第二讲 逻辑代数基础知识本讲重点1.三种基本逻辑运算和几种常用逻辑运算；2.逻辑代数的基本公式、常用公式及定理；3.逻辑函数及其表示方法。本讲难点1.常用逻辑公式的证明；2.逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、波形图之间的相互转换。教学手段本讲多数是基础概念问题，宜于教师讲授为主，用多媒体演示为主、板书为辅。教学步骤教学内容设计意图表达方式1 回顾上一 讲反码、补码和补码运算内容，导入逻辑代数基础知识。上一讲反码、补码和补码运算内容回顾：原码： 最高位为符号位，正数为0，负数为1。补码： 最高位作为符号位，正数为0，负数为1。正数的补码和它的原码相同；负数的补码需先将原码数值逐位求反，然后在最低位加 1。 （逐位求反也是基本逻辑运算之一）1 1001 补=1 1011例：N=1 0101，1 0101 反=1 1010 计算9-5=(1001)B-(0101)B补码运算例：舍去1 0 0 1- 0 1 0 10 1 0 0补码补码0 1 0 0 1+ 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0减法变加法为 了 与 前次 课 内 容衔接，需要进 行 简 单回 顾 。 之后，引入新教学内容，效果会好。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。2 提出问题，导入逻辑代数基础知识所要讲述的内容。1）数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系；2）基本逻辑运算和几种常用逻辑运算有哪些，都是如何定义的；3）逻辑代数有哪些公式和定理或规则；4）逻辑函数如何定义其表示方法有哪些；5）如果有多种方式表示逻辑函数，它们之间如何转换？用 问 题 激发 学 生 听课的兴趣。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页3 对问题的逐一讲解、 解答。3.1讲 解数 字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系。3.2讲 解基本逻辑运算和常用逻辑运算概念和定义。3.2.1讲解基本逻辑运算概念1数字电路的基本概念在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数 （布尔代数或开关代数） 。逻辑变量：用字母表示，取值只有1 和 0。此时， 1 和 0 不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。表示事件的发生与否、电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。2基本逻辑运算和几种常用逻辑运算?三种基本逻辑运算（ 1）与逻辑（与运算）与逻辑：仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A，B，C， )均满足时，事件 (Y) 才能发生。表达式为： 。例： 开关 A，B 串联控制灯Y 亮或灭。 开关闭合定义为控制事件发生，灯被点亮定义为被控事件发生。EABY功能表灯开关灭灭灭亮断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合YA 开关 B真值表YA B00010 0011 01 1将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出表格来描述与逻辑关系真值表方式描述。两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为： 。实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号如下。该 部 分 主要 是 让 学生 们 掌 握数 字 电 路研 究 工 具逻 辑 代 数基础知识。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。此处注意：要 提 醒 学生，正负逻辑问题，课程 主 要 针对 正 逻 辑进行讨论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3.2.2讲解几种常用逻辑运算概念Y A B& ABY CABYCAYBC&（ 2）或逻辑（或运算）或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：= 。例：开关A，B 并联控制灯Y，只要任意有一个开关接通，灯就会亮。逻辑表达式为：=+。EABY功能表灯开关灭亮亮亮断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合YA 开关 B真值表YA B01110 001101 1实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+BABYAB1YY=A+B+CABYCABC1Y（ 3）非逻辑（非/反运算）非逻辑：当决定事件(Y) 发生的条件 (A) 满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：AY。例：实现非逻辑功能的开关A 控制灯 Y，如图所示。EAYR功能表亮断开灭闭合灯Y开关 A真值表10 01YA实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1AYAY课堂设计：与 逻 辑 运算 可 采 用实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。课堂设计：或 逻 辑 运算 可 采 用实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。课堂设计：非 逻 辑 运算 可 采 用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页3.3讲 解逻辑代数?常用的逻辑运算与非运算逻辑表达式为：BAYYA B11100 00 11 01 1真值表BAYAAYB&BY或非运算逻辑表达式为：BAYYA B10000 00 11 01 1真值表BAYAAYB1BY异或运算逻辑表达式为：BABABAYYA B01100 00 11 01 1真值表BAYAAYB=1BY00=0； 01=1；10=1； 11=0。A。1AA；A0；AA1；0AA异或逻辑的运算规则：同或运算逻辑表达式为：BABAYAB10010 00 11 01 1YA BY=AB真值表AAYB=BY同或逻辑的运算规则：00=1；01=0；10=0；11=1。A0= ；AA1=A；AA=1；A =0。ABAAB与或非运算实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。此处强调：常 用 逻 辑运 算 只 是“与、或、非”三种基本 逻 辑 运算的组合。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页公式和定理与规则3.3.1讲解逻辑代数的基本公式和常用公式DCBAYABCDYADY1&BCAY1&BCDEFABCDYEFAY1&BCDEFABEFYCDFEDCBAYFEDCBAY3逻辑代数有哪些公式和定理或规则?逻辑代数的基本公式和常用公式公理交换律结合律分配律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=01+0=0+1=1 1+1=1A B=B A A+B=B+A (A B) C=A (B C) (A+B)+C=A+(B+C) A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B) (A+C)求证： A+BC=(A+B)(A+C) 证明：右式 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC=A 1+BC=A+BC= 左式注：也可以用真值表证明。公式推广： A+BCD =(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)0-1律A 0=0 A+1=1自等律A 1=AA+0=A互补律A A=0 A+A=1重叠律A A=A A+A=A反演律A B=A+BA+B=A B此处注意：需 要 详 细解 释 异 或运 算 概 念和含义。此处注意：需 要 详 细解 释 同 或运 算 概 念和含义，并提 醒 学 生异 或 和 同或 运 算 关系 互 为 反函数。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页3.3.2讲解逻辑代数的基本定理和规则3.4讲 解逻辑函数定义其表示方法3.4.1讲解求证反演律正确性的真值表证明法：A BA BA+BABA+B111100011100110010110000消因律A+A B=A+B A (A+B)=A B包含律AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)还原律A=A合并律A B+A B=A (A+B) (A+B)=A 吸收律A+A B=A A (A+B)=ACAABBCCAABBCAACAABBCCAAB)(求证：BCAABCCAAB)()(BCACAB11CAAB左 = 右包含律公式推广：CAABBCDECAAB?逻辑代数的基本定理/规则代入定理 /规则在任一含有变量A 的逻辑等式中， 如果用另一个逻辑函数去代替所有的变量A，则等式仍然成立。例：已知等式BABA，若令 A=X+Y，则BYXYX)(B)(。对偶定理 /规则对偶式：逻辑函数式Y 中，进行乘加互换，0 1 互换，得到的新逻辑式称为Y的对偶式。对偶规则：有一逻辑等式，对等号两边进行对偶变换，得到的新逻辑函数式仍然相等。例： A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B) (A+C)。 反演定理 /规则逻辑函数式Y 中，进行乘加互换，0 1 互换，原变量反变量互换，得到的新的逻辑式为Y。应用反演规则应注意两点：演 示 方 式组织教学。此处注意：应 该 针 对比 较 难 理解 的 分 配律 进 行 证明，使学生能 更 好 地掌握。此处注意：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页逻辑函数定义3.4.2讲解逻辑函数逻辑函数几种表示方法3.5讲 解逻辑函数表示方法保持原来的运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中， AB 之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB 之间先运算。不属于单个变量上的反号应保留不变！ ！例：CDCBAY)(，则CDCBAY)(。4逻辑函数定义及表示方法?逻辑函数定义如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。表示为：Y=F(A, B, C, )。?逻辑函数几种表示方法常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言，这两种方法留给后面章节详细介绍。例：举重裁判逻辑电路。设A 为主裁判、B 和 C 为副裁判，裁判控制开关闭与断开，闭合用“ 1”表示，断开用 “ 0”表示；灯 Y 亮用“ 1”表示，灯灭用 “ 0”表示。EBCYA根据电路图得到函数式描述：)(CBAABCCABCBAY。应 该 针 对比 较 难 理解 的 反 演律 进 行 证明，使学生能 更 好 地掌握。此处注意：对 比 较 难理 解 的 包含 律 进 行证明，使学生 能 更 好地掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页之间的相互转换3.5.1讲解函数表示方法之间的相互转换用真值表描述A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 101 0 001 0 111 1 011 1 11ABCY用逻辑图描述ABCYtttt用波形图描述真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。函数式：把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式， 即逻辑代数式， 又称为逻辑函数式，通常采用 “与或” 形式。逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。波形图： 将输入、 输出的所有可能状态一一对应用波形描述出来。一般用高电平代表逻辑“ 1”，用低电平代表逻辑“ 0”。5各种逻辑函数表示方法之间的相互转换?函数表示方法之间的相互转换真值表逻辑函数式方法：将真值表中为1 的项相加，写成“ 与或式 ” 。举例：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0 CABCBABCAY逻辑式真值表方法： 将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数此处强调：应 用 反 演规 则 两 个必 须 注 意的问题。此处说明：卡 诺 图 及硬 件 描 述语 言 需 要专门研究，该 讲 暂 不介绍。此处提醒：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页3.5.2讲解逻辑函数的标准与或表示形式值，列成表即得真值表。举例：CBACBAY1 1 1 A B C Y0 0 00 0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 01111110逻辑式逻辑图方法：用图形符号（门电路符号）代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。举例：BACYACBY逻辑图逻辑式方法：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式. ABBABAABY举例：BABAY波形图真值表函 数 式 描述 可 能 有多种形式，以 后 要 介绍 标 准 与或 逻 辑 表示形式。课堂设计：函 数 表 示方 法 之 间的 相 互 转换 易 于 采用 给 出 方法 并 实 例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页ABCYtttt000000110101011010001011110011111 1 1 A B C Y0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 01100101举例：?逻辑函数的标准与或表示形式最小项概念在 n 变量逻辑函数中， 若 m 为包含 n 个因子的乘积项，而且这n 个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m 称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。三个变量A、B、C 可组成 8(23)个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、四个变量可组成16(24)个最小项，记作m0m15。逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用以下两公式来配项展开成最小项表达式。A+A=1 、A (B+C)=A B+A C例：ACCDADCBAYCBBACDBBADCBAY)()()15,14,11,10,9 ,7, 3()()(15141110973mmmmmmmmABCDDABCCDBADCBABCDACDBADCBADDABCDDCBABCDACDBADCBAY如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1 的那些最小项方式教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件PPT演 示 方 式组织教学。为 了 节 约课 时 采 用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页相加，便是函数的最小项表达式。A B C Y 最小项0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 m0m1 m2m3m4m5m6m7mCBAm2CBA1BCAm3CBAm5CBABCACBACBAmmmmmY)5,3,2,1(5321课 件PPT演 示 方 式组织教学。此处提醒：通 过 不 同方 法 得 到函 数 式 描述 逻 辑 功能时，可能有 多 种 形式 且 都 是正确的，为便 于 统 一需 要 采 用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页标 准 与 或表示。此处强调：逻 辑 函 数都 可 以 表示 成 唯 一的 一 组 最小 项 之 和的 标 准 与或表达式，但 该 表 达式 也 是 最繁琐的。4.小 结 逻辑代数基础知识内1）基本逻辑运算与、或、非逻辑运算。2）常用逻辑运算与非、或非、与或非、异或和同或逻辑运算。3）逻辑函数定义及表示方法逻辑真值表（真值表）、逻辑函数通 过 课 堂总结，使学生 加 深 对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页容式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言。4）逻辑函数表示方法之间的相互转换。本 节 课 逻辑 代 数 基础 知 识 内容的印象。5.课 后 讨论与思考问题： 设计三人表决电路（A、B、C） 。每人一个按键，如果同意则按下按键，用“1”表示，不同意则不按按键，用“0”表示。表决结果用指示灯Z 表示，多数同意时指示灯Z 亮，用“ 1”表示；否则指示灯Z 不亮，用“ 0”表示。分别用真值表、标准与或逻辑函数式、逻辑图、波形图描述该逻辑电路功能。让 学 生 思考，利于对该 节 课 内容的掌握。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页