十一、行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度， 也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度逆水速度）2船速（顺水速度逆水速度）2水速顺水速船速 2逆水速逆水速水速2 逆水速船速 2顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1、一只船顺水行 320 千米需要用 8 小时，水流速度为每小时15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解：由条件知，顺水速 =船速+水速=3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 3208-15=25（千米）；船的逆水速为 25-15=10（千米）；船逆水行这段路程的时间为32010=32（小时）答：这只船逆水行这段路程需要用32 小时。例 2、甲船逆水行 360千米需 18 小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？解：由题意得甲船速+水速=36010=36（千米）甲船速水速 =36018=20（千米）可见（ 36-20）相当于水速的 2 倍所以，水速为每小时（ 3620）2=8（千米）又因为，乙船速水速 =36015 所以乙船速为 36015+8=32（千米）乙船顺水速为 32+8=40 （千米）所以，乙船顺水航行360 千米需要 36040=9（小时）答：乙船返回原地需要 9 小时。例 3：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行3 小时到达，顺风飞回需要几个小时？解：这道题可按流水问题来解答。（1）两城市相距多少千米？（576-24）3=1656（千米）（2）顺风飞回需要几个小时？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页 1656（576+24）=2.76（小时）列成综合算式（57624）3（576+24）=2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76 小时。十二、 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1、一座大桥长 2400米，一列火车以每分钟900的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需3 分钟。这列火车长多少米？解：火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少千米？ 9003=2700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400=300（米）列成综合算式 90032400=300（米）答：这列火车长 300 米。例 2、一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解：火车过桥所用的时间是2 分 5 秒=125秒，所走的路程是（ 825）米，这段路程就是（ 200米+桥长），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页所以，桥长为： 8125200=800（米）答：大桥的长度是800 米。例 3、一列长 225米的慢车以每秒17 米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解：从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米，而快车比慢车每秒多行（ 2217）米，因此所求的时间为，（ 225+140）（2217）=73（妙）答：需要 73 秒。三、时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12 倍，二者的速度差为 11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1、从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好和分针重合？解：钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5 格，每分钟走605=121格。每分钟分针比时针多走（1121）=1211格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距20 格。所以分针追上时针的时间为20（1121）22（分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页例 2、四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解：钟面上有 60 格，它的41是 15 格，因而两针成直角的时候相差15 格（包括分针在时针的前或后15 格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（54+15）格。据 1分钟分针比时针多走（ 1121）格就求出二针成直角的时间。（5415）（ 1121）6（分）（54+15）（ 1121）38（分）答：4 点 06分及 4 点 38分是两针成直角。例 3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解：6 点整的时候， 分针在时针后 (56)格，分针要与时针重合， 就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（56）（ 1121）33（分）答 ：6 点 33 分的时候分针与时针重合。四、 盈亏问题【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1、给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解：按照“参加分配的总人数=（盈+亏）分配差”的数量关系（1）有小朋友多少人？（ 11+1）（ 43）=12（人）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页（2）有多少个苹果？ 3 12+11=47 （个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2、修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长8天；如果每天修 300米，修完全场仍得延长4 天。这条路全长多少米？解：题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数=（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数（26083004）（ 300-260）=22（天）这条路全长为 300（22+4）=7800（米）答：这条路全长 7800 米。例 3：学校组织春游，如果每辆车做40 人，就余下 30人；如果每辆车做45 人，就刚好坐完。问有多少车？有多少人？解：本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（ 30-0）（ 45-40）=6（辆）（2）有多少人？ 406+30=270 （人）答：有 6 辆车， 270人。十五、工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中， 常常不给出工作量的具体数量， 只提出“一项工程”、 “一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数 （它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1、一项工程，甲队单独做需要10 天完成，乙队单独做需要15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？解：题中的“一项工程” 是工作总量， 由于没有给出这项工程的具体数量，因此，吧此项工程看做单位 “1” 。 由于甲队独做许 10 天完成，那么每天完成工程的101；乙队单独许 15 天完成，每天完成这项工程的151；两队合作，每天可以完成这项工程的（101+151）。由此可以列出算式： 1 （101+151）=161=6（天）答：两队合作需要6 天完成。例 2、一批零件甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合作，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？解：设总工作量为1，则甲每小时完成61，乙每小时完成81，甲比乙每小时多完成 （8161） ， 二人合做时每小时完成 （8161） 。 因为二人合作需要 【1 （8161） 】小时，在这个时间内，甲比乙多做24 个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？24【1（8161）】=7（个）（2）这批零件共有多少个？7（8161）=168（个）答：这批零件共有168 个。解 2：上面这道题还可以用另一种方法计算。两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为61：81=4:3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页由此可知，甲比乙多完成总工作量的3434=71所以，这批零件共有2471=168（个）例 3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10 小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解：必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示， 就会给计算带来方便，因此，我们社总工作量为12、10和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数是 60，则甲、乙、丙三人的工作效率分别是6012=5、6010=6、6015=4；因此余下的工作由乙、丙合作还需（60-52）（ 6+4）=5（小时）答：还需 5 小时才能做完。十六、正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量， 一种量变化， 另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1、修一条公路，已修的是未修的31，再修 300 米后，已修的变成未修的21，求这条公路总长是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页解：由条件已知，公路总长不变。原已修长度：总长度 =1：（1+3）=1：4=3：12 现已修长度：总长度 =1：（1+2）=1 : 3=4 : 12 比较以上两式可知，把总长度当做12 份，则 300 米相当于（ 4-3）份，从而知公路总长为300（4-3）12=3600（米）答：这条路总长 3600 米。例 2、 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X应用题，则有 28:4=91：X 28X=944 X=37628=13（道）答：91分钟可以做 13 道应用题。例 3、孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15 天看完，如果每天看36 页，几天可以看完？解：书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X天可以看完，就有24：36=x ：15 36X=2415 x=36036=10 答：10 天就可以看完。十七、 按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数， 再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母， 比的前后项分别作分子） ，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1、 学校把植树 560课的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解：总份数为 47+48+45=140 一班植树 56014047 =188（棵）二班植树 56014048=192（棵）三班植树 56014045=180（棵）答：一、二、三班分别植树188 棵、192 棵、180 棵。例 2、用 60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3:4:5. 三条边的长各是多少？解：3+4+5=12 60123=15（厘米） 60 124=20（厘米） 60 125=25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15 厘米， 20 厘米， 25 厘米。例 3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子份总数的21，二儿子份总数的31，三儿子分总数91，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊？解：如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解答，则很容易得到91:31:21=9：6：2 9+6+2=17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页17179=9 17176=6 17172=2 答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得6 只羊，三儿子分得 2 只羊。十八、 百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示 “量”，而百分数只能表示 “率”；分数的分子、 分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“% ”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1% ，两个百分点就是2% 。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1、创库里有一批化肥，用去720千克，剩下 6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解：（ 1）用去的占 720（720+6480）=10（2）剩下的占 6480（720+6480）=90答：用去了 10，剩下的 90。例 2、红旗化工厂有男职工420人，女职工 525人，男职工人数比女职工少百分之几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页解：本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（ 525-420）525=0.2=20或者 1-420525=0.2=20答：男职工人数比女职工少20。例 3、红旗化工厂有男职工420人，女职工 525人，女职工比男职工人数多百分之几？解：本题中男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数是比较量因此（ 525-420）420=0.22=25或者 525420-1=0.25=25 答：女职工人数比男职工多25。十九、“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例 1、一块草地， 10 头牛 20 天可以把草吃完， 15 头牛 10天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？解：草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量 +草每天生长量天数。求“多少头牛 5 天可以把草吃完” ，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话， 得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按一下步骤来解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面 20 天内的草总量就是10 头牛 20 天所吃的草，即（ 11020）；另一方面， 20天内的草总量又等于原有的草量加上20 天内的生长量，所以11020=原有草量 +20天内的生长量同理 11510=原有草量 +10天内生长量；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页由此可知（ 20-10）天内草的生长量为11020-11510=50 因此，草每天的生长量为50（20-10）=5 （2）求原有草量原有草量 =10天内总草量 -10 天内生长量 =11510-510=100 （3）求 5 天内草总量5 天内草总量 =原有草量 +5天内生长量 =100+55=125 （4）求多少头牛 5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃完草需要牛的头数 1255=25（头）答：需要 5 头牛 5 天可以吃完草。例 2、一只船有一漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘水， 三小时可以淘完； 如果只有 5 人淘水， 需要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时淘完？解：这是一道变相的” 牛吃草”问题。与上题不同的是， 最后一问给出了人数 （相当于“牛数”），求时间，设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时的进水量因为， 3 小时内的总水量 =1123=原有水量 +3 小时进水量 10小时内的总水量 =1510=原有水量 +10 小时进水量所以，（ 10-3）小时内的进水量为1510-1123=14 因此，每小时的进水量为14（10-3）=2 （2）求淘水前原有水量原有水量 =1123-3 小时进水量 =36-23=30 （3）求 17 人几小时淘完精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页17 人每小时的淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（ 17-2），所以 17 人淘完水的时间是 30 （17-2）=2 答：17 人 2 小时可以淘完水。二十、 鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题， 叫做第一鸡兔同笼问题。 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数 2鸡兔总数）（ 42）假设全都是兔，则有鸡数（ 4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（ 2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（ 4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页例 1、长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里，数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解：假设 35 只全为兔，则鸡数=（435-94）（ 4-2）=23（只）兔数=35-23=12（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数=（94-235）（ 4-2）=12（只）鸡数=35-12=23（只）答：有鸡 23 只，有兔 12 只。例 2、 2 亩菠菜要施肥 1 千克， 5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共种16亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？解：此题实际上是改头换面的 “鸡兔同笼” 问题。“每亩菠菜施肥 （12 千克）”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔子有4 只脚”相对应，“ 16 亩”与“鸡兔总数”相对应。假设16 亩全都是菠菜，则有白菜亩数 =（9-1216）（ 35-12）=10亩答：白菜地有 10 亩。例 3、李老师用 69 元给学校买作业本和日记本公45 本，作业本每本 3.2 元，日记本每本 0.7 元。问作业本和日记本各买了多少本？解：此题可变通为“鸡兔同笼”问题。假设45 本全都是日记本，则有作业本书 =（69-0.7 45）(3.2-0.7)=15(本) 日记本数 =45-15=30(本) 答: 作业本有 15 本, 日记本有 30 本. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页其实，文章中给孩子归纳总结的30 个类型，其实都应该是孩子自己的工作，但大部分孩子都做不到， 但班上成绩顶尖的孩子往往却能做得非常好，不信，叫孩子借学霸们的笔记本来看看。归纳总结的能力在孩子12 年学习生涯中都是很重要的，尤其是上初中以后，年级越高，对孩子自身的学习能力要求就越高，如果孩子不具备这种能力， 那么学习起来相当吃力， 甚至吃力不讨好！ 所以家长们要注意培养孩子归纳总结以及记忆能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页