第一章基本概念1 信号的概念(1)“信号”是信息的表现形式，“信息”则是信号的具体内容。(2)现实世界中的信号有两种：(i) 自然和物理信号；(ii) 人工产生信号经自然的作用和影响而形成的信号。(3)信号：代表一个实际的物理信号，或数学上的函数和序列。2 信号的描述方法(1)数学描述：描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。(2)波形描述：按照函数随自变量的变化关系，把信号的波形画出来。3 信号的分类(1)确定信号与随机信号要点：给定的自变量是否对应唯一且确定的信号取值。区分方法：任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号的取值，则该信号是确定信号；否则，如果取值是不确定的随机值，则是随机信号。难点：体会“取值是不确定的随机值”的含义。(2)周期信号与非周期信号要点：关系式RtTtftf),()(是否成立。区分方法：对于信号)(tf，如果它满足关系RtTtftf),()(，其足 T 是有限的，则是周期信号；否则为非周期信号。周期信号的周期是：正的最小T 值。非周期信号可以“看成是”周期信号在周期趋于无穷大时的特例。上述结论对序列同样成立（序列是只在整数点取值的信号）。难点：如何正确确定信号的周期T（存在与不存在、数值大小）。(3)时间连续信号与时间离散信号要点：自变量的定义域是否是整个连续区间。区分方法：如果信号的自变量在整个连续区间内都有定义，则是时间连续信号；否则，如果信号仅在一些离散的点上才有定义，则称为时间离散信号。通常，时间离散信号被称为序列。难点：理解“信号仅在一些离散的点上才有定义”的含义。(4)模拟信号与数字信号要点：信号的定义域和值域是否均连续。区分方法：如果信号的定义域和值域都是连续的，则是模拟信号。 如果信号的定义域和值域都是离散的，则是数字信号。数字信号肯定是时间离散信号。难点：体会得到数字信号的方法和它的重要性。(5)因果信号与非因果信号要点：在信号自变量小于0 时信号是否有非零值。区分方法：如果自变量在)0,(开区间内信号取值均为0，则该信号为因果信号；否则就是非因果信号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页如果自变量在开区间), 0(内时，信号取值均为0，则信号为反因果信号。对离散时间信号，也可分别称因序列、非因果序列、反因果序列。难点：理解“因果”一词的内涵。(6)能量信号和功率信号要点：信号的能量是否有限。区分方法：如果信号的能量是有限的，则称为能量有限信号，简称能量信号。如是信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。信号的能量定义：dttftfE2)()(或nnfnfE2)()(。信号的功率定义：2/2/2)(1lim)(TTTdttfTtfP或NNnNnfNnfP2)(121lim)(7)实信号与复信号要点：信号取值是否为实数。区分方法：如果信号的取值为实数，则称为实值信号，简称实信号；否则，如果信号取值为复数，则称为复值信号，简称复信号。4 信号处理目的和数字信号处理的步骤(1)信号处理是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称，其主要目的是：去伪存真；特征抽取；编码与解码。(2)数字信号处理涉及的步骤：模数转换ADC ；数字信号处理DSP；数模转换DAC 。难点：结合实际应用来理解信号处理的目的和数字信号处理各步骤。5 典型信号(1)指数信号表达式：tKetf)(要点：(i)0，信号增强；(ii) 参数绝对值越大，信号衰减或增强的速度越快；(iii)=0，信号是直流信号。(iv) 指数信号的微分dtd或积分tdt还是指数信号。(2)正弦、余弦信号表达式：)sin()(tKtf和)cos()(tKtf要点： K 为振幅，为角频率(f2，f 为频率 ) ，为初相位。(3)复指数信号表达式：stKetf)(要点：(i)js为复数；(ii)欧拉公式：jeeteettjtetjtetjtjtjtjtjtj2sin2cossincossincos(iii)复指数信号与正余弦信号之间的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页tKejtKeeKeKetftttjtstsincos)(4)Sa 函数 (抽样函数 ) 表达式：tttSasin)(要点：(i)t=0 时，借助于罗彼塔法则求得11cos)(sin)0(00tttttSa(ii)0t时，随着t 的绝对值的增大，函数值的绝对值振荡着不断减小，向0 趋近。(iii)在)0,(nZnnt点处，函数值为0。(iv)波形如图1 所示。(v) 以相邻两个过零点为端点的区间称为过零区间。(vi)原点附近的过零区间宽度为2，其他过零区间宽度均为。(vii)Sa函数是偶函数。(viii)dttSa )(，2)()(00dttSadttSa。(ix)sinc 函数与 Sa函数的关系：)(sin)(tSatttcsin。Sa(t)1-4-3-2-0 234t图 1 Sa函数的波形(5)高斯信号 (钟形脉冲信号) 表达式：2)(tKetf要点：波形图f (t)0 tK图 2 钟形脉冲信号的波形(6)单位斜变信号R(t) 表达式：0,0,0)(ttttR要点：(i)单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。(ii) 单位斜变信号波形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页R(t)11 to图 3 单位斜变信号(iii) 截顶的单位斜变信号波形：R (t)to图 4 截顶的单位斜变信号(7)单位阶跃信号u(t) 表达式：0, 10,0)(tttu要点：(i)波形：u(t)10 t图 5 单位阶跃信号(ii) 单位斜变信号与单位阶跃信号的关系：tdttutR)()(；)()(tudttdR(iii) 单位斜变信号的用途（描述其它信号）：(a) 当且仅当)()()(tutftf时， f(t)称为因果信号 ; (b) 当且仅当)()()(tutftf时， f(t)称为反因果信号; (c)单位斜变信号可以表示为)()(ttutR(8)单位矩形脉冲信号G (t) 表达式：2/, 02/, 1)(tttG要点：(i)脉冲宽度为、中心位于原点。(ii) 波形为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页- /2 0 /2 t图 6 单位矩形脉冲信号(iii) 用单位阶跃函数描述：2/2/)(tututG(iv) 脉宽：矩形脉冲的宽度(非零区间的宽度)。(v)脉高：矩形脉冲的高度。(vi) 别称：门信号、门函数、矩形窗信号、矩形窗函数。(9)符号函数Sgn(t) 表达式：0, 10, 1)(tttSgn要点：(i)用以表示自变量的符号特性。(ii) 原点处，取值可为1、-1 或 0。(iii) 若设原点处信号值取1，则可用单位阶跃函数表示为：1)(2)(tutSgn(iv) 波形为：Sgn(t)10t-1图 7 符号函数6 单位冲激信号( 函数 ) (1) 定义：（狄拉克定义法）)0(0)(1)(ttdtt(2) 单位冲激信号的冲激强度为1 (3) 冲激点在0t、冲激强度为E 的冲激信号0,tE定义：)(, 0)()(0,00tttEdtttEtE(4) 关系：)()(0,0ttEttE(5) 波形表示方法：在冲激点处画一个带箭头的线，线的方向和长度与冲激强度的符号和大小一致，在箭头旁边用括号括起冲激强度的具体取值。(6) 波形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页)()(0,0ttEttE0 t0t(E)图 8 冲激点在0t、冲激强度为E 的冲激信号0,tE(7) 性质：(i)对称性：函数是偶函数。(ii) 时域压扩性：)0()(1)(ataat(iii) 抽样特性 (筛选特性 )：)()()(00tfdttttf(8) 周期为sT的冲激串定义：nsTnTtts)()(9) 信号抽样后的抽样信号：nssTsnTtnTfttftfs)()()()()(。这被称为冲激串抽样或理想抽样。fs (t)f (t)- Ts0 Ts t图 9 函数的冲激抽样(10) 与单位阶跃函数的关系：(i) tdtttu)()(；(ii) )()(tdttdu7 信号的基本运算(1)四则运算： 四则运算后的信号在任意一点的取值定义为原信号在同一点处函数值的相同的四则运算。(i)线性运算：对给定的常数a 和 b，如果把)()(tbgtaf定义的信号记为)(tL，那么对0t，必满足)()()(000tbgtaftL。(ii) 乘法和除法运算：如果定义信号)()()(tgtftM或)(/)()(tgtftD，那么对0t，必满足)()()(000tgtftM或)(/)()(000tgtftD。(iii) 难点：对信号的除法运算，需要注意的是：如果分母函数)(tg在某个点0t处的函数值为0，那么新函数)(tD在0t处可能无定义，也可能有定义，取决于分子函数在0t处的取值，以及分子、分母函数在0t处的导数情况。如果分子函数的函数值也为 0，并且利用罗彼塔法则可以求出结果，则)(tD在0t点是有定义的。Sa 函数在 t=0 点有值就是一个例子。(2)反褶运算：(i) 表达式：原信号)(tf，运算后的信号)( tf(ii)运算方法：将原信号)(tf的波形按纵轴进行对称翻转精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页(iii)特性 I：如果函数 (信号 )是偶函数 (信号 )，则反褶是其本身。(iv)特性 II：函数 (信号 )经过两次反褶运算后将还原为原始函数(信号 )。(3)时移运算：(i)表达式：原信号)(tf，运算后的信号)(btf(ii) 运算方法：将原信号)(tf的波形沿横轴平移b 个单位 (b 大于 0 时右移、小于0 时左移，位移量是b) (4)时域压扩运算：(i)表达式：原信号)(tf，运算后的信号taaSgnfatf)()(ii) 运算方法：(a) 如 果0)(aSgn则 先 对)(tf进 行 反 褶 得 到)()(1tftf， 否 则 保 持 不 变 为)()(1tftf，总之结果是taSgnftf)()(1；(b) 对)(1tf进行时域压扩得到taftf12)(： 当1a时，taf1以原点为基准把)(1tf压缩到原来的a1；当10a时，taf1则把)(1tf扩展到原来的a1倍。(iii) 参数名称：非零常数a 为尺度变换因子或压扩因子(iv) 别称：尺度变换(v) 说法：称)(atf为按压扩因子a 对 f(t)进行时域压扩。(5)微分和积分运算：(i) 微分：原信号为)(tf，运算后为)(tfdtd；(ii)积分：原信号为)(tf，积分后为tdttf)(；(iii)连续 n 次微分或积分运算算子分别为：ndtd和ntdt。(6)卷积运算：(i)定义：函数)(1tf与)(2tf的卷积为：dtffts)()()(21(ii)简记：)()(21tftf或)(21tff(iii) 两个关于 t 的函数 (信号 )经过卷积运算后仍然是关于t 的函数 (信号 )。(iv) 几何解释（作图方法）：(a) 将)(2f关于进行反褶得到)(2f；(b) 再平移至0t得到)()(0202tftf；(c)与)(1f相乘得到)()(021tff；(d) 对进行积分得到dtff)()(021，这就是)(0ts；(e) 变化0t，就可以得到)(ts。在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中，它与另外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形。(v) 基本性质：(a) 交换律：1221ffff(b) 分配律：3121321)(fffffff(c)结合律：)()(321321ffffff(vi) 与单位冲激函数的卷积:)()()(00ttftttf(vii) )()(2211ttfttf)()(2211tftttf)()(2121tttftf(viii) 微分：)()()()()()(212121tfdttdftfdtdtftftfdtd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页(x) 积分：)()()()()( )(212121tfdfdftfdffttt(xi)卷积的微分和积分性质推广：)()()(2)(1)(21tftftffmnmn(xii)dftutft)()()(7)相关运算：(i)定义：设)(1tf和)(2tf为能量信号，则它们的相关定义为：dtfftftfRtRff)()()(),()(*212121dftf)()(*21dtfftftfRtRff)()()(),()(*121212dftf)()(*12其中上面两个式子中的右上标“*”，表示复数的共轭运算。(ii)fff21时，为自相关函数，简记为)(tRfdftfdtfftRf)()()()()(*(iii) 性质：(a)()(*1221tRtRffff(b)若 f(t)是实信号，则)()(tRtRff。即实信号的自相关函数是偶函数(iii) 相关与卷积的关系：)()()(2*112tftftRff8 信号的分解(1)直流分量与交流分量：(i)分解是唯一的：任一信号)(tf可唯一地分解为直流分量和交流分量。(ii) 直流分量：2/2/)(1lim)(TTTDdttfTtfDCf，可以看作是信号平均值。(iii) 交流分量：)()(tfACtfA与横轴围成的面积为0，0)(dttfA(iv) 单位阶跃信号)(tu的交流分量是符号函数)(tSgn的二分之一。(2)偶分量与奇分量：(i)分解是唯一的：任一信号)(tf可唯一地分解为偶分量和奇分量。(ii)偶分量：2)()()()(tftftfEvtfe(iii) 奇分量：2)()()()(tftftfOdtfo(iv) 偶信号的偶分量是其本身，奇分量为零。(v)奇信号的奇分量是其本身，而偶分量为零。(3)实部分量与虚部分量：(i)分解是唯一的：任一复信号)(tf含有唯一确定的实部分量和虚部分量。(ii) 实部分量：)()(21)(Re)(*tftftftfr(iii) 虚部分量：)()(21)(Im)(*tftfjtftfi(iv) 实信号的虚部为零，纯虚信号的实部分量为零。(v)信号模的平方，等于信号与其自身共轭的乘积，也等于实部和虚部的平方和。(4)脉冲分量：信号可以近似地表示为一组矩形脉冲的和。(5)正交函数分量： 如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该函数在该正交函数上的正交分量。(i)正交函数：如果在区间21,tt上函数1f和2f互不含有对方的分量，称1f与2f在(21,tt)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页上正交 。(ii)函数正交的充要条件是它们的内积为0，0,21ff(iii) 正交函数集：函数集Nntgn1:)(在),(21tt区间上正交的条件为：)()()(21nmKdttgtgnttnm，0,nKn，其中，0, 00, 1)(nnn。(iv) 任一函数f(t)在),(21tt上可表示为该函数集内函数的线性组合：Nnnntgctf1)()(v)正交分量的系数为：21)()(1)(),()(),()(),(ttnnnnnnnndttgtfKKtgtftgtgtgtfc9 用完备正交函数集表示信号(1)完备正交函数集定义1：在),(21tt内，用正交函数集Nntgn1:)(近似任一函数f(t)。Nnnntgctf1)()(，其均方误差为dttgctfttttNnnnN2112221)()(1。若0lim2NN，则称ntgn1:)(为完备正交函数集。此时1)()(nnntgctf(2)完备正交函数集定义2：对 正 交 函 数 集Nntgn1:)(， 若 不 存 在 函 数x(t) ，21)(02ttdttx， 满 足ndttgtxttn, 0)()(21，则称该正交函数集是完备的。(3)帕斯瓦尔定理：21122)(ttnnnKcdttf表达了信号在时域和变换域(此处是正交函数的系数域)之间的一种能量守恒关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页