名师精编优秀教案等差数列的前 n 项和教学目标1. 掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；（3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值 .2. 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3. 通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4. 通过公式的推导过程，展现数学 中的对称美； 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学 地解决问题 .教学建议（1）知识结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题（2）重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要等差数列前项和公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师精编优秀教案有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想高斯算法表现了大数学 家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学 生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上（3）教法建议本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. 前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. 强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. 补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. 用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式 . 等差数列的前项和公式教学设计示例教学目标1. 通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2. 通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师精编优秀教案教学方法讲授法 . 教学过程一. 新课引入提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100 支. 这个 V形架上共放着多少支铅笔？（课件 设计见 课件 展示）问题就是（板书）“”这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的. （由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50 组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50 个 101 就等于 5050 了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二. 讲解新课（板书）等差数列前项和公式1.公式推导（板书）问题（幻灯片）：设等差数列的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用和表示，得，有以下等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师精编优秀教案，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关 . 这个思路似乎进行不下去了.思路二：上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两式左右分别相加，得，于是有： . 这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是.于是得到了两个公式（投影片）：和.2. 公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.3. 公式的应用公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例 1. 求和：（ 1）；（2）（结果用表示）解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例 2. 等差数列中前多少项的和是9900？本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注意得到的项数必须是正整数.三. 小结1. 推导等差数列前项和公式的思路；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师精编优秀教案2. 公式的应用中的数学 思想 .四. 板书设计椭圆及其标准方程1 教学目标1掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；5通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学 的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识教学建议 教材 分析1知识结构2重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法椭圆及其标准方程这一节教材 整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材 把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师精编优秀教案另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点要注意说明这类方程的化简方法：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、 焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师精编优秀教案另外，形如中，只要，同号， 就是椭圆方程，它可以化为（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆教法建议：（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。教师 可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。教师 可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学 上的严格定义之前，教师 先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按 教师 的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师 再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师精编优秀教案细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训， 教师 因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件 来体现椭圆的定义的实质在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件 演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点 （此时不要过多的研究几何性质）虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法（6）推导椭圆的标准方程时教师 要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项（为了避免二次平方运算）（7） 讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师 要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念对于教材 上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师精编优秀教案是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材 没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析（9）要突出 教师 的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页