名师精编优秀教案第一讲勾股定理及其运用一、趣味导学- 此中有真趣，细品出真味20XX年在北京召开的第24 届国际数学家大会，这就是本届大会会徽的图案. 它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们. 你见过这个图案吗？聪明的同学，从中你能看出什么信息吗？二、 知识点梳理- 万丈高楼拔地起，岿然雄姿赖地基1、勾股定理 : 直角三角形两直角边为a 和 b，斜边为 c，那么满足222cba【例一】在ABCRt中， C=900，（1）若 a:b=3:4，c=10，则 a= ，b= （2）若 a=6，b=8，则斜边 c 上的高 h= 【变式探究】 已知一个直角三角形的一条直角边为11，另两条边长均为自然数， 求这个三角形的周长。 2 、勾股定理的运用（1）用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。（2）通过构造直角三角形，运用勾股定理来解决实际问题。【例二】已知，在ABC中，a=m2-n2，b=2mn ，c=m2+n2，其中 m 、n 是正整数，且nm, 试判断：ABC知否为直角三角形？【变式探究】观察下列各式，你有什么发现？,41409,25247,13125 ,5432222这到底是巧合，还是有什么规律蕴含其中呢？请你结合有关知识进行研究，若ba132则 a、b 的值可能是多少？（3）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（4） 直角三角形中特殊角（300）的运用：直角三角形中300所对边等于斜边的一半。【变式探究】如图 7，ABC中，ACB=900，CD 是高线， A=300，BD=5，则AB 的长为【变式探究】 如图 2，把长方形 ABCD 沿对角线 BD向上对折， C与 C 为对应点，BC 与 AD交于点 E，若 DBC=30 ，AE=2 ，则 BC=图 2【变式探究】 如图 2，把长方形 ABCD 沿对角线 BD向上对折， C与 C为对应点， BC 与 AD交于点 E，若 AB=4 ，AD=8 ，则 DE=1 主备：蒋小勇审核：姓名：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师精编优秀教案【例三】如图1，公 路 MN和公 路 PQ在 点 P 处交 会，且QPN=30 点A处有 一所 中学 ，AP=160m，一 辆拖 拉机 从 P 沿公 路 MN前 行 ，假设 拖拉 机行 驶时周围100m 以内会 受到 噪声 影响 ，那 么 该所 中学 是否 会受 到 噪声 影响 ，请说 明 理 由， 若受 影 响 已 知 拖拉 机的 速 度 为18km/h ， 那么 学 校 受 影 响的 时间为多 长？【变式探究】如图2，E 是正 方 形 ABCD的边 AB 上的 一点 ，AE=3，BE=1，P是 AC上一 动点 ，则 当 PB+PE为最 小值 为【变式探究】如 图 3，两 个 村 庄 A、B 在 河 CD 的 同 侧 ，A、B 两 村 到 河 的 距 离 分 别为 AC=1 千 米 ， BD=3 千 米 ， CD=3 千 米 现 要 在 河 边 CD上 建 造 一 水 厂 ，向A、 B 两 村 送自 来 水 。（ 1）水 厂 应 修 建 在 什 么 地 方 ，可 使 所 用 的 水 管 最 短（ 请 你 在 图 中 设 计 出 水 厂 的 位 置 ）；（ 2） 如 果 铺 设 水 管 的 工 程 费 用 为 每 千 米 20000元 ， 为 使 铺 设 水 管 费 用 最 节 省 ， 请 求出 最 节 省 的 铺 设 水 管 的 费 用 为 多 少 元 ？三、 综合运用- 珍宝采得千千万，镶嵌一体更美观【例四】轮船 从 B 处以每 小时 50 海 里的 速度 沿南 偏东 30方向 匀速 航行，在 B 处观 测 灯塔 A 位 于南 偏东 75方向 上， 轮船 航行 半小 时到达 C 处，在 C 处观测 灯塔A 位于 北偏 东 60方 向上 ，则C 处与 灯塔 A 的距离 是海里 图 1 图 2 【例五】如图1，在 Rt ABC中， AB=AC ，ADBC，垂 足为 DE、F 分 别是CD 、AD上 的点 ，且 CE=AF如 果 AED=62，那 么 ABF= 变 式 ： 如图 1，在 Rt ABC中， AD BC ，垂 足为DBF=AE，DF=DE,则ABE= 【例六】如图2，矩 形纸 片 ABCD的 边 AD=9， AB=3，将 其折 叠 ，使 点 D 与点 B 重合 ，则 折叠 后 DE的长 与折 痕 EF的长 分别 为四、 更进一步- 百尺竿头毫厘胜，捷足一步先登顶【例七】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边长分别是a，b，斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师精编优秀教案（2）证明勾股定理【例八】 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3 ，AD=5 如图所示，折叠纸片，使点 A落在 BC边上的 A处，折痕为 PQ ，当点 A在 BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在 AB 、AD边上移动，（ 1） 当点 Q与 点 D重合 时， A C 的长 是多 少？（ 2） 点 A在 BC边上可 移动 的最 大距 离是多 少？五、 巩固练习- 进池泉水防漏走，到囊宝物谁愿丢？ 1 、如 图 1，以 Rt ABC的三边 为 斜边分 别向 外作 等腰 直角 三 角形 若 斜边 AB=a， 则图 中阴 影部 分的 面积 为图 1 图 2 图 3 图 4 2、 如图 2，在 ABC中 ， ABC ， ACB的平分 线交 于点 O，OD BC于 D，如果 AB=25cm， BC=20cm ， AC=15cm，那 么 OD= 3、 如图 3，等腰三角形 ABC中，AB=AC ，AD是底边上的高，若AB=5cm ，BC=6cm ，则 AD=cm， 若 P为 AC边上的 一个 动点，则 BP的最 小值 为cm 4、 如图 4， ABC的 三边 AB、BC 、CA长 分 别是 20、30、40，其 三条 角平分线 将 ABC分 成三 个三 角形 ，则 S ABO： S BCO：S CAO等于5、 如图 3， ABC的 周长为 32，且 BD=DC,AD BC于 D， ACD的周 长为24， 那么 AD的 长为，DC的 长为6、（ 2010 ?柳 州） 如图 ，四 边形 ABCD是边 长为 9 的正方 形纸 片 ，将 其沿MN折 叠， 使点 B 落 在 CD边上 的 B处 ，点 A 对 应点 为 A ，且 BC=3，则 AM的长 是六、 创新探究- 书山学海无穷尽，不绝探究与创新7、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4 米的油罐的下底边沿A处，它发现在自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师精编优秀教案己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14 ，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式 ：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？聪明的同学，你知道壁虎和小蚂蚁是怎么爬的吗？本节方法归纳总结：1、如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形中特殊角（300）的运用：直角三角形中300所对边等于斜边的一半。2、求线段长时，考虑构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理求解。3、翻折问题时，可考虑连接对称点的连线，得出连线垂直于翻折线（直角三角形）。4、三角形中垂线的交点到三角形三点的距离相等。三角形角平分线的交点到三角形三条边的距离相等。5、平面展开，最短路径问题。6、轴对称最短路径问题。7、相似图形，对应边长成比例。（三角形、四边形等）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页