学习必备欢迎下载几何证明选讲【2012 年高考试题】1. 【2012 高考真题北京理5】如图 . ACB=90 o，CD AB于点 D ，以 BD为直径的圆与BC交于点 E.则( ) A. CE CB=AD DB B. CECB=AD AB C. ADAB=CD 2 D.CEEB=CD 2 2. 【 2012 高考真题湖北理15】 （选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，点D在O 的弦AB上移动，4AB，连接OD，过点D 作 OD 的垂线交O 于点C，则CD的最大值为 . 3.【2012 高考真题新课标理22】（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲C B A D O . 第 15 题图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如图，,D E分别为ABC边,AB AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于,F G两点，若/ /CFAB，证明：（1）CDBC；（2）BCDGBD4.【2012 高考真题陕西理15】 （几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦 CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若6AB，1AE，则DFDB .【答案】 5. 【解析】5, 1,6EBAEAB. 连接 AD ，则AEDDEB，BEDEDEAE, 5DE, 又DFEDEB,DBDEDEDF, 即52DEDBDF. 5. 【2012 高考真题辽宁理22】( 本小题满分10 分) 选修 41：几何证明选讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如图，O和/O相交于,A B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E。证明 ()AC BDAD AB； () ACAE。【答案】6.【2012 高考真题湖南理11】如图 2，过点 P的直线与圆O相交于 A，B两点 . 若 PA=1 ，AB=2 ，PO=3 ，则圆 O的半径等于 _. 【答案】6ABPO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】设PO交圆 O于 C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知,1 (12)(3-)(3),6.PA PBPC PDrrr即8. 【 2012 高 考 真 题 天 津 理13 】 如 图 ， 已 知AB和AC是 圆 的 两 条 弦 ， 过 点B 作FECDBA圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点 C作 BD的平行线与圆相交于点E， 与 AB相交于点 F，AF=3，FB=1， EF=23，则线段CD的长为 _. ABPOCD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载9.【2012 高考江苏21】 选修 4 - 1：几何证明选讲 （10 分）如图，AB是圆O的直径，,D E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结,AC AE DE求证：EC【解析】 要证EC， 就得找一个中间量代换，一方面考虑到BE和是同弧所对圆周角，相等；另名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一方面由AB是圆O的直径和BDDC可知AD是线段BC的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到BC。从而得证。【2011 年高考试题】一、选择题 : 1(2011 年高考北京卷理科5) 如图， AD ， AE，BC 分别与圆O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点G。给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA；AF AG=AD AE AFB ADG 其中正确结论的序号是ABCD二、填空题 : 1. (2011 年高考天津卷理科12)如图 ,已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F,E 是 AB 延长线上一点 ,且 DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1. 若 CE 与圆相切 ,则线段 CE 的长为.【答案】72【解析】设AF=4x,BF=2x,BE=x, 则由相交弦定理得:2DFAF FB, 即282x, 即214x,由 切 割 线 定 理 得 :2CEEB EA2774x,所 以72CE. 2.(2011 年高考湖南卷理科11) 如图 2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC=4 ， A DBC， 垂足为 D， BE 与 AD 相交于点F， 则的 AF 长为 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3. (2011年高考广东卷理科15) （几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于,A B。且7PB，C是圆上一点使得5BC，BACAPB，则AB .【答案】.35【解 析】由 题得PABACBPAB3557ABABABBCABABPBABC4(2011 年高考陕西卷理科15) （几何证明选做题）如图,BD AEBC090 ,6,4,ACDABAC且12,ADBE则三、解答题 : 1(2011 年高考辽宁卷理科22) （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图， A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且 EC=ED. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（I）证明： CD/AB ；（II）延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF=EG，证明： A，B，G，F 四点共圆 . 2. (2011 年高考全国新课标卷理科22) （本小题满分10 分）选修 4-1 几何证明选讲如图， D，E 分别是 AB,AC 边上的点，且不与顶点重合，已知ABADnACmAE,为方程0142mnxx的两根，（1）证明C,B,D,E 四点共圆；（2）若6,4,90nmA，求 C,B,D,E 四点所在圆的半径。（3）分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性质及关系计算。解： （）如图，连接DE，依题意在ACBADE ,中，第 22 题图ABCDE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。3.(2011年高考江苏卷21) 选修 4-1 ：几何证明选讲（本小题满分10 分）如图，圆1O与圆2O内切于点A，其半径分别为1r与212()rrr，圆1O的弦AB交圆2O于点C（1O不在AB上） ，求证：:AB AC为定值。解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。证明：由弦切角定理可得11212,O BrABAO CAO BACO Cr【2010 年高考试题】一、填空题：1(2010 年高考天津卷理科14) 如图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长AB 和 DC相交于点P。若12PBPA，13PCPD，则BCAD的值为。【答案】66【解析】因为ABCD 四点共圆，所以DABPCB ，CDA= PBC ，因为 P为公共角，所以PBCPAB，所以21-A第图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载PBPDPCPABCAD，设 PC=x， PB=y，则有32xyyx，即62yx，所以BCAD=3xy66。【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。3 （2010 年高考广东卷理科14） （几何证明选讲选做题）如图3，AB ，CD是半径为 a 的圆 O的两条弦，它们相交于AB的中点 P ，PD=23a，OAP=30 ，则CP _.4（2010 年高考陕西卷理科15） ( 几何证明选做题) 如图 , 已知ABCRt的两条直角边BCAC,的长分别为cmcm 4,3,以AC为直径的圆与AB交于点D, 则_DABD. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合，要注意有关定理的灵活运用. 【考点分类】第十六章选考系列. 5 （2010 年高考北京卷理科12） 如图，O的弦 ED ，CB的延长线交于点A。若 BDAE ，AB 4, BC 2, AD 3, 则 DE ；CE 。【答案】 5; 2 7解析：首先由割线定理不难知道AB ACAD AE，于是8,5AEDE，又BDAE，故BE为直径，因此90C，由勾股定理可知22228CEAEAC，故2 7CE. 二、解答题：1 （2010 年高考江苏卷试题21）选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分10 分）AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过D 作圆 O 的切线交A B C D O BOCAD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AB 延长线于点C，若 DA=DC ，求证： AB=2BC 。2. (2010年全国高考宁夏卷22） （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过 C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（） ACE =BCD ；（） BC2=BF CD 。（22）解：（I）因为ACBC, 所以BCDABC. 又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（II ）因为,ECBCDBEBCBCD, 所以BDCECB，故BCCDBEBC，即2BCBECD.3 （2010 年高考辽宁卷理科22） （本小题满分10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，ABC的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E （I）证明：ABEADC（II）若ABC的面积AEADS21，求BAC的大小。【2009 年高考试题】7 （2009 广东几何证明选讲选做题15）如图 4，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且45,4ACBAB，则圆 O 的面积等于. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7 【解析】解法一：连结OA、OB，则090AOB，4AB，OBOA，22OA，则8)22(2圆S；解法二：222445sin420RR，则8)22(2圆S. 8.（ 2009 海南宁夏22）如图，已知ABC的两条角平分线AD 和 CE 相交于 H，60B， F在 AC 上，且 AE=AF 。（ I）证明： B，D，H，E 四点共圆；（）证明：.DEFCE平分所以 CE 平分DEF9 （2009 辽宁 22）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载已知 ABC 中， AB=AC ，D 是 ABC 外接圆劣弧AC 的点（不与点A，C 重合） ，延长 BD 至 E。（ I）求证： AD 的延长线平分CDE ；（ II）若 BAC=30 ， ABC 中 BC 边上的高为32，求 ABC 外接圆的面积。9 【解析】（ 1）如图，设F 为 AD 延长线上一点。 5.,.,CDEADCDFEDFADBEDFCDFADBACBADBACBABCACABABCCDFDCBA的延长线平分即故对顶角且又四点共圆（ II）设 O 为外接圆圆心，连接AO 交 BC 于 H，则BCAH。连结 OC，由题意.75,15ACBOCAOAC60OCH【2008 年高考试题】1 （2008 广东， 15） （几何证明选讲选做题）已知PA 是圆 O 的切线，切点为A，PA=2，AC 是圆 O 的直径， PC 与圆 O 交于点 B，PB=1，则圆 O 的半径 R= 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 （2008 江苏， 21A，10 分） 如图，设 ABC 的外接圆的切线AE 与 BC 的延长线交于点E，BAC 的平分线与BC 交于点 D。求证： ED2=ECEB。4 （2008 宁夏、海南， 22，10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，过圆O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线AP 垂直直线OM ，垂足为 P。（ 1）证明： OMOP=OA2；（ 2）N 为线段 AP 上一点，直线NB 垂直直线ON，且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线ON 于 K。证明： OKM=90 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载6.（ 2008 海南宁夏22）选修 14：几何证明选讲如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点A，过 A 点作直线AP 垂直直线OM，垂足为P. （）证明： OM OP=OA2；（） N 为线段 AP 上一点，直线NB 垂直直线ON，且交圆 O 于 B 点，过 B 点的切线交直线ON于 K.证明： OKM=90 6.【解析】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【2007 年高考试题】2 （2007 广东， 15） （几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径 AB=6 ，C 为圆周上一点，BC=3。过C 作圆的切线l，过 A 作 l 的垂线 AD ，AD 分别与直线l、圆交于点D、E，则 DAC= ，线段AE 的长为。5 （2007海南、宁夏，22A，10 分） （选修41：几何证明选讲）如图，已知AP 是 O 的切线， P 为切点，AC 是 O 的割线，与 O 交于 B、C 两点，圆心O 在 PAC 的内部，点M 是 BC 的中点。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 1）证明 A，P， O， M 四点共圆；（ 2）求 OAM+ APM 的大小。【北京市2012 届高三第二次模拟】15 （几何证明选讲选做题）如图5，两圆相交于A、B 两点， P为两圆公共弦AB 上任一点， 从 P 引两圆的切线PC、 PD， 若 PC=2cm， 则 PD= cm. 【河北省唐山市一中2012 届高三第一次模拟】15.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD 为 O 的两条割线 ,若 PA=5,AB=7,CD=11,2AC，则 BD 等于 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载EDCBANM【广东省肇庆市 2012 届高三上学期期末文】14. （几何证明选讲选做题）如图3,ABC中,D、E 分别在边AB、AC上,CD 平分ACB,DE BC,如果 AC=10，AE=4，那么 BC=_. 【答案】 15. 【解析】解：DE BC, 1=2.又 1=3, 2=3. DE=EC=AC AE=10 4=6.DE BC,DEBC=AEAC. BC=15. 【山东省临清三中2012 届高三 12 月模拟理】 22、选考题 :（本小题满分10 分。请在下列A、B、C 三题中任选一题作答，请用2B 铅笔在答题卡上A、B、C 的相应选项上先填涂再作答，若不填涂所选题的选项字母，所做题不给分）A 【选修 4-1:几何证明选讲】如图， ABC是内接于 O，ACAB，直线 MN 切 O 于点 C，弦MNBD /，AC 与 BD 相交于点E（I）求证： ABE ACD ；（）若,6AB4BC，求 AE 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1如图 1，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且AB4， ACB 45 ，则圆 O 的半径 R _. 图1图22如图 3，AB、CD 是圆 O 内的两条平行弦，BFAC，BF 交 CD 于点 E，交圆 O 于点 F，过 A 点的切线交 DC 的延长线于点P，若 PCED1，PA2，则 AC 的长为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 如图4，已知圆O 的半径为3， PAB 和 PCD 为圆 O 的两条割线，且O 在线段 AB 上，若 PB10，PD8，则线段 CD_； CBD_. 图 4 图 5 4如图 5，ABC 的外角 EAC 的平分线AD 交 BC 的延长线于点D，若 AB 是 ABC 外接圆的直径，且 EAC120 ，BC6，则线段AD 的长为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5如图6，已知点C 在 O 的直径 BE 的延长线上，CA 切 O 于点 A，若 ABAC，则ACBC_. 解析：因为 B EAC， ACB ACB，所以 ACE BCA，则ACBCAEAB，在 ABC 中，又因为ABAC，所以 B ACB 30 ，在 RtABE 中，AEABtanBtan3033.故ACBC33. 答案：33图 7 6如图 7， O 与 P 相交于 A、B 两点，圆心P 在 O 上， O 的弦 BC 切 P 于点 B，CP 及其延长线交 P 于 D， E 两点，过点E 作 EFCE，交 CB 的延长线于点F.若 CD2，CB2 2，则由 B、P、E、F 四点所确定的圆的直径为_图 8 7如图 8，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为D，AD2，AC2 5，则 AB_. 解析：由射影定理可知，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AC2AD AB，所以 AB52210. 答案： 10 图 9 8如图 9 所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与 AC 交于点 D，与圆交于点E，连接 AE，已知 ED3， BD6，则线段AE 的长 _. 解析： E E， EAD EBA， EDA EAB，得AEBEEDAE，即 AE2ED BE3 9，AE33. 答案：3 3 图 10 9如图 10，正 ABC 的边长为2，点 M，N 分别是边AB，AC 的中点，直线MN 与 ABC 的外接圆的交点为 P，Q，则线段PM_. 10 (15分)(2010 课标全国卷 ) 图 11 如图 11，已知圆上的弧ACBD，过 C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)ACE BCD；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2)BC2BE CD11(16 分)(2011 辽宁高考 ) 图 12 如图 12，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E点，且 ECED. (1)证明： CDAB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF EG，证明： A，B，G，F 四点共圆12(15 分) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载图 14 如图 14，圆 O1与圆 O2内切于点 A，其半径分别为r1与 r2(r1r2)圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上)求证： ABAC 为定值解：图 15 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - -