学习必备欢迎下载课题 : 3.4 基本不等式2abab第 1 课时授课类型： 新授课【教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积 的关系去找相等关系或不等关系2. 讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22ab。这样， 4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为22ab。由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。2得到结论：一般的，如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2baabba当22,()0,()0,abababab时当时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载所以，0)(2ba，即.2)(22abba41）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a0,b0, 我们用分别代替a、b ，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab 2 ）从不等式的性质推导基本不等式2abab用分析法证明：要证2abab (1) 只要证 a+b (2) 要证（ 2） ，只要证 a+b- 0 （3）要证（ 3） ，只要证（ - ）2（ 4）显然， （4）是成立的。当且仅当a=b 时， （ 4）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义探究： 课本第 98 页的“探究”在右图中， AB是圆的直径，点C 是 AB上的一点， AC=a,BC=b 。过点 C 作垂直于AB的弦 DE ，连接 AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证tADtD B，那么D2AB 即Dab. 这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立. 因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”评述： 1. 如果把2ba看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数 . 本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 例 1 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2) （xy） （x2y2） （x3y3）x3y3. 分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质( 把握好每条性质成立的条件) ，进行变形 . 解：x，y都是正数yx0，xy 0，x20，y20，x30，y3 0 (1)xyyxxyyx22 即xyyx2. (2)xy2xy0 x2y2222yx 0 x3y3233yx0 （xy） （x2y2） （x3y3） 2xy222yx233yxx3y3即（xy） （x2y2） （x3y3）x3y3. 3. 随堂练习1. 已知a、b、c都是正数，求证（ab） （bc） （ca）abc分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a0，b0）灵活变形，可求得结果. 解：a，b，c都是正数ab2ab 0 bc2bc 0 ca2ac 0 （ab） （bc） （ca） 2ab2bc2acabc即（ab） （bc） （ca）abc. 4. 课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数（2ba） ，几何平均数 （ab） 及它们的关系 （2baab）. 它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 ( 下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab222ba，ab（2ba）2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载课题 : 3.4 基本不等式2abab第 2 课时授课类型： 新授课【教学目标】1 知识与技能： 进一步掌握基本不等式2abab； 会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2abab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式2abab的应用【教学难点】利用基本不等式2abab求最大值、最小值。【教学过程】1.课题导入1重要不等式：如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba2基本不等式：如果a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数。2. 讲授新课例 1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解： （1）设矩形菜园的长为x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由2xyxy，可得2 100xy，2()40xy。等号当且仅当x=y 时成立， 此时 x=y=10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为xm ，则长为（ 362x）m ，其中0x21，其面积Sx（36 2x）21 2x（362x）2122236236()28xx当且仅当2x362x，即 x9 时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2。由18922xyxy，可得81xy当且仅当x=y,即 x=y=9 时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳： 1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab42M，等号当且仅当ab时成立 . 2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab 2P，等号当且仅当ab时成立 . 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为 3m，如果池底每1m2的造价为150 元，池壁每1m2的造价为120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析： 此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xxl29760040272024000016002720240000xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳： 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1) 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2) 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3) 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4) 正确写出答案 . 3. 随堂练习1课本第100 页的练习2、3、4 4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。 在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1) 函数的解析式中，各项均为正数；(2) 函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3) 函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取 等。5. 评价设计课本第 100 页习题 A 组的第 2、 3、4 题【板书设计】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页