5 一次函数的应用 1.1.学会识图学会识图.2.2.利用一次函数知识解决相关实际问题利用一次函数知识解决相关实际问题. . 我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定关系式，如何利用一次函数知识解决相关的实际确定关系式，如何利用一次函数知识解决相关的实际问题呢？问题呢？ 小芳以小芳以200 m200 mminmin的速度起跑后，先匀加速跑的速度起跑后，先匀加速跑5 5 minmin，每每分分钟钟提提高高速速度度20 20 m m，又又匀匀速速跑跑10 10 minmin试试写写出出这这段段时时间间里里她她跑跑步步速速度度y y（ m mminmin）随随跑跑步步时时间间x x（minmin）变化的函数关系式，并画出图象）变化的函数关系式，并画出图象 分析：分析：本题本题y y随随x x变化的规律分成两段：前变化的规律分成两段：前5 5 min min与后与后1010 min min写写y y随随x x变化的函数关系式时要分成两部变化的函数关系式时要分成两部分画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量分画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围的取值范围【解析解析】y=y=，. 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A A正正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B B追赶，如追赶，如图中图中s s1 1与与s s2 2分别表示两船只相对于海岸的距离分别表示两船只相对于海岸的距离s s（n n milemile）与追赶时间）与追赶时间t(mint(min）之间的关系）之间的关系. .【例题例题】2 21 14 43 36 65 58 87 710109 92 24 46 60 08 81010s s1 1s s2 2t/mint/mins/n miles/n mile2 21 14 43 36 65 58 87 710109 9t/mint/min2 24 46 60 08 81010s s1 1s s2 2(1)(1)哪条线表示哪条线表示B B到海岸的距离与追赶时间之间的关系到海岸的距离与追赶时间之间的关系? ?(2)A,B(2)A,B哪个哪个速度快速度快? ?当当t=0t=0时时,s=0,s=0,所以所以s s1 1表示表示B B到海岸的距离与追赶时间到海岸的距离与追赶时间之间的关系之间的关系. .B BA AB B的速度快的速度快s/n miles/n mile2 24 46 68 81010t/mint/min2 24 46 60 08 81010s s1 1s s2 2(3)15 min(3)15 min内内B B能否追上能否追上A?A?(4)(4)如果一直追下去如果一直追下去, ,那么那么B B能否追上能否追上A?A?121214141616M MN NA AB B不能不能能能s/n miles/n mile2 24 46 68 81010t/mint/min2 24 46 60 08 81010s s1 1s s2 2(5)(5)当当A A逃到离海岸的距离逃到离海岸的距离12 n mile12 n mile的公海时的公海时,B,B将将无法对其进行检查无法对其进行检查. .照此速度照此速度,B,B能否在能否在A A逃入公海逃入公海前将其拦截前将其拦截? ?1212p p14141616B BA A能能s/n miles/n mile 1. 1.城有肥料城有肥料200 t200 t，城有肥料，城有肥料300 t300 t，现要把，现要把这些肥料全部运往，两乡从城往，两乡这些肥料全部运往，两乡从城往，两乡运肥料费用分别为每吨运肥料费用分别为每吨2020元和元和2525元；从城往，元；从城往，两乡运肥料费用分别为每吨两乡运肥料费用分别为每吨1515元和元和2424元现乡需要元现乡需要肥料肥料240 t240 t，乡需要肥料，乡需要肥料260 t260 t怎样调运总运费最怎样调运总运费最少？少？ 分析分析:可以发现：可以发现：，运肥料共涉及运肥料共涉及4 4个变量它们都是影响总运费的个变量它们都是影响总运费的变量变量 然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定中一个量，其余三个量也就随之确定 【跟踪训练跟踪训练】 设设x tx t，则：，则： 由于城有肥料由于城有肥料200 t200 t：，(200-x) t(200-x) t 由于乡需要由于乡需要240 t240 t：，(240-x) t(240-x) t 由于乡需要由于乡需要260 t260 t：，(260-200+x) t(260-200+x) t 那么，各运输费用为：那么，各运输费用为： 20x20x 2525（200-x200-x） 1515（240-x240-x） 2424（60+x60+x）【解析解析】设总运费为设总运费为y y，y y与与x x的关系式为：的关系式为： y=20x+25y=20x+25（200-x200-x）+15+15（240-x240-x）+24+24（60+x60+x）. .即：即：y=4x+10 040 y=4x+10 040 （0x2000x200）由关系式或图象都可看出，由关系式或图象都可看出，当当x=0x=0时，时，y y值最小为值最小为10 04010 040 因此，从城运往乡因此，从城运往乡0 t0 t，运往乡运往乡200 t200 t；从城运往乡；从城运往乡240 t240 t， 运往乡运往乡60 t60 t此时总此时总运费最少，为运费最少，为10 04010 040元元 2.2.如图如图,y,y1 1反映了某公司产品的销售收入与销售量之反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系间的关系,y,y2 2反映了该公司产品的销售成本与销售量反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系之间的关系, ,根据图象填空根据图象填空: :x x / t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 860001000100020002000300030004000400050005000(1)(1)当销售量为当销售量为2 2 t t时时, ,销售收入销售收入=_=_元元, ,销售成本销售成本=_=_元元. .(2)(2)当销售量为当销售量为6 6 t t时时, ,销售收入销售收入=_=_元元, ,销销售成本售成本=_=_元元; ;y y1 1y y2 2y y /元元2 0002 0003 0003 0005 0005 0006 0006 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 860001000100020002000300030004000400050005000(3)(3)当销售量等于当销售量等于_时时, ,销售收入等于销售成本销售收入等于销售成本; ;(4)(4)当销售量当销售量_时时, ,该公司赢利该公司赢利( (收入大于成本收入大于成本););当销售量当销售量_时时, ,该公司亏损该公司亏损( (收入小于成本收入小于成本).).y y1 1y y2 2y y1 1对应的函数表达式是对应的函数表达式是_y y2 2对应的函数表达式是对应的函数表达式是_4 t4 t大于大于4 t4 t小于小于4 t4 ty y1 1=1 000x=1 000xy y2 2=500x+2 000=500x+2 000y/元x x / t1. 1. （莱芜（莱芜中考）如图，过点中考）如图，过点Q Q（0 0，3.53.5）的一次函数的图象与正比例函数的一次函数的图象与正比例函数y y2x2x的图的图象相交于点象相交于点P P，能表示这个一次函数图象的，能表示这个一次函数图象的方程是（方程是（ ）A A3x3x2y2y3.53.50 B0 B3x3x2y2y3.53.50 0 C C3x3x2y2y7 70 D0 D3x3x2y2y7 70 0【解析解析】选选D.D.设一次函数的关系式为设一次函数的关系式为y=kx+by=kx+b，又因为过，又因为过Q Q（0 0，3.53.5），），P P（1 1，2 2）两点，代入得）两点，代入得y=y=1.5x+3.51.5x+3.5，整理得整理得3x3x2y2y7 70.0.2.2.（安徽（安徽中考）甲、乙两人准备在一段长为中考）甲、乙两人准备在一段长为1 200 m1 200 m的笔的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s4 m/s和和6 m/s6 m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面，起跑前乙在起点，甲在乙前面100 m100 m处，若同时起处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离两人之间的距离y(m)y(m)与时间与时间t(s)t(s)的函数图象是（的函数图象是（ ）【解析解析】选选C.C.设乙追上甲用设乙追上甲用x sx s，则，则6x-4x=100,x=50,6x-4x=100,x=50,乙跑完乙跑完全程用时全程用时12006=200(s). 12006=200(s). 3. 3. 一次函数一次函数y= x+4y= x+4分别交分别交x x轴，轴，y y轴于轴于A A，B B两点，在两点，在x x轴上取轴上取一点一点C C，使，使ABCABC为等腰三角形，则这样的点为等腰三角形，则这样的点C C有几个有几个? ? 【解析解析】在在ABCABC中，使中，使ABCABC为等腰三角形有为等腰三角形有AB=AC=AB=AC=时，时，C C点的坐标有（点的坐标有（4 4 ，0 0），（），（ 4 4 ，0 0）. .当当AB=BCAB=BC时，时，C C点的坐标有（点的坐标有（4 4，0 0）；当）；当AC=BCAC=BC时，时，C C点的坐标点的坐标有（有（0 0，0 0），故有），故有4 4个个. . 4.4.（衢州（衢州中考）小刚上午中考）小刚上午7 7：3030从家里出发步行上学，途从家里出发步行上学，途经少年宫时走了经少年宫时走了1 2001 200步，用时步，用时10 min10 min，到达学校的时间是，到达学校的时间是7 7：5555为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完跑道上，按上学的步行速度，走完100 m100 m用了用了150150步步(1)(1)小刚上学步行的平均速度是多少小刚上学步行的平均速度是多少m/minm/min？小刚家和少年？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少m m？(2)(2)下午下午4 4：0000，小刚从学校出发，以，小刚从学校出发，以45 m/min45 m/min的速度行走，的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫按上学时的原路回家，在未到少年宫300 m300 m处与同伴玩了半处与同伴玩了半小时后，赶紧以小时后，赶紧以110 m/min110 m/min的速度回家，中途没有再停留的速度回家，中途没有再停留问：问：小刚到家的时间是下午几时？小刚到家的时间是下午几时？小刚回家过程中，离家的路程小刚回家过程中，离家的路程s s(m)(m)与时间与时间t t(min)(min)之间的函之间的函数关系如图，请写出点数关系如图，请写出点B B的坐标，并求出线段的坐标，并求出线段CDCD所在直线的所在直线的函数关系式函数关系式【解解析析】(1)(1)小刚每分钟走小刚每分钟走120010=120(120010=120(步步) )，每步是，每步是100150= (m)100150= (m)，所以小刚上学的步行速度是，所以小刚上学的步行速度是80 m/min80 m/min小刚家和少年宫之间的路程是小刚家和少年宫之间的路程是8010=800(m)8010=800(m)少年宫和学少年宫和学校之间的路程是校之间的路程是80(25-10)=1 200(m)80(25-10)=1 200(m)(2)(2) (min)(min)，所以小刚到家的，所以小刚到家的时间是下午时间是下午5 5：0000小刚从学校出发，以小刚从学校出发，以45 m/min45 m/min的速度行走到离少年宫的速度行走到离少年宫300 m300 m处时实际走了处时实际走了900 m900 m，用时，用时 minmin，此时小刚离家，此时小刚离家1 100m1 100m，所以点所以点B B的坐标是（的坐标是（2020，1 1001 100）线段）线段CDCD表示小刚与同表示小刚与同伴玩了伴玩了3030 minmin后，回家的这个时间段中离家的路程后，回家的这个时间段中离家的路程s(m)s(m)与与行走时间行走时间t(min)t(min)之间的函数关系，由路程与时间的关系得之间的函数关系，由路程与时间的关系得 即线段即线段CDCD所在直线的函数关系式是所在直线的函数关系式是 通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：1.1.通过函数图象获取信息，发展形象思维通过函数图象获取信息，发展形象思维. .2.2.利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学的利用函数图象解决简单的实际问题，发展数学的应用能力应用能力. .天才天才=1=1的灵感的灵感+99+99的血汗的血汗. . 爱迪生爱迪生