学习必备欢迎下载 4.1弧度制及任意角的三角函数1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条_绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 _(2)象限角使角的顶点与 _重合，角的始边与x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 是第一象限角可表示为 |2k 0)，则 sin ，cos ，tan (x0) cot xy(y0) ，sec rx(x0) ，csc ry(y0) (2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sincostan(3)三角函数值在各象限的符号sincostan4三角函数线如图， 角 的终边与单位圆交于点P.过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与的终边 (当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 为第二、三象限角时 )相交于点 T.根据三角函数的定义，有 OMx_，MPy_，AT_.像 OM，MP，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段， 这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的、，统称为三角函数线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载5特殊角的三角函数值角 030456090120135150180270360角 的弧度数sincostan sin15 624，sin75 624，tan15 23，tan75 23，由余角公式易求15 ，75 的余弦值和余切值【自查自纠】1(1)射线逆时针顺时针零角(2)原点非负半轴 |2k 2 2k ，kZ |2k 2k 32 ，kZ |2k 32 2k 2 ，kZ或 |2k 2 2k ，kZ (3)坐标轴 | 2k ，kZ | 2k 2，kZ | 2k 32 ，kZ | k ，kZ | k 2，kZ | k2，kZ(4) | 2k ，kZ 或 | k 360 ，kZ 2(1)半径长lr(2)2 180( )180(3)| | r12| |r212lr3(1)yrxryx(2)RR | k 2，kZ4cos sinyxtan 正弦线余弦线正切线5. 角030456090120135150180270360角的弧度数0 6432233456322sin0 12错误 ! 错误 !1 3222120 1 0 cos1 错误 ! 错误 !120 1222321 0 1 tan0 错误 !1 错误 !不存在3 1 330 不存在0 与 463 终边相同的角的集合是() A. | k 360 463 ，kZB. | k 360 103 ，kZC. | k 360 257 ，kZD. | k 360 257 ，kZ解： 显然当 k 2 时， k 360 257 463 .故选 C.给出下列命题：小于2的角是锐角；第二象限角是钝角；终边相同的角相等；若 与 有相同的终边， 则必有 2k(kZ)其中正确命题的个数是() A0 B1 C2 D3 解：锐角的取值范围是()0，2，故不正确；钝角的取值范围是()2， ，而第二象限角为()2k 2，2k ，kZ，故不正确； 若 2k ， kZ， 与 的终边相同， 但当 k0时， ，故不正确； 正确 故选 B.若 cos 32，且角 的终边经过点P(x，2)，则 P点的横坐标x 是() A23 B 23 C 22 D 23 解： 由 cos xx2432，解得 x 23.故选 D.若点 P()x，y 是 30 角终边上异于原点的一点，则yx的值为 _解：yxtan30 33.故填33.半径为 R 的圆的一段弧长等于23R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是_解： 圆心角的弧度数 23RR23.故填 23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载类型一角的概念若 是第二象限角，试分别确定2 ，2，3的终边所在位置解： 是第二象限角，90 k 360 180 k 360 (kZ)(1) 180 2k 360 2 360 2k 360 (kZ)，故 2的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上(2) 45 k 180 290 k 180 (kZ)，当 k2n(nZ)时， 45 n 360 290 n 360 ，当 k2n1(nZ)时， 225 n 360 2270 n 360 . 2的终边在第一或第三象限(3) 30 k 120 360 k 120 (kZ)，当 k3n(nZ)时， 30 n 360 360 n 360 ，当 k3n1(nZ)时， 150 n 360 3180 n 360 ，当 k3n2(nZ)时， 270 n 360 3300 n 360 . 3的终边在第一或第二或第四象限【评析】 关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难解此类题一般步骤为先写出 的范围 求出 2 ，2，3的范围 分类讨论求出2 ，2，3终边所在位置已知角 2 的终边在 x轴的上方 (不与 x轴重合 )，求 的终边所在的象限解： 依题意有 2k 2 2k (kZ)，k k 2(kZ)当 k0 时， 0 2，此时 是第一象限角；当 k1 时， 32 ，此时 是第三象限角综上，对任意kZ，为第一或第三象限角故 的终边在第一或第三象限类型二扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角 AOB120 ，半径 R6，求：(1)AB的长；(2)弓形 ACB 的面积解： (1) AOB120 23，R6，lAB23 64.(2)S弓形ACBS扇形OABSOAB 12lABR12R2sinAOB12 4 612 623212 93. 【评析】 直接用公式l | |R 可求弧长，利用S弓S扇S可求弓形面积 关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致 弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小解： 设扇形半径为r，则弧长为82r，S 12 (82r) r3，r1，或 r3. 圆心角 弧长半径82rr6 或23. 类型三三角函数的定义已知角 的终边经过点P(a， 2a)(a0)， 求 sin ，cos ，tan的值解：因为角 的终边经过点P(a，2a)(a0)，所以 r5a，xa，y2a. sin yr2a5a255，cos xra5a55，tan yx2aa2. 【评析】 若题目中涉及角终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载已知角 的终边经过点P(3m9，m2)(1)若 m2，求 5sin 3tan的值；(2)若 cos 0 且 sin 0，求实数 m 的取值范围解： (1)m2，P(3，4)，x 3，y4，r5. sin yr45，tan yx43. 5sin 3tan 5453( )430. (2) cos 0 且 sin 0，3m9 0，m20.2m 3. 类型四三角函数线的应用用单位圆证明角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知 0 2 ，求证： |sin |cos | 1.证明： 作平面直角坐标系xOy 和单位圆(1)当角 的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图 1，显然 sin 0，cos OA1，所以|sin |cos |1. 图 1 图 2 (2)当角 的终边不在坐标轴上时，不妨设为 OP，设它交单位圆于 A点，过 A作 ABx 轴于 B，如图 2，则 sin BA，cos OB. 在OAB 中， |BA|OB| |OA|1，所以 |sin |cos |1. 综上所述， |sin |cos | 1. 【评析】 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性求证：当 ()0，2时， sin tan . 证明： 如图所示，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x 轴正半轴的交点为A， 过点 A作圆的切线交OP的延长线于T，过 P 作 PMOA 于 M，连接 AP， 则在 RtPOM 中， sin MP，在 RtAOT 中，tan AT，又根据弧度制的定义，有AP OP ， 易 知 S P OAS扇形PO AS A O T， 即12OA MP 12AP OA 12OA AT，即 sin tan . 1将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为 |0 90 ，第一象限角的集合为 |k 360 k 360 90 ，kZ，显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角2角度制与弧度制可利用180 rad 进行换算，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用如 2k 30 (kZ)， k 360 2(kZ)的写法都是不正确的3一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷4已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能情况的讨论5牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论62k 表示与 终边相同的角，其大小为与 的偶数倍 (而不是整数倍 )的和，是 的整数倍时，要分类讨论如：(1)sin(2k )sin ；(2)sin(k )sin （k为偶数），sin （k为奇数）(1)ksin . 7在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧1(2012 北京海淀二模 )若 sin cos 0，则角 是() A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第二或第四象限角解： sin cos 0，cos 0或sin 0.角 是第二或第四象限角 故选 D.2已知角 的终边经过点P(4a，3a)(a0)，则 2sin cos的值为 () A25B.25C0 D.25或25解：x4a，y3a，a0，r5a，sin 35，cos45，2sin cos 2( )354525.故选 A.3函数 ysinx|sinx|cosx|cosxtanx|tanx|的值域是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载A 1，1 B1，3 C1， 3 D 1，3 解：(1)当 x 的终边落在第一象限时，sinx0， cosx0， tanx0，y1113；(2)当 x的终边落在第二象限时，sinx0，cosx0，tanx0，y111 1；(3)当 x的终边落在第三象限时，sinx0，cosx0，tanx0，y 111 1；(4)当 x的终边落在第四象限时，sinx0，cosx0，tanx0，y 111 1. 又依题意知角x的终边不可能落在坐标轴上，上述函数的值域为 1，3故选 D.4已知弧度数为2 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 () A2 B2sin1 C.2sin1Dsin2 解：2Rsin12，R1sin1，l| | R2sin1. 故选 C.5cos1，sin1，tan1 的大小关系是 () Asin1cos1tan1 Btan1sin1cos1 Ccos1tan1sin1 Dcos1sin1tan1 解： 如图，单位圆中MOP1 rad4rad，OM22MPAT，cos1sin1tan1.故选 D.6在ABC 中，若 sinA cosB tanC0，则 ABC 的形状是() A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定解： ABC 中每个角都在 (0，)内，sinA0. sinA cosB tanC0，cosB tanC0. 若 B，C 同为锐角，则cosB tanC0. 故 B，C 中必定有一个是钝角 ABC 是钝角三角形故选 B.7点 P 从(1，0)出发，沿单位圆x2y21 逆时针方向运动23 弧长到达点Q，则点 Q 的坐标为 _解：由三角函数的定义知点Q(x，y)满足xcos23 12，ysin23 32.故填12，32.8若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为_cm 和_rad 时，扇形的面积最大解： 设该扇形的半径为r，圆心角为 ，弧长为 l，面积为S，则 l2r60，l602r. S12lr 12(602r)r r230r (r15)2225. 当 r15 时， S最大，最大值为225cm2. 此时， lr30152rad. 故填 15；2.9若 是第三象限角，则2 ，2分别是第几象限角？解： 是第三象限角，2k 2k 32 ，kZ. 4k 22 4k 3 ，kZ. 2是第一、二象限角，或角的终边在y 轴非负半轴上又 k 22k 34 ，kZ，当 k2m(mZ)时，2m 222m 34(mZ)，则2是第二象限角；当 k2m1(mZ)时，2m 3222m 74( mZ)，则2是第四象限角 故2是第二、四象限角10(台湾版习题 )求 sin15 ，cos15，tan15 的值解： 如图，在 RtABC 中， BAC30 ，C90 ，延长 CA 到 D 使 ADAB，则 ABD 是等腰三角形且D15 . 设|BC|1，则 |AD|AB|2，|AC|3，因此 |CD|AD|AC|23. 利用勾股定理 |BD|2|CD|2|BC|2，代入得|BD |2(23)2128432(31)2，开平方得 |BD|2(31)故 sin15 |BC|BD|12（31）624，cos15 |CD|BD|232（31）624，tan15 |BC|CD|12323. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载11 已知角 的终边经过点P(x， 2)(x0) 且 cos 36x，求 sin tan的值解： P(x，2)(x0) ，点 P到原点的距离rx2 2. 又 cos xx2236x，x 10，r23. 当 x10时，点 P(10，2)，由三角函数定义知sin 66，tan 21055. sin tan 6655566 530. 当 x10时，同理可求得sin tan 655630. 若 在第四象限，试判断sin(cos )的符号解： 在第四象限， 0cos 12，sin(cos )0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页