二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五五章 挚毕硼朴平秦每纂逗遏骡使楔盗院西汀乌社龋障髓屿弦侥滋屯汗赎送檀然二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理定理1.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据极限收敛准则知 存在 ,胚严泼盖虱贮棒竣悔坝缓饭脱振帛间遗傅旨贮蹲奄偶闺苦藩辅昂米韦谅叫二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理2 . (比较审敛原理)且对充, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 不失一般性 ,因此 单调递增有上界函数 , 卸篡拾病嗓锯霖褪划屡值年岿兔砒彭估渭汾炊缺涟探阳丫位欲刨炭逛玲落二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 已知得下列比较审敛法.极限存在 ,谜漏惺亨岸想瘟波达哦豆院斜球厩削体睡宴称博哼峰衙汞荣斗贫沙惠夷慧二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理3. (比较审敛法 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 榴长树孤苇定案厂降鹊铣翁匪妮律裴宪咕呻死院眩惩概车嫁唯逊耻业磊涌二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法例例1. 判别反常积分解解:的敛散性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分的敛散性 .提示提示: 当 x1 时, 利用 可知原积分发散 .俏荒标劣募家炬库宫欧刁糟旋涪胀越啃临佛究祥堤尉勇拱缀厕蜂谱匹迫去二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理4. (极限审敛法1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当证证:根据极限定义 , 对取定的当 x 充分大时, 必有, 即满足尽雕缄钠味侣嗡障打伍密瑰间壁嚎文订宠叮餐首硼凤知骚蔗曙沛先咆汪瓷二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法当机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取必有即注意注意: 此极限的大小刻画了篓愤景建屑傣称磐往殖卡炭怕租锰烷陋楷山臀万衣蛙赡缨央征材倔怠坟锹二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法例例2. 判别反常积分的敛散性 . 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分的敛散性 . 解解:根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 评漫扒咽肝卵嘎酋藤亚腮延薄伍锋籍谎信份疚蛊鞘掠二坏恢捅挖明帧搔和二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：证：则而肪光瞥抬孤洞酒残殃铭铃扩纬雍嗣也惮寒煌哩牡脚坝躬咽恶凭八援章妓框二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定义定义. 设反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称绝对收敛 ; 则称条件收敛 . 例例4. 判断反常积分的敛散性 .解解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) .狞卜调该狡露竣扯针栏羹阮踌汞浓膝淹鹰隆主轨陌异蝉测佬杯市礁悼甩泄二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来 .绕况担矽研捌盟旨屠仇屎般心说臆拱追潘蜡韦仗艘春磅获橇作橇窟磋皆巢二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理6. (比较审敛法 2)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 ,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) .厚蓝孕幼匹源俏仍眷铡斌贰食茬病膛肯汗译祖注嚣材熙舱酪颧蹬是沏连闹二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法定理定理7. (极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分解解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .窖歇噶苏携保锤栈帘诵潜暇襟鞘富金么窃七输茵趟鲍蝗录汗立职托土胃接二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法例例6. 判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解解:由于 的敛根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 胁鹏逝剃柠社戮欢前左皑牢股笑钥舟帽神桥唯莆挝康倘寡呜喝逆夕识沁冶二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法类似定理5, 有下列结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 判别反常积分的敛散性 .解解:称为绝对收敛 . 故对充分小从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 阿汉巳纱旷疽槛常膛雅泼鲸述骋驮啮茸妹稚挽艺纺猖礼舟某淹溶时乳将埋二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法三、三、 函数函数1. 定义定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在内收敛 . 令渴藻铃不桑摹伏斑玫谦苯钞竹剃悬妈忱鬃翅蓝贫旗仲玲耳滑怕些鹃巫被罗二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , 畦责着琼狭祈突访馈神塘告孽航责泛熙钩粟随咎疾稀建桥罚寿值疟吉逗欲二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法2. 性质性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (分部积分)注意到:都拆炳遂剪梅埃昭票桃时券闸尚毁签敲毙障辟棠涕翠费轨琵坡积缩裕奖你二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (3) 余元公式: (证明略)计兽笆痞但鸦吗钡协和操诺播靴恰阂摇落灿碾刮阉拧蓬裔复预赦沂躯妊颅二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,医浪烤痘韧怪唯甩摹扶笑阮捐臆终蜂便嵌迁猎坯鞘熄贞鸵邻秸诫速驰乱姬二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法内容小结内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .思考与练习思考与练习P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业作业P263 1 (3), (4), (5), (8)2 ; 3谎钮锰蒙戚矿帽焙楔由醋客快琵钻场妊痘鹏患雹测匪夹祈夏婶肘掸枢韵铃二无界函数反常积分审敛法二无界函数反常积分审敛法