学习必备欢迎下载课题4.9 三角函数的最值1 基础知识（1）配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问 题 ， 如 求 函 数2s i ns i n1yxx的 最 值 ， 可 转 化 为 求 函 数21 ,1 , 1yttt上的最值问题。（2）化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：22sinsin()axbcoxabx如函数12sinyxcox的最大值是（）A212 B.212 C.212 D.212应选 B （3）数形结合常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin2xycox的最大值和最小值。函数sin2xycox的几何意义为两点( 2,0),(cos ,sin)PQxx连线的斜率k，而 Q点的轨迹为单位圆，由图可知maxmin33,33yy（4）换元法求最值利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。例如：设实数yx,满足, 122yx则yx43的最大值为 _. 解：由, 122yx可设sin,cosyx则)sin(5sin4cos343yx，则其最大值为5。2 重点难点 : 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。3 思维方式（1）认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。（2）根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。（3）在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。4 特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、 余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载二、题型剖析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例 1：P(66) 函数 Y=acosx+b (a.b 为常数 ),若71y,求 bsinx +acosx 的最大值 .练习 : 求函数2sin3sincos1yxxx的最值，并求取得最值时的x值。解：33(1cos2 )sin 2122yxx=3111sin 2cos2sin(2)22262xxx当22,62xk即()3xkkZ时，y取得最大值，max12y当22,62xk即()6xkkZ时，y取得最小值，m x32iy。思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 P(66) .2sincotsin2cot的最值求函数xxxxy解:8741cos2cossin2sincossinsincos12xxxxxxxxy时当41cos1cos0sinxxx,y 有最小值87, 无最大值 . 练习 : 是否存在实数a，使得函数2385cossin2axaxy在闭区间2,0上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。解：2185421cos22aaaxy当20x时，1cos0x，令xtcos则10t，,218542122aaaty10t)(423121854,2cos2,20, 12012max舍或时即则当时即aaaayaxataa)(51212185,0cos0,0, 022max舍时即则当时即aayxtaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载)(132012385,1cos1,2, 123max舍时即则当时即aaayxtaa综上知，存在23a符合题意。思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。3、换元法解决xxxxcossin,cossin同时出现的题型。例 3：求函数xxycos34sin34的最小值。解：xxxxycossin9cossin1216令2.2,4sin2cossintxxxt，则21cossin2txx273429219121622ttty，2.2t所以当34t时，27miny 思维点拨 ：遇到xxcossin与xxcossin相关的问题，常采用换元法，但要注意sincosxx的取值范围是2,2，以保证函数间的等价转化。4、图象法，解决形如dxbcxaycossin型的函数。例 4、P(66) 求函数2sin2cosxyx的最大值和最小值.。思维点拨： 此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。例 5、设2,0x，若方程ax)32sin(3有两解，求a的取值范围。解：设ayxy),32sin(3，要使两函数图象有交点（如图），则3233a。x O 62333 23ay65y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载 思维点拨 ：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则a的范围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。三、课堂小结（1）求三角函数最值的方法有：配方法，化为一个角的三角函数，数形结合法换元法，基本不等式法。（2）三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。（3）求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。（4）含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。四、作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页