数 学 精 品 课 件北 师 大 版第四章第四章 图形的相似图形的相似4.5 4.5 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 的证明的证明要找三角形相似的条件，关要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：抓住以下几点：(1)已知角相等已知角相等时，找两，找两对对应角相等，若只能找到角相等，若只能找到 一一对对应角相等，判断相等的角的两角相等，判断相等的角的两边是否是否对应 成比例；成比例；(2)无法找到角相等无法找到角相等时，判断三，判断三边是否是否对应成比例；成比例；(3)除此之外，也可考除此之外，也可考虑平行平行线分分线段成比例的基本段成比例的基本 事事实及相似三角形的及相似三角形的“传递性性”1类型角的关系在判定三角形相似问题中的应用角的关系在判定三角形相似问题中的应用1如如图，在，在 ABCD中，点中，点E在在边BC上，点上，点F在在边AD 的延的延长线上，且上，且DFBE，EF与与CD交于点交于点G. (1)求求证：BDEF； (2)若若 ，BE4， 求求EC的的长(1)四四边形形ABCD是平行四是平行四边形，形， ADBC. DFBE. 又又DFBE， 四四边形形BEFD是平行四是平行四边形形 BDEF.证明：明：(2) 四四边形形BEFD是平行四是平行四边形，形， DFBE4. DFEC， FGEC，FDGECG. DFGCEG. 解：解：2类型边角关系在判定三角形相似问题中的应用边角关系在判定三角形相似问题中的应用2【2016黄石黄石】在】在ABC中，中，ABAC，BAC 2DAE2. (1)如如图，若点，若点D关于直关于直线AE的的对称点称点为F， 求求证：ADFABC.点点D与点与点F关于直关于直线AE对称，称，ADAF，DAEFAE.DAF2BAC.ABAC，ADAF，ADFABC.证明：明：(2)如如图，在，在(1)的条件下，若的条件下，若45， 求求证：DE2BD2CE2.DAF2BAC，DAFDACBACDAC，即即BADCAF.又又ABAC，ADAF，BADCAF.BDCF，ACFABD.证明：明：BAC224590， ABAC，ABDACB45.ACF45.ECFACBACF90.EF2CF2CE2.BDCF，DEEF，DE2BD2CE2.(3)如如图，若，若45，点，点E在在BC的延的延长线上，上，则 等式等式DE2BD2CE2还能成立能成立吗？请说明理由明理由解：解：还能成立能成立理由如下：如理由如下：如图，作点，作点D关于直关于直线AE的的对称点称点F，连接接AF，EF，CF，ADAF，DEEF， FAEDAE.DAF2BAC.DAFDACBACDAC， 即即CAFBAD.又又ABAC，ADAF，BADCAF.BDCF，ACFABDBAC224590，ABAC，ABDACB45.ACF45.ECF180ACBACF90.EF2CF2CE2.EFDE，CFBD，DE2BD2CE2.3类型三边关系在判定三角形相似问题中的应用三边关系在判定三角形相似问题中的应用3如如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，系中，A(1，0)，B(3，0)， C(0，3)，D(2，1)，P(2，2) (1)ADP与与ABC相似相似吗？ 说明理由明理由(1)ADPABC. 理由：理由：AD ，AB2，AP ， AC ，PD3，BC ， ADPABC.解：解：(2)在在图中中标出点出点D关于关于y轴的的对称点称点D，连接接AD， CD，判断，判断ACD的形状，并的形状，并说明理由明理由如如图，ACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形理由：理由：AD ，AC ，DC2 ，ADAC， AD2AC2( )2( )220DC2.ACD是等腰直角三角形是等腰直角三角形解：解：(3)求求OCAOCD的度数的度数点点D与点与点D关于关于y轴对称，称，OCDOCD.OCAOCDOCAOCD ACD45.解：解：4类型相似三角形的判定和性质在新定义中的应用相似三角形的判定和性质在新定义中的应用4【2016舟山舟山】我我们定定义：有一：有一组邻角相等的凸角相等的凸 四四边形叫做形叫做“等等邻角四角四边形形” (1)概念理解：概念理解：请你根据上述定你根据上述定义举一个等一个等邻角角 四四边形的例子；形的例子；矩形矩形(答案不唯一答案不唯一)解：解：(2)问题探究：如探究：如图，在等，在等邻角四角四边形形ABCD中，中， DABABC，AD，BC的中垂的中垂线恰好交于恰好交于AB 边上一点上一点P，连接接AC，BD，试探究探究AC与与BD的数的数 量关系，并量关系，并说明理由；明理由；ACBD.理由如下：理由如下：如如图，连接接PD，PC.PE是是AD的中垂的中垂线，PF是是BC的中垂的中垂线，PAPD，PCPB.PADPDA，PBCPCB.DPB2PAD，APC2PBC.而而PADPBC，APCDPB.APCDPB(SAS)ACBD.解：解：(3)应用拓展：如用拓展：如图，在，在RtABC与与RtABD中，中， CD90，BCBD3，AB5，将，将 RtABD绕着点着点A顺时针旋旋转角角(0BAC)， 得到得到RtABD(如如图)，当凸四，当凸四边形形ADBC为等等邻 角四角四边形形时，求，求 出它的面出它的面积()如如图，当，当ADBDBC时，延，延长AD， CB交于交于E， EDBEBD. EBED. 设EBEDx. 由勾股定理可得由勾股定理可得ACADAD4. 在在RtACE中，中，AC2CE2AE2， 42(3x)2(4x)2， 解得解得x4.5.解：解：过点点D作作DFCE于点于点F，EFDC90.又又EE，EDFEAC. 即即 解得解得DF SACE ACEC 4(34.5)15， SBDE BEDF 4.5 .S四四边形形ACBD SACESBDE15 10 ；()如如图，当，当DBCACB90时， 过点点D作作DEAC于点于点E. 四四边形形ECBD是矩形是矩形 EDBC3. 在在RtAED中，中， AE2ED2AD2， AE ，SAED AEED 3 ， S矩形矩形ECBDCECB (4 )3123 .S四四边形形ACBD SAED S矩形矩形ECBD 123 12 .