1 1 倍长中线（线段）造全等前言：要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF 转化到同一个三角形中，由 AD 是中线， 常采用中线倍长法，故延长AD 到 G，使 DG=AD ，连 BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。1、已知：如图，AD 是 ABC 的中线， BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且AE=EF ，求证： AC=BF ABCDEF2、已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD上一点， 且 BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF FEDABC3、已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是 _. DCBA4、在 ABC 中,AC=5, 中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是( ) A、1AB29 B、 4AB24 C、5AB19 D、9AB19 5、已知： AD 、AE 分别是 ABC 和 ABD 的中线，且BA=BD ， 求证： AE=21AC ABCDE6、如图， ABC中， BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCBA7、 已知 CD=AB ，BDA= BAD ， AE 是 ABD 的中线，求证： C=BAE ABCDE8、如图 23， ABC中，D是 BC的中点， 过 D点的直线GF交 AC于 F，交 AC的平行线BG于 G点，DE DF，交 AB于点 E，连结 EG 、EF. 求证： BG=CF 请你判断BE+CF与 EF的大小关系，并说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 2 4321DEABCADBCE9、如图， AD 为ABC的中线， DE 平分BDA交 AB于 E， DF 平分ADC交 AC 于 F. 求证：EFCFBE第 14 题图DFCBEA10、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . EDFCBA11、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 在 BC上， 且 DE=EC ， 过 D 作BADF /交 AE 于点 F， DF=AC. 求证： AE 平分BACABFDEC截长补短1、已知，四边形ABCD 中， ABCD ， 1 2，3 4。求证： BCABCD 。2、 如图，ADBC， 点 E 在线段 AB 上，ADE= CDE ，DCE= ECB. 求证： CD=AD+BC. 3、已知：如图，在ABC 中， C2B， 1 2. 求证： AB=AC+CD. 3、如图，在 ABC中， BAC=60 ， AD 是 BAC的平分线，且 AC=AB+BD ，求 ABC 的度数DCBA4、如图， 已知在 ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD OEDCBADCBA12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 3 5、已知ABC 中，60A，BD、 CE 分别平分ABC和 . ACB ，BD、 CE 交于点 O ，试判断BE、 CD 、 BC的数量关系，并加以证明6、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP PQCBA7、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2， P为 AD上任意一点，求证 ;AB-ACPB-PC P21DCBA8、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点 ( 点B除外 ) ，作60DMN，射线 MN 与DBA外角的平分线交于点N ，DM与 MN 有怎样的数量关系? 角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD 中， BC BA,ADCD ，求证： BAD+ C=180DCBA2、如图，四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ，CE AB 于 E，AD+AB=2AE ，则 B 与 ADC 互补 . 为什么？3、如图4，在 ABC 中， BD=CD ， ABD= ACD,求证AD平分 BAC. D B E A C A B C D NEBMADDOECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 4 图十一4321PABC4、如图，在ABC 中， ABC=100 ， ACB=20 ，CE 平分 ACB， D 是 AC 上一点，若CBD=20 ，求ADE 的度数 . 作业： 已知， ABAD， 1 2，CD BC。求证： ADC B180。图九21CBAD作业：如图，在 ABC 中 ABC,ACB 的外角平分线交P.求证 :AP 是 BAC 的角平分线作业：如图,B=C=90 ,AM 平分 DAB,DM 平分ADC 求证:点 M 为 BC 的中点连接法（构造全等三角形）作业： 已知：如图所示，AB AD，BCDC，E、F 分别是 DC、 BC 的中点，求证：AE AF。1、如图，直线AD 与 BC 相交于点O，且AC=BD ，AD=BC 求证： CO=DO AODCB2、已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点 F 是 CD 的中点， AF CD 求证： B=EAFDCBE3、如图11-30，已知ABAE， B E，BCED，点 F 是 CD 的中点 .求证： AF CD. FEDCBA4、在正ABC 内取一点D，使DADB，在ABC 外取一点E，使DBEDBC ，且BEBA，求BED. D B CA F E DECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 5 5、如图所示， BD=DC,DE BC,交 BAC 的平分线于E，EM AB,EN AC,求证： BM=CN 6、如图，在 ABD 和 ACD 中，AB=AC ，B=C求证： ABD ACD ADCB全等+角平分线性质1、如图 21，AD平分 BAC ，DE AB于 E，DFAC于 F，且 DB=DC ，求证： EB=FC 2、已知：如图所示，BD 为 ABC 的平分线， AB=BC ，点 P 在 BD 上， PM AD 于 M ，?PNCD 于 N，判断PM 与 PN 的关系全等 +等腰性质1、 如图，在 ABE中，AB AE,ADAC,BAD EAC, BC 、DE交于点 O. 求证： (1) ABC AED ； (2) OB OE . 2、.已知：如图， B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC ，BECF， B C求证： OAOD 两次全等7.4 作业： AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD的延长线上的一点。求证： BF=CF FDCBAA C N E M B D OCEBDAPDACBMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 6 1、如图， D、E、F、B 在一条直线上AB=CD, B=D，BF=DE. 求证：（ 1）AE=CF; （2）AE CF （3） AFE= CEF 2、如图： A、E、F、 B 四点在一条直线上，ACCE ，BDDF ，AE=BF ，AC=BD 。求证： ACF BDE ABCEFD3、 如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AC 上的一点，1= 2，3=4，求证 : 5=6654321EDCBA4、已知如图，E、F 在 BD 上，且 ABCD， BFDE ，AECF 求证： AC 与 BD 互相平分5、如图，在四边形ABCD 中， AD BC， ABC=90 DE AC 于点 F， 交 BC 于点 G， 交 AB 的延长线于点E，且 AE=AC. 求证： BG=FG 直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG1、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l上，且过 A，B 两点分别作直线l 的垂线， 垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程A F C B D E G A D F E C B A B E O F D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 7 2、如图， ABC90， AB BC，D 为 AC 上一点，分别过 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为E、F 求证： EFCFAE 证 ABE BCF，得 BECF ，AE BF，EFBEBF CFAE 3、在 ABC 中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1 的位置时，求证：ADCCEB；BEADDE；(2) 当直线MN绕点C旋转到图2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明； 若不成立， 说明理由. 4、如图： BEAC，CF AB，BM=AC ，CN=AB 。求证：（ 1）AM=AN ；（ 2）AM AN 。FBCAMNE1234作平行线1、已知 ABC ，AB=AC ，E、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交 BC 于 G求证： EG=GF AFCGBE2、如图，在ABC 中， AB=AC ，BD 平分 ABC ，DE BD 于 D，交 BC 于点 E求证： CD=21BE 延长角平分线的垂线段1、如图， 在 ABC 中，AD 平分 BAC，CE AD 于 E求证： ACE= B+ ECD AFDCBE1 5 4 3 2 E F B D C A A B C F D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 8 2、如图， ABC 中， BAC=90 度， AB=AC ，BD 是ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于F求证： BD=2CE FEDCBA3、如图： BAC=90 ， CE BE，AB=AC ， BD 是ABC 的平分线，求证：BD=2EC BCAED4、已知，如图34， ABC 中， ABC=90 o，AB=BC ， AE 是 A 的平分线， CDAE 于 D求证： CD=21AE CEBAD面积法例 1 如图 1，在 ABC 中， BAC 的角平分线AD 平分底边 BC.求证 AB=AC. 2、如图所示 ,已知 D 是等腰 ABC 底边 BC 上的一点 ,它到两腰 AB、AC 的距离分别为DE、DF,CM AB,垂足为M, 请你探索一下线段DE 、DF 、CM三者之间的数量关系, 并给予证明 . EDCBAMF3、己知， ABC 中， AB=AC ，CD AB，垂足为 D，P是 BC 上任一点， PEAB，PFAC 垂足分别为E、F，求证：PE+PF=CD. PE P F=CD. F E D C A B G P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 9 旋转型1、如图，正方形ABCD 的边长为1， G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ， 连接 DE 交 BG 的延长线于H。求证：BCG DCE BH DE 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B ，C，E在同一条直线上，连结DC （1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明： DC BE 3、（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形 OCD ，连结 AC 和 BD，相交于点E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图8， OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点O 旋转（ OAB 和OCD不能重叠），求AEB 的大小 . 4、如图， AE AB ，AD AC， AB=AE ，B= E ，求证：（ 1）BD=CE ；（ 2）BD CE 5、如图所示，已知AE AB ，AFAC ，AE=AB ， AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（ 2）EC BF 6、 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F为 CD上的一点，BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . FEDCBA图 1 图 2 D C E A B C B O D 图 7 A E A E B M C F F E D C A B G P F E D C A B G H B A O D C E 图 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 10 NMEFACBA7、D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。8、如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，求AMN 的周长。NMDCBA9 、 五 边 形ABCDE中 ，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDECEDBAABDEFC10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2， ABC= AED=90 ，求五边形ABCDE 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页