第三课时利用导数证明不等式专题第三课时利用导数证明不等式专题利用导数证明不等式是近几年高考的热点问题利用导数证明不等式是近几年高考的热点问题, ,主要体现在压轴主要体现在压轴题中的一问题中的一问, ,难度较大难度较大, ,分值约占分值约占6 68 8分分. .一般是把不等式问题转一般是把不等式问题转化成函数的最值问题进行解决化成函数的最值问题进行解决. .涉及的主要数学思想是转化与化涉及的主要数学思想是转化与化归思想、分类讨论思想及函数与方程思想归思想、分类讨论思想及函数与方程思想. .专题概述专题概述直接将不等式转化成函数最值问题直接将不等式转化成函数最值问题方法一方法一【例【例1 1】 (2015(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)设函数设函数f(xf(x)=e)=e2x2x-aln x.-aln x.(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的导函数的导函数f(xf(x) )零点的个数零点的个数; ;反思归纳反思归纳 将不等式转化为函数最值来证明不等式将不等式转化为函数最值来证明不等式, ,其主要思想其主要思想是依据函数在固定区间的单调性是依据函数在固定区间的单调性, ,直接求得函数的最值直接求得函数的最值, ,然后由然后由f(x)f(x)f(x)f(x)maxmax或或f(x)f(x)f(x)f(x)minmin直接证得不等式直接证得不等式. . 将不等式转化为两个函数的最值进行比较证明将不等式转化为两个函数的最值进行比较证明方法二方法二【例【例2 2】 已知已知f(x)=xln x,g(xf(x)=xln x,g(x)=-x)=-x2 2+ax-3.+ax-3.(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )在在t,t+2(t0)t,t+2(t0)上的最小值上的最小值; ;(2)(2)对一切对一切x(0,+),2f(x)g(x)x(0,+),2f(x)g(x)恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围; ;(3)(3)是否存在正实数是否存在正实数a,a,使使f(xf(x) )的最小值是的最小值是3?3?若存在若存在, ,求出求出a a的值的值; ;若不存若不存在在, ,请说明理由请说明理由. .构造函数把不等式转化为最值构造函数把不等式转化为最值方法三方法三(2)(2)证明证明: :当当x1x1时时,f(x,f(x)x-1;)1,1,当当x(1,xx(1,x0 0) )时时, ,恒有恒有f(xf(x)k(x-1).)k(x-1).反思归纳反思归纳 在证明不等式时在证明不等式时, ,将不等式合理转化将不等式合理转化, ,如移项、提取公如移项、提取公因式后因式后, ,将式子的整体或部分构造成新的函数将式子的整体或部分构造成新的函数, ,然后再利用导数求得最然后再利用导数求得最值值, ,进行证明进行证明, ,如本题要证如本题要证f(xf(x)k(x-1),)k(x-1),转化为转化为F(xF(x)=f(x)-k(x-1)=f(x)-k(x-1)进行进行证明求解证明求解. .(2)(2)求证求证:f(x)g(x)(x:f(x)g(x)(x0).0).