22222222()()acxa yaca. 因为ac，所以可化为：222221xyaac为使方程对称和谐而引入b，同时 b 还有几何意义，下节课还要讲。因为ac，所以令222bac，其中 b0,代入上式，得22221xyab（0ab）这说明椭圆上点的坐标满足以上方程，关于证明所得的方程是椭圆方程，可参考课本 62 页的证明，根据情况也可从略）师：因此，我们将方程22221xyab（0ab）叫作椭圆的标准方程，焦点坐标12(,0),( ,0)FcFc，其中222cab. 师：那么象方案二建立坐标系的话, 椭圆的方程该怎样写呢 ? 生: 只需要将, x y互换就可以了 , 应写成22221(0)yxabab同样有222cab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案师: 很好, 今天我们学习了椭圆的定义以及如何推导出椭圆的标准方程. 下面请学生归纳焦点在y 轴上椭圆的标准方程。生：焦点在 y 轴上椭圆的标准方程为：222210xyabba师：请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，完成下表强调：是0ab；是222abc（要区别与习惯思维下的勾股定理222cab） ；注意方程“型”与曲线“形”的对应。目的：通过对比总结， 强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识， 而且在此过程中掌握求知的方法； 通过讨论，利用类比的方法来深化学生对椭圆标准方程的理解。师：下面我们来看几个例题。进行例题讲解。师：抢答题：口答练习：椭圆2222153xy，则a ,b；椭圆2222146xy，则a ,b；椭圆22194xy，则a ,b；标准方程222210xyabab222210xyabba不同点图形焦点坐标120,0FcFc、120,0,FcFc、相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹a、b、c 的关系222abc焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编优秀教案再设问：以上的椭圆对应的焦距是多少？（利用222abc研究 2c）目的：使学生迅速进入到紧张的练习氛围中去，能及时对学习的知识加深印象。课堂探究题 : 下列方程是否表示椭圆 , 为什么 ? (1)14422yx;(2) 04322yx;(3) 1522yx;(4) 19422yx. 课后思考题：方程Ax2+By2=C中，A、B、C 满足什么条件，方程可以表示椭圆？目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象， 加强对知识的理解。典型例题研究：例 1：已知4a,3b，求焦点分别在 x、y 轴上的椭圆的标准方程。（焦点在x 轴：椭圆方程191622yx；焦点在焦点在y 轴：椭圆方程116922yx）口答：根据已知条件，求焦点分别在x、y 轴上的椭圆的标准方程 6,4ab； 3,1ab； 2,5 ca；2,3 cb目的：检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础； 加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识， 利于学生思维能力的培养。例 2：已知椭圆的焦点坐标是14,0F，24,0F，椭圆上的任意一点到1F、2F的距离之和是 10，求椭圆的标准方程。由学生讨论分析，解决本题，得出椭圆方程192522yx。练习：已知椭圆的焦点坐标是10, 1F，20,1F，椭圆上的任意一点到1F、2F的距离之和是 8，求椭圆的标准方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案由学生自主思考，独立完成，得出椭圆方程1151622yy。目的：同步练习，检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础； 加深对所学知识的理解和运用， 使学生掌握基础知识，有利于学生思维能力的培养。四. 指导应用，鼓励创新师: 我们假设地球是个球体 , 半径是 6371 千米 , 而且知道“东方红一号”的近地点：430 千米 ;远地点： 2075 千米 , 你们能建个坐标系, 求出“东方红一号”运行轨道的标准方程吗 ?这个问题留给同学们课后完成. 【学情预设】 当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题。【设计意图】 设计一道卫星运行轨道轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知识， 加深学生的数学应用意识， 让学生感受数学的价值， 体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活。五小结概括，深化认识师：今天我们学习了什么内容？生: 利用几何知识画出了椭圆。生: 知道了椭圆的定义和标准方程，知道了标准方程中, ,a b c的代数关系 . 定义椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 ( 大于|F1F2|) 的点的轨迹标准方程22221xyab（0ab）22221(0)yxabab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案图形焦点坐标12(,0),( ,0)FcFc12(0,),(0, )Fc Fc, ,a bc之间的关系222cab师：这是知识方面的。我们还学到了哪些数学思想方法？生: 观察归纳 ; 生: 类比的方法 ; 生: 数形结合思想 ; 师：很好！今天我们学习的内容虽然不多，但是从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘！也可以看出, 如果我们做生活的有心人，就会发现数学与生活实际是密切相连的。【学情预设】 学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。【设计意图】 摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结， 加深对本节课内容的认识。六布置作业1. 课本 68 页, 习题 3-1: 第 1、4 题2. 如何用几何图形解释222cab, ,a bC在椭圆中分别表示哪些线段的长? 板书设计12y oFFMx1 oFy x2 FM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 标准方程的应用4. 小结标准方程推导过程例题七、教学反思在教学设计中， 应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。 为了突破本节课的难点椭圆概念的形成，在教学设计中， 注重设计三个活动：第一个活动让学生感受亲手画出椭圆的过程，并培养学习的信心；第二个活动中将圆与椭圆两种曲线进行比较，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，三个活动有机结合，协调发挥作用， 不仅使学生加深了对椭圆概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序。为了突出本节课的重点， 将圆与椭圆两种曲线进行比较，使学生通过变换坐标系的建立，逐步理解和掌握建系求曲线方程的步骤，强化学生求曲线方程的基本功。总之，在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，要在每个阶段的教学中都必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页