概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 1.1 随机景象与随机景象与统计规统计规律性律性1.2 1.2 随机事件关系与运算随机事件关系与运算1.3 1.3 古典概率古典概率1.4 1.4 几何概率几何概率1.5 1.5 概率空概率空间间1.6 1.6 小小结结与与综综合合练习练习概率论基础Foundations of Probability Theory1.1 1.1 随机景象与随机景象与统计规统计规律性律性 随机景象随机景象 Def 在一定条件下，因不可控要素而在一定条件下，因不可控要素而导致致实验或察看或察看结果不独一的景象成果不独一的景象成为随机景象。客随机景象。客观世界存在大量的随世界存在大量的随机景象。机景象。Def 为为研研讨讨随机景象而随机景象而进进展的察看和展的察看和实验统实验统称称为为随机随机实验实验。随机随机实验实验必具必具备备以下特点：以下特点： 1 至少有两个以上能至少有两个以上能够结够结果；果； 2 实验实验的一切能的一切能够结够结果由果由实验实验条件明确知，但每次条件明确知，但每次详细详细实验实验之前不可之前不可预测预测本次本次实验实验将要出将要出现现的的结结果；果； 3 实验实验可在一可在一样样条件下多次反复。条件下多次反复。 随机随机实验 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory下面是一些随机实验的例子 例1.1 某人抛掷一枚骰子，察看朝上面的点数。 例1.2 从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球，察看其颜色。 例1.3 从某厂所消费的10000件产品中随意抽取53件产品，调查其中次品的件数 例1.4 从某校中随意抽选一名学生，丈量其身高。随机事件Def 随机随机实验实验的的结结果称果称为为随机事件，随机事件，简简称事件。称事件。随机事件在详细一次实验中有能够出现也有能够不出现，它具有不可预见性。假设随机事件在一次详细实验中出现了，就称该随机事件发生了。普通用大写的英文字母来表示随机事件，如A,B,C。 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory随机事件的分类根身手件复合事件特殊事件随机实验不可再分的结果用随机实验假设干个根身手件共同方可表达的结果必然事件和不能够事件样本空间Def 随机实验根身手件的全体所构成的集合称为该随随机实验根身手件的全体所构成的集合称为该随机实验的样本空间，普通用字母机实验的样本空间，普通用字母 表示。表示。样本空间是由所要研讨的问题及其该问题所涉及的随机实验确定的，它是研讨问题的论域。 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory例如：例如：例1.1的样本空间，其中表示朝上面的点数为1，表示朝上面的点数为2，其他记号类似。例1.2的样本空间，其中个数，那么，样本空间 ，其中“0表示所抽球中没有白球， “1表示所抽球中有1个白球，其他记号类似。例1.3的样本空间，其中“0表示所抽产品中没有次品，其他记号类似。例1.4的样本空间，其中表示所抽到学生的身高。表示白球， 表示黑球。假设将问题变为“察看白球出现的 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory显然，频率具有以下性质：频率稳定性Def 设将实验设将实验 进展了进展了 次，其中次，其中 次发生了事件次发生了事件 ，那么称那么称 为事件为事件 发生的频率，记为发生的频率，记为 ，即，即 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability TheoryDef 随机事件在一次随机事件在一次实验实验中能否中能否发发生生带带有偶有偶尔尔性，但当性，但当实验实验次数不断增大次数不断增大时时，它，它发发生的生的频频率就率就趋趋于于稳稳定，定，这这种种规规律称律称为为随机事件的随机事件的统计规统计规律性。律性。在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进展了许多实验。最著名的有掷硬币实验、高尔顿板实验。掷硬币实验的历史资料表试 验 者抛 掷 次 数出现正面的次数出现正面的频率德.摩根204810610.5180蒲 丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120210.5005维 尼30000149940.4998 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory随机事件概率从前面的讨论我们不难看出，同一随机实验的不同事件由于其内在的差别，在详细的实验过程中，它们各自发生的时机是不定一样的。为了描写这种差别需求有一个目的，这个目的就是概率。所谓概率是用来描写随机事件在一次实验中发生时机大小的一个数量目的。 概率的统计确定法 Def 在一样条件下反复进展的 次实验中, 事件 发生的频率 稳定地在某一常数 附近摆动, 且随 越大摆动幅度越小, 那么称 为事件 的概率, 记作 。 概率的统计定义对实验没有特殊限制，适用于一切随机实验。优点是易于了解，在实验次数足够大时能给出概率的近似值；缺乏是粗糙、模糊和不便运用。 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory资料确定该批小麦种子的发芽率。解：从表内的资料可看出，随着做实验种子粒数的添加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽实验的种子粒数愈大附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大约应在0.9这个数值上。种子粒数2 5 10 70 130 310 700 1500 2000发芽粒数2 4 9 60 116 282 639 1339 1806发芽率1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 例例1.5 为掌握一批小麦种子的掌握一批小麦种子的发芽率，从芽率，从这批小麦种子中批小麦种子中抽取假抽取假设干种子做干种子做发芽芽实验，统计结果如下表所示。果如下表所示。试由由此此 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory 留意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。请大家思索概率的统计定义与以下极限过程有何区别？也即概率的统计定义能否了解为下式成立：样本空间是一根身手件为元素的集合，复合事件是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不能够事件是样本空间的空子集；假设再规定根身手件就是一个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事件的集合中的一个元素在实验中出现了。1.2 随机事件关系与运算随机事件关系与运算 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 事件的包含与等价相等事件的包含与等价相等 Def 设设 为恣意两个事件，假设事件为恣意两个事件，假设事件 发生必导致事件发生必导致事件 发生，那么称事件发生，那么称事件 包含事件包含事件 ，记为，记为 。 例如：例如： 在例在例1.1中，令中，令 表示掷得点数能被表示掷得点数能被3整除；整除； 表示掷得表示掷得的点数大于的点数大于2。那么。那么 。 假设有假设有 成立，也称成立，也称 为为 的子事件。的子事件。 Def 设设 为恣意两个事件，假设为恣意两个事件，假设 且且 ，那么，那么称事件称事件 与与 等价或相等。记为等价或相等。记为 。 例如：例如： 在例在例1.1中，令中，令 表示掷得点数能被表示掷得点数能被3整除；整除； 表示掷得表示掷得的点数为的点数为3或或6，那么，那么 。概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 事件的互斥与对立 Def 设 为恣意两个事件，假设 与 在一次实验中不能同时发生，那么称事件 与 互斥。假设 与 互斥，且在一次实验中必有一个发生，那么称 与 互为对立事件。记 的对立事件为 例如： 在例1.1中，令 表示掷得点数能被3整除； 表示掷得的点数小于3，那么 与 互斥。 在例1.2中，令 表示抽出的两球中至少有一球为白色球， 表示抽出的两球全为黑球，那么 与 互为对立事件。 显然，事件 与 互为对立事件，那么它们一定互斥。概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 互斥事件完备群 Def 设 为一组事件，假设它们之中恣意两个之间互斥，每次实验中必有它们其中一个发生，那么称这组事件 构成互斥事件完备群。 例如： 在例1.4中，令那么 构成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。 图1.1概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 事件的和运算 Def 设 为恣意两个事件，那么称“事件 与事件 至少一个发生这样的实验结果为事件 与事件 的和事件；这样的运算称为事件和运算。记 与 的和事件为 。 从定义不难看出事件的和运算具有以下性质 1 ； 2假设 ，那么 ； 3 。 事件和运算概念的推行： 设 为一个事件序列，那么称“事件序列 中至少有一个事件发生 这样的实验结果为事件序列 中事件的和事件。记为 。AB图1.2BA+概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 事件的积运算 Def 设 为恣意两个事件，那么称“事件 与事件 两个同时发生这样的实验结果为事件 与事件 的积事件；这样的运算称为事件积运算。记 与 的积事件为 。从定义不难看出事件的积运算具有以下性质 1 ； 2假设 ，那么 ； 3 。 事件积运算概念的推行： 设 为一个事件序列，那么称“事件序列 中每个事件同时发生 这样的实验结果为事件序列 中事件的积事件，记为 。A B图1.3概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 事件的差运算 Def 设 为恣意两个事件，那么称“事件 发生，而事件 不发生这样的实验结果为事件 与事件 的差事件；这样的运算称为事件差运算。记 与 的差事件为 。 从定义不难看出事件的积运算具有以下性质 1 ； 2假设 ，那么 。 事件的运算律 交换律 和运算 积运算 结合律 和运算 积运算概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 分配律 对偶律De Morgan律 这些运算律读可以推行到有限个事件的情况，对偶律还可以推行到无穷多个事件的情况。 例1.6 设 为某实验的三个知事件，试用它们表达以下事件“ 中恰有两个事件发生 ，“ 中都不发生。 解: “ 中恰有两个事件发生 为 “ 中都不发生为 或概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 例例1.7 设设 为某实验的三个知事件，为某实验的三个知事件， ，试，试求事件求事件 的对立事件。的对立事件。 解解: 由对偶律知由对偶律知 几个重要概念的等价表达几个重要概念的等价表达事件 对立事件组 为互斥事件完备群概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 20211.3 古典概率古典概率 在对普通随机实验进展讨论之前，先讨论最简单的随机实验，这就是所谓的古典概率。 古典概型古典概型只需有限个根身手件，且Def 假设随机实验假设随机实验的样本空间每个根身手件在实验中发生时机相等，那么称该随机实验为古典概型。 古典概型描画的是特殊的，相对较简单的随机景象。判别一个随机实验能否为古典概型就是要看其根本结果数能否有限和各根本结果能否具有等能够性。 例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 概率的古典定义 所以有所含结果数事件由于一切能够结果解：解：设“全部装全部装对为事件事件 例例1.7匹配匹配问题某人写了某人写了4封信和封信和4个信封，个信封，现随机地随机地将信装入信封中，求全部装将信装入信封中，求全部装对的概率。的概率。 的概率为样本点数为，事件含有个样本点，那么事件的恣意事件，假设Def 设随机实验设随机实验为古典概型，为概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021思绪 例例1.8组数数问题用用 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数字构成三位个数字构成三位数，数，试求求“没有一没有一样数字的三位数的概率数字的三位数的概率 ， “没有一没有一样数数字的三位偶数的概率。字的三位偶数的概率。 百位十位百位十位个位n 没有一样数字的三位偶数的概率 n 没有一样数字的三位数的概率于是 表示组成没有一样数字的三位偶数。 表示组成没有一样数字的三位数； 解：设解：设概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021思绪 例例1.9 抽抽签问题10个学生，以抽个学生，以抽签的方式分配的方式分配 3 张音音乐会入会入场券，抽取券，抽取10张外外观外形一外形一样的的纸签，其中有，其中有3签代表可得到入代表可得到入场券。求券。求“第五个抽第五个抽签的学生抽到有入的学生抽到有入场券券签的概率。的概率。第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张所以有所含根身手件数 事件根身手件总数解：设解：设表示第五个抽签的学生抽到有入场券签。概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021 反复抽取与不反复抽取在产质量量检验时，人们抽取产品的方式有两种。反复抽取是指抽出一个产品检验完后，将其放回，再抽第二产品进展检验；而不反复抽取是指抽出的产品不再放回。这两种抽取方式其概率行为是有差别的。例题例题1.10设一批产品共有设一批产品共有正品，先采用反复和不反复两种抽取方式从中抽取件产品，问恰好又k件次品的概率。概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021这一概率式称为二项分布这一概率式称为超几何分布概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021留意：普通情况下，二项分布与超几何分布有明显的差别，但当产品数量很大，而抽取数量不大时，二项分布与超几何分布差别几乎可以忽略。现实上，由于而概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021例例题1.11从某从某鱼塘捕得塘捕得1200条条鱼，做了，做了标志之后放回志之后放回鱼塘塘经过一段一段时间后，再从中捕得后，再从中捕得1000条条鱼，发现其中有其中有标志志的的鱼100条，条，试以此数据估以此数据估计鱼塘中塘中鱼的数量。的数量。 概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021例例题1.12(德德.梅梅尔问题)一枚骰子一枚骰子掷4次至少得到次至少得到1次次6点点与两枚骰子与两枚骰子掷24次至少得到一个双次至少得到一个双6点，点， 这两个事件中两个事件中那那间有更多的有更多的时机遇到？机遇到？ 概率论基础Foundations of Probability Theory 徐 钊 2021几何概型 Def 设有一个可度量的区域 直线上的区间、平面上的区域、空间的立体通称，向区域 恣意投一点，该点落于区域 内恣意小区域里的能够性大小只与小区域度量的大小有关，而与小区域的位置外形无关，这样的随机实验称为几何概型，这时样本空间 。 几何概型如图1.4所示，具有以下特点：1有一个可度量的区域 ；2实验 看成向 中随机地投掷一点；3事件 就是所投掷的点落在 中的可度量图形 中。 概率的几何定义 Def 设 为几何概型， 为其恣意一个事件， 为 的度量， 为 的度量，那么事件 的概率为G图1.4A1.4 几何概率几何概率概率论基础Foundations of Probability Theory 例例1.13 甲乙二人相约甲乙二人相约6:00-6:30在预定地点会面，规定先在预定地点会面，规定先到的人要等候另一人到的人要等候另一人10分钟后，方可离去。知甲乙二人在分钟后，方可离去。知甲乙二人在6:00-6:30内恣意时辰到达预定地点的时机是均等的。求甲内恣意时辰到达预定地点的时机是均等的。求甲乙二人能会面的概率。乙二人能会面的概率。 解：设解：设 表示甲乙二人能会面表示甲乙二人能会面 甲乙二人到达预定地点甲乙二人到达预定地点时辰分别为时辰分别为 及及 分钟分钟, 那么那么 二人能会面二人能会面 以以6:00作为原点建立坐标系，作为原点建立坐标系，那么，该问题如图那么，该问题如图1.5所示。从而有所示。从而有30301010图1.5概率论基础Foundations of Probability Theory例例1.14(蒲丰投蒲丰投针问题)概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory 事件域事件域1.5 概率空概率空间间概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory 概率的公理化定义概率的公理化定义概率公理化定义描写了概率的本质，概率是一个函数，这个函数的作用是能度量随机事件再一次实验中出现时机的大小。它有点像我们熟习的面积、体积，即所谓的测度。概率论基础Foundations of Probability Theory 概率的公理化定义规定了概率的根本性质，由这些根本性质可以推导出下面一些概率的常用性质。有效的利用概率的这些性质可以简化复杂事件的概率计算。 概率的性质 1. 证明：由于 且恣意两项互斥， 由公理3便有 由于概率是数，显然有 该性质通知人们：不能够事件的概率为零。但 可不能推出 是不能够事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上随意砍，现调查刀片恰好砍到直尺的中点这一事件，显然这事件是能够发生的，但由几何概型容易看出其概率为0。 概率论基础Foundations of Probability Theory 2. 有限可加性 设 两两互斥，那么有 这个性质称为概率的有限可加性，证明类似于性质1。 3. 单调性 假设 ，那么有 。 证明：如图1.7所示有 又 互斥，从而 所以有图1.7概率论基础Foundations of Probability Theory 4. 加法定理 对恣意两个随机事件 ，有 证明：如图1.8所示有 又 互斥且 所以有 假设事件 互斥，那么有 。 图1.8概率论基础Foundations of Probability Theory 5. 逆事件的概率 设 为事件 的对立事件，那么有 。 证明：如图1.9所示有 所以有 即有 该公式为求事件的概率提供了一个途径。 概率性质在求解复杂事件概率中的运用例1.15 袋中有20个球，其中15个白球，5 个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率 解：设 表示至少取到一个白球， 表示恰好取到 个白球， ， 那么 A图1.9概率论基础Foundations of Probability Theory 两两互斥 由古典概型和概率加法公式易得 (另解) 又由于 ，从而由古典概型与逆概率公式有概率论基础Foundations of Probability Theory 例例1.16 把把6个小球随机地投入个小球随机地投入6个盒内个盒内(球球,盒可识别盒可识别)，求前三个盒当中有空盒的概率。求前三个盒当中有空盒的概率。 解：设解：设 表示前三个盒当中有空盒，表示前三个盒当中有空盒， 表示恰好第表示恰好第 个盒个盒是空的，是空的， ， 那么那么 ，于是由古，于是由古典概型与概率加法公式有典概型与概率加法公式有概率论基础Foundations of Probability Theory例例1.17 设事件设事件 的概率分别为的概率分别为 ，试在以下情况，试在以下情况下求下求 的值：的值： 1 与与 互斥；互斥； 2 。 解解:1由于由于 与与 互斥，故有互斥，故有 ，于是有，于是有 。 所以所以 2由于由于 而而 互斥，于是有互斥，于是有 又知又知 ，所以有，所以有概率论基础Foundations of Probability Theory 概率的延续性概率的延续性概率论基础Foundations of Probability Theory概率论基础Foundations of Probability Theory