* 63 不等式的证明 (2) *磨法石 核心知识归纳：前一节介绍了证明不等式的四种基本方法，本节再介绍三种辅助方法来解决一些较为特殊的不等式的证明问题。1换元法：引入辅助元，可以把分散的条件联系起来，隐含条件显现出来，条件的结论联系起来，化不熟悉为熟悉的问题。2放缩法：要证不等式A B，可以构造出一个中间式（或叫媒介式）C，使 A CB，即不等式传递性。3函数方程法：利用函数的单调性求函数最值或利用二次方程判别式0 或 0证题。点金术 难点疑点突破：1换元法需注意换元前后变量所表示范围的一致性。例 1：证明下列不等式：若a、 bR，|a|1，|b|1，则 a21b+ b21a1。错：设 a=cos ，b =sin，则 a21b+ b21 a= coscos +sin sin=1 分析： a=cos ，b =sin 存在着 a2+b2=1 这层关系，但题设中没有这层关系。正解：设a=cos，b =cos，、 -2，2，则 a21b+ b21 a=cos sin+cossin=cos(+)1 2放缩法要注意放缩有度的问题，否则不能达到证明目的。例 2：证明211+221+21n2 分析： n2(n-1)2n2n2-1 n2n(n-1) 三种放缩方式，到底选择哪一种呢？当然是选择放缩辐度较小的方式。证明：211+221+21n11+121+231+341+)1(1nn=1+11-21+21-31+31-41+11n-n1=2-n12 3怎样构造恰当的函数。例 3： 已知： a、b、 c(- 2，2)，求证： ab+bc+ca- 4。分析： ab+bc+ca= a(b+c)+bc 将 a 看作变量，而 bc 看作常数时g (a) =a(b+c)+bc 是关于变量a 的一次函数。（b+c=0 显然成立），问题转化为证函数g(a)在(- 2，2)上有 g (a)- 4，即证 g (a)- 40，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页直接设 f(a)=a(b+c)+bc- 4，证明 y=f(a)在(- 2，2)上有 f(a)0 较好。证明： f(- 2)=- 2(b+c)+bc-4=(2- b)(2- c)0 f(2)= 2( b+c)+bc- 4=(2+b)(2+c)0 对 a(- 2，2)必有 f(a)min f(- 2)，f(2) 0 金钥匙解题方法技巧：例 1：如果实数满足x2+y2=3，证明 -32xy3。证明： x2+y2=(3)2可设 x=3sin， y=3cos2xy=2sin3cos3=t3cos-3t sin=2t即| 2t| 233t-32t3例 2：已知 a b0，求证：aba8)(22ba-abbba8)(2证明：原不等式等价于aba8)(22)(2babba8)(2等价于aba4)(21bba4)(2又 ab0 2ba+b2a4ba+b4aaba4)(21bba4)(2点金术 思维拓展发散：例 1：若函数y=(sinx +a)(cosx +a)，且 0a2，求证： ya2+2a+21证明： y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2解题规律 ：对于所给条件为x2+y2=K2，x+y=K（ x、y、K0）或21x，22ax+22by=1 均可考虑用三角代换来证明。解题规律 ：由 ab 0 可以根据需要放缩成各种形式。如 2ba+b2a、 Kbnan+bnK an（ K N+） ，若是 1 ab0 可放缩为 aan、bbn、an bn (nN+) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页故可令 t =sinx+cosx=2sin(x+4)t-2，2，且有 sinx cosx =212t, 则 y=21( t+a)2+212a，由于 a（ 0，2） 当 t =2时， ymax=a2+2a+21方法规律 ：一般地条件中出现x2+y2=K2，且要证式中又出现x+y 项和 xy 项，则可考虑令 x+y=t，则 xy=，222Kt，而达到化成单一变量而利用二次函数求最值的目的。例 2：已知 x+y+z=5，x2+y2+z2=9，求证： x、y、z 都属于 1，37 证明：由已知得：z=5- x- y 代入 x2+y2+z2=9 得 x2+(y- 5)x+y2- 5y+8=0 xR 0 即有 (y- 5) 2- 4(y2- 5y+8)0，解得 1y37同理可证x 1，37， z1，37 方法规律 ：在已知条件中，各个字母所处地位是平等而轮换对称的，且要证明结论也是相同的，则可以任选一个字母为变量，将已知条件转化为方程或者函数来解。例 3：已知函数f(x)= x3- x+c 定义在区间 0，1上， x1、x20，1，且 x1x2，证明：（1）f(0)= f(1)； （2）| f(x2)- f(x1)|2|x2- x1|； （ 3）| f(x2)- f(x1)|1 证明：证明绝对值不等式，常需要进行恰当的放缩。（1）f(0)=c，f(1)=13-1+ c f(0)= f(1) （2）| f(x2)- f(x1)|= |x2- x1| x22+ x1x2+ x12-1 |x1、x20，1，且 x1x2 |x2- x1|1，-1 x22+ x1x2+ x12-12 | f(x2)- f(x1)| 2|x2- x1| （3）不妨设0x1x21，由（ 2）知 | f(x2)- f(x1)|2|x2- x1|又| f(x2)- f(x1)|=| f(x2)- f(1)+ f(0)- f(x1)| | f(x2)- f(1)|+|f(0)- f(x1)| 2(1- x2)+2(x1- 0)=2(1- x2+x1)由 +，得 | f(x2)- f(x1)|1 方法规律 ：利用不等式| |a|- |b| |ab|a|+|b|，对绝对值不等式放缩是常用的方法，这是高考的热点也是不等式证明中的一个难点。例 4：若 abc， （1）证明：ba1+cb1ca4； （2）是否存在n(nR+)的最大思维互动 ：生：怎么会想到要令sinx+cosx= t 呢？师： sin2x+cos2x=1，故可用t 来表示sinxcosx，而达到减少变量的目的，如果用sin2x=1- cos2x 来消去一个变量，则会出现无理式而使问题复杂化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页值，使不等式ba1+cb1can恒成立？（1）证法 1：令 a- b=x0，b- c=y0，则 a- c=x+y 0 等价证明：x1+y1-yx40 即证：)()(2yxxyyx0，显然成立证法 2：要证原式成立可证：(a- c)24(a- b)(b- c) 即证： (a+c)2- 4b(a+c)+4b2 0 即证： (a+c- 2b)20 上式显然成立证法 3： (a- c)2=( a- b)+( b- c)22)(2cbba=4(a- b)(b- c) )()(2cbbaca 4ba1+cb1ca4（2） 由证明方法3 可知：)()(2cbbaca取最小值4， 而ba1+cb1can恒成立，则要 n 小于或等于)()(2cbbaca的最小值，故存在 n 的最大值 4 使不等式ba1+cb1can恒成立。方法规律 : 这类问题 , 我们一般利用分析法, 找到解决问题的突破口, 如证法二； 也可通过变换命题，寻找证题途径。证法二是解决这类问题的常用方法。试试看潜勇挑战测试基 础 知 识1如果实数x、y 满足 x2+y2=1，那么 (1- xy)(1+xy)有（）A最小值43，而无最大值B最大值 1 而无最小值C最小值21和最大值1 D最小值43和最大值1 2a0，b0，a+b=1，且 x1、x2为正数， y1= ax1+bx2，y2=bx1+ax2，则 y1y2与 x1x2的大小关系是（）Ay1y2x1x2 By1y2x1x2C y1y2 x1x2Dy1y2 x1x23若 (x- 1) 2+(y- 1) 2=4，则 x+y 的取值范围是（）A- 2，2 B2-2，2+2 C2-2，2+22 D- 4+2，2+2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页4设 0 x1，a、b 为常数，xa2+xb12的最小值为（）A(a- b)2 B(a+b)2 C a2+b2 Da2- b25已知 a、 b、c、dR+，S=cbaa+dbab+adcc+bdcd，则（）A0S2 B1 S2 C2S3 D3S4 6设 x0，y0， A=yxyx1，B=xx1+yy1，则 A、 B 大小的关系是。7设 a、 b、cR，ab=2 且 c a2+b2恒成立，则c 的最大值是。8x2+y2=1，则3x+y 的最大值为。思维拓展9设 a、 b、c 是三角形三边，S 是三角形面积，求证：c2- a2- b2+4ab43 S。10若 x2+y2=1，求证： | x2+2xy- y2|2。11设 f(x)=2x2+1，且 a、b 同号， a+b=1，证明： 对任意实数p、q，恒有 af(p)+bf(q)f(ap+bq)成立，并说明等号成立的条件。12设 mn，且 m、nN，求证： (1+m)n(1+n)m。应用创新13把长为12cm 的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是多少？14有甲、乙两家经销同一品牌服装的批发商店，对连续三天的销售情况的统计结果如下：同一天两家的价格均相同，三天的价格均不同，甲每天售出1000 件，乙每天销售额为 1000 元，则三天来哪家的服装平均价格较低。15某收购站分两个等级收购小麦，一等每千克a 元，二等每千克b(ba）元，现有一等小麦 x 千克，二等小麦y 千克，若以两种价格的平均价收购小麦，是否公平合理？16某城建公司承包某旧城拆迁工程，按合同规定在4 个月内完成。若提前完成每天可获2 千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每天被罚款5 千元。追加投入的费用按以下关系计算： 6x+3784x- 118（千元），其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大效益？（效益=所获得奖金 - 追加费用）。答 案 与 提 示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1D（点拔： (1- xy)(1+xy)=1- x2y2， 1=x2+y2 xy21x2y241或者：令x=cos，y=sin 代入）2B（点拔： y1y2- x1x2=(ax1+bx2)(ax2+bx1)- x1x2= a2 x1x2+abx12+abx22+b2x1x2- x1x2=ab(x12+x22)+x1x2(a2+b2- 1)ab2x1x22+ x1x2(a2+b2- 1) =x1x2(a2+2ab+b2- 1)=x1x2 (a+b)2- 1=0）3C（点拔：设x-1=2sin ，y- 1=2cos，x=2sin +1，y=2cos+1，x+y=2(sin+cos)+2=2+22sin(+4) 2- 22x+y2+22）4B（点拔：令x=sin2，xa2+xb12= a2(1+cot2)+b2(1+tan2)=a2+b2+a2cot2+b2tan2a2+b2+2ab=(a2+b)2）5B（点拔： Scbaa+dbab+adcc+bdcd=1 Sbaa+bab+dcc+dcd=26AB（点拔： x0，y0， A=yxyx1=yxx1+yxy1xx1+yy174（点拔：由已知可得c 的最大值是a2+b2的最小值，ab=2， a2+b22ab=4）82（点拔：令x=cos，y=sin ，则3x+y=3cos+sin=2 sin(+3)2）9解析：要证不等式成立，只需证- 2bacosC+4ab 4321absinC，只需证3cosC2，又只需证sin(C+6)1. 此式显然成立，故c2- a2- b2+4ab43S 10证明：设x=rcos，y=rsin（ |r| 1） ，那么 | x2+2xy- y2|=|r2cos2+ r2sin2- r2sin2| =r2|cos2+sin2|= r22|sin(2+4)|211解： f(x)=2x2+1，af(p)+bf(q)-f(ap+bq)=a(2p2+1)+b(2q2+1)- 2(ap+bq)2+1 =2ap2+2bq2- 2a2p2- 4abpq- 2 b2q2+a+b- 1 又 a+b=1， a+b- 1=0 af(p)+bf(q)- f(ap+bq)=2ap2+2bq2- 2a2p2- 4abpq- 2 b2q2=2a(1- a)p2+2(1- b)q2- 4abpq=2abp2+2abq2- 4abpq=2ab(p- q)2a， b 同号， 2ab(p-q)20，当且仅当p=q 时等号成立。af(p)+bf(q)f(ap+bq) ，当且仅当p=q 时等号成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页12证明：由个n 正数的几何平均值不大于它们的算术平均值，可得(1+n)m=1)1(111)1()1)(1 (个个mnnmnnnnmnmnnnn)111)1()1()1 (项项=nnmnnmm)(=(1+m)n故(1+m)n(1+n)m，得证。13解：设两段长分别为x、y，则 x+y=12，又由 S1+S2=213x3xsin60+213y3y sin60=363(x2+y2) 又由式可得122=x2+y2+2xy2(x2+y2) x2+y22144=72， ( S1+S2)min=72363=2314设这三天的价格分别为a 元， b 元， c 元(a，b，c 均互不相等且均大于0)，则这三天甲家的平均价格为T甲=3cba333abc3abc乙家的平均价格为T乙=cba1000100010003000=abacbcabc3322233cbaabc=3abcT甲T乙，故乙家的平均价格较低。15解：平均价为每千克2ba元，若以此价统一收购的话，收购之后应付2)(bayx元。实际上收购站应付ax+by 元，则 ( ax+by)-2)(bayx=2)(bayx若 xy，则收购站受益；若x y，则收购站亏本；若x=y，则两种收购方式付款额相等。16解：设提前x 天完成，公司获得收益为y 元，则 y=2x- (6x+3784x- 118)=- 4(x+3)+ 3196x+130- 428+130=18 当且仅当x+3=3196x，即 x=11 时取等号，所以提前11 天完成公司可获得最大收益。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页