学习必备欢迎下载 7 2 可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x 的通解为此把方程两边积分得y x2C一般地方程 yf(x)的通解为Cdxxfy)(此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解因为 y 是未知的所以积分dxxy22无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为xdxdyy212两边积分得Cxy21或Cxy21可以验证函数Cxy21是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(x, y)能写成g(y)dy f(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y) F(x) C由方程 G(y) F(x) C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(x y)dx Q(x y)dy 0 在这种方程中变量 x 与 y 是对称的若把 x 看作自变量、y 看作未知函数则当 Q(x,y) 0 时有),(),(yxQyxPdxdy若把 y 看作自变量、 x 看作未知函数则当 P(x,y) 0 时有),(),(yxPyxQdydx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx (或写成 y(x)(y) 的形式就是说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy另一端只含x 的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y2xy是y1dy 2xdx(2)3x25x y0是dy (3x25x)dx(3)(x2y2)dx xydy=0不是(4)y1 x y2xy2是y(1 x)(1 y2)(5)y10x y是10ydy 10xdx(6)xyyxy不是可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx 的形式第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y) F(x) C第三步求出由 G(y) F(x) C 所确定的隐函数y(x)或 x(y) G(y) F(x) C y (x)或 x(y)都是方程的通解其中 G(y) F(x) C 称为隐式 (通 )解例 1 求微分方程xydxdy2的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得xdxdyy21两边积分得xdxdyy21即ln|y| x2C1从而2112xCCxeeey因为1Ce仍是任意常数把它记作 C便得所给方程的通解2xCey例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比已知 t 0 时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间 t 变化的规律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载解 铀的衰变速度就是M(t)对时间 t 的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程MdtdM其中( 0)是常数前的曲面号表示当t 增加时 M 单调减少即0dtdM由题意初始条件为M|t 0M0将方程分离变量得dtMdM两边积分得dtMdM)(即lnMt lnC也即 M Cet由初始条件得 M0Ce0C所以铀含量M(t)随时间 t 变化的规律M M0et例 3 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为F mg kv( k为比例系数 )根据牛顿第二运动定律F ma得函数 v(t)应满足的方程为kvmgdtdvm初始条件为v|t 00方程分离变量得mdtkvmgdv两边积分得mdtkvmgdv1)ln(1Cmtkvmgk即tmkCekmgv(keCkC1)将初始条件v|t 00 代入通解得kmgC于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1 (tmkekmgv例 4 求微分方程221xyyxdxdy的通解解 方程可化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载)1)(1 (2yxdxdy分离变量得dxxdyy)1(112两边积分得dxxdyy)1 (112即Cxxy221arctan于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy师生互动设计P304：1（1） （2） （3） （5） ，2（3）作业：P304： 1（4） （ 7） （8） （10） ，2（2） ，6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页