学习必备欢迎下载第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队， 也叫做 方阵（ 亦叫 乘方问题） 。核心公式：1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4） 1 3方阵外一层总人数比内一层总人数多2 4去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21 例 1: 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60 人，问这个方阵共有学生多少人? 解析： 方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数 =四周人数 4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。【 巩 固 1】 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析： 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数 4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解： 方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【 巩 固 2】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法 1：最外边一层棋子个数：（14-1 ） 4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1 ） 4=44（个）第三层棋子个数：（14-2 2-1） 4=36（个） . 摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载解法 2：还可以这样想：中空方阵总个数= （每边个数一层数） 层数 4进行计算。（14-3） 34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固 3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27 人，求这个正方形队列原来有多少人？解析： 依据：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21 可知每边的人数是：142)127(（人）原人数是：1961414（人）答：略。【巩固 4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100 枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析： 这要用到方阵的公式逆运算，100 必然是一个数的平方数因为1001010（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10 人。例 2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33 人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析： 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9 人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数2 1 解 ： 方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数172) 133(人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为2891717（人）【巩固】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析： 如上图表示的是一个4 行 4 列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数每行人数每列人数。（2）去掉横竖各一排时，有且只有1 人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点 A所示。因此去掉的总人数原每行人数2 1，或去掉的总人数减少后每行人数 21。本题中所求，即去掉的人数7 2113（人）或去掉的人数（71） 2113（人）还剩的人数（71）（ 71） 36（人）或还剩的人数7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13 名学生，还剩下36 名学生。例 3：解放军战士排成一个每边12 人的中空方阵，共四层，求总人数？解法 1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：1212=144（人）（2）第四层每边人数：12-2（ 4-1 ）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2 ）（ 6-2 ）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128 （人）答：总人数是128 人。小结： 中空方阵总人数=外边人数外边人数- （内边人数 -2）（内边人数-2）解法 2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数 - 层数 12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4 人（3）总人数： 84 4=128（人）答：总人数是128 人。小结： 中空方阵总人数=（每边人数 - 层数）层数4 【巩固 】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插 7 面。一共要准备多少面旗子？解析： 依据求外层个数的公式：（边数-1） 4 244)17(（面）答：略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载例4： 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花 .问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解 析 ： 从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍. 又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：17129（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：483)117(（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：729（棵）解： 大三角形三条边上共栽花：483) 1129(（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(（棵）整个花坛共栽花：692148（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第 5个，这个方阵共有多少人？解析： 如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是9人。解： 每行每列数：9125（人）共有 ：8199（人）例 5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200 枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析 1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：（200+8+82+83+84） 5 56（个）最外层每边的棋子数：564+1 15（个）解析 2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数：200450（个）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载每一部分每排的棋子数：50510（个）最外层每边的棋子数：10515（个）综合列式为：20045515（个）答：最外边一层每边有15 枚棋子。【巩固】 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12 人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析 1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8 个。最外层队员的总数：444412（人）三层共有队员的总数：)2844()844(44=283644=108（人）解析 2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（123） 39327（人）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载三层共有队员数：274108（人）答：彩车周围的少先队员共有108 人。这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。课后作业1、若干名同学排成中实方阵则多12 人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加 1 人的方阵则还差9 人排满，请问：原有学生多少人？解析： 由于纵横两个方向各增加1 人，因此不但将剩余12 人摆上，而且还差9 人，说明一横行与一竖行的人数总和是12921 人。又由于纵横两个方向各增加1 人，因此只有1 人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21 人先加上被重复数过的1 人，再除以2，也就得到每边人数。列式为（211） 211 人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为1111121 人，用 121 人减去差的9 人就是原来人数，列式为 1219112 人。也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。答：原有学生112 人。2、 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100 人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析： 要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100 人，用 1004 25 人，每边是不是25 人呢？不是的，因为平均分成4 份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为10041 26 人。因此方阵中一共有2626676 人。答：一共有676 人。说明： 这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。3、 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6 枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？解析： 如图，最外一层每边摆6 枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6636 枚棋子。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载最外一层每边有6 枚，如果用64 24 枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4 个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。列式是64420 枚。说明 ：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4 个相等的块，这样每边就有5 枚了，因此用5 420 枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。4、一队学生站成20 行 20 列方阵，如果去掉4 行 4 列，那么要减少多少人？解析 1：把去掉 4 行 4 列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数原每行人数21 反复利用4 次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：去掉 4 行 4列的总人数2021+（201） 21（ 202） 21+（203） 21 401=38 1+361+341 144（人）解析 2：我们还可以这样想：原来是一个7 行 7 列的方阵，若去掉4 行 4 列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4 行 4 列的总人数原正方形方阵每边人数4，即去掉的总人数2020（ 204）（ 204）400256 144（人）答：去掉4 行 4 列，要减少144 人。5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12 盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？解析（ 1）： 自己画图可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：124444（盏）（2）： 还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：（121） 444（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯44 盏。6、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204 盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆? 解析： 分析思路参见例6，最外层每边人数=总数 4层数 +层数2044 3+3=20( 盆) 答：最外面一层每边有鲜花20 盆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载7、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20 人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 解析： 根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数 =四周人数 4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。解： （1）方阵最外层每边的人数：204+1=5+1=6（人）（2）整个方阵共有学生人数：66=36（人）答：方阵最外层每边的人数是6 人，这个方阵共有36 人。8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15 个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？解析： （1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2 个，知道最外面一层，每边放15 个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以 4，计算出这个中空方阵共用棋子多少个。解：（ 1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1 ） 4=40（个）（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3） 34=144（个）答：这个方阵最里层一周有40 个棋子 ; 摆这个中空方阵共用144 个棋子。9、若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12 人，请你求出总人数。解析： 我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。解：由于最外层每边有12 人，因此最外层一共有（121） 444 人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8 的特点，因此第二层有44836 人，第三层有36828 人，第四层有28820 人。因此一共有44+36+28+20128 人。还可以这样想，把四层中空方阵划分如例5 的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8 人组成。因此一个长方形有8432 人，一共有4 个长方形， 324128 人。当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12 人，因此一共有1212144 人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2，因此第二层每边有12210 人，第三层每边有102 8人，第四层每边有8 26 人，第五层每边有 62 4人。因此小的中实方阵有4416 人。 14416 128 人就表示一共有战士的人数。答：一共有128 人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48 盆，最内层共摆24 盆，请问：共摆了多少盆鲜花？解析： 由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48840盆，第三层有花40832 盆，第四层有花32824 盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48 403224 144 盆。答：一共摆了144 盆。11、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7 行 7 列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵? 解析： 根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（1）（ 2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等。即最外层杨，柳树分别为（7-1 ） 42=12（棵）。当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树; 当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1 棵。解： （1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1 ） 4 2=12（棵）（2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1 棵：杨树：（ 77+1） 2=25（棵）柳树： 77-25=24 （棵）（3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1 树柳树（ 77+1） 2=25（棵）杨树 77-25=24 （棵）答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12 棵，柳树12 棵，方阵中总共有杨树 25 棵，柳树 24 棵，或者有杨树24 棵，柳树 25 棵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页