学习必备欢迎下载课题： 92 空间的平行直线与异面直线( 二) 教学目的：1. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；2. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点： 异面直线所成的角. 教学难点： 异面直线所成的角. 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学过程：一、复习引入：. 回忆：公理四, 等角定理 , . 复习：空间中两条直线的位置关系有哪几种？ （三种：相交、平行、异面异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线相交直线和平行直线也称为共面直线两条直线的位置关系。）二、新课学习：.那么怎么画异面直线呢？讨论与尝试出常用的三种异面直线的画法如图，a 与 b 都是异面直线baabab. 如何判定两条直线是异面直线？（1）间接证法：根据定义，一般用反证法（2）直接证法：异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,ABlBlAB与l是异面直线证明： （反证法）假设直线AB与l共面，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载,BlBl，点B和l确定的平面为，直线AB与l共面于，A，与A矛盾，所以，AB与l是异面直线异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线/ ,/aa bb，,a b所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角） 为了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线,a b垂直，记作ab求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求三、范例分析：例如图，已知不共面的直线, ,a b c相交于O点，,M P是直线a上的两点，,N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线证（法一）：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为，,M Pa M P，a，又oa，o，,NOb Nb，b，同理c，, ,a b c共面于，与已知, ,a b c不共面相矛盾，所以，MN和PQ是异面直线（法二）：acO，直线,a c确定一平面设为，,Pa Qc，,PQ，PQ且,MMPQ，bObacbaQPNMODABCBACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载又, ,a b c不共面，Nb，N，所以，MN与PQ为异面直线例正方体ABCDA B C D中那些棱所在的直线与直线BA是异面直线？求BA与CC夹角的度数那些棱所在的直线与直线AA垂直？解 ：（ 1 ） 由 异 面 直 线 的 判 定 方 法 可 知 ， 与 直 线BA成 异 面 直 线 的 有 直 线,B CAD CCDDDC D C，（2）由/BBCC，可知BBA等于异面直线BA与CC的夹角， 所以异面直线BA与CC的夹角为45（3）直线,AB BC CD DA A BB C C DD A与直线AA都垂直例两条异面直线的公垂线指的是 ( ) (A) 和两条异面直线都垂直的直线(B) 和两条异面直线都垂直相交的直线(C) 和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D) 和两条异面直线都垂直的所有直线答案： B 例在棱长为 a 的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条答案： BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条 故选 C. 例若 a、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与 a、b 都垂直的直线只有一条 (B)a与 b 的公垂线只有一条 (C)a与 b 的公垂线有无数条 (D)a与 b 的公垂线的长就是a、b 两异面直线的距离答案： B 例已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a， 则棱 A1B1所在直线与面对角线 BC1所在直线间的距离是 ( ) （A）a22（B）a （C）a2（D）2a答案： A四、课堂练习：P14.、（）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2 对（B）3 对（C）6 对（D）12 对（）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（）一条直线和两条异面直线中的一条平行, 则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面答案：（） C（） A（） D 两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面. 垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面A1B1C1D1DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线； （ 2）相交直线；（3）异面直线解：选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足a,b,=l，则l与a,b的位置关系一定是（）（A）l至多与a，b中的一条相交（B）l至少与a，b中的一条相交（C）l与a，b都相交（D）l至少与a，b中的一条平行答案（ 1）D（2）B判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线（）（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）答案：，五、小结：本节学习了异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”六、作业：1如图，有哪些直线和直线D1C是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感3如图，空间四边形ABCD 中， E、F分别为 BC 、CD的中点， G、H分别为 AB 、AD上的点，且AG ：GB AH ：HD证明： GH与 EF为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？考虑： （1）如果直接证明， 就必须证明GH和 EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？（2）从（ 1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑平行或相交七、课后反思：D1C1B1A1DCBAFEABDCHG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页