1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小定义定义1.5.1若若则称则称为为时的时的无穷小量无穷小量.若若则称则称为为时的时的无穷小量无穷小量.例如例如:(1).所以所以为为时的时的无穷小量无穷小量.所以所以为为时的时的无穷小量无穷小量.（1）无穷小量是一个变量）无穷小量是一个变量. 不要与很小的数混淆不要与很小的数混淆.注意注意极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。（2）无穷小量必须要指明相应的极限过程。）无穷小量必须要指明相应的极限过程。1无穷小的性质无穷小的性质: :有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.例如,常数与无穷小的乘积仍是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小.有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.性质性质2.性质性质3.推论推论.定理定理1.5.1无穷小与有界函数的积仍为无穷小无穷小与有界函数的积仍为无穷小.（证明见（证明见P 31）2定理定理 1.5.2 无穷小与无穷小与 极限的关系极限的关系3二、无穷大二、无穷大定义定义1.5.2记作记作: （1）两个无穷大的乘积是无穷大）两个无穷大的乘积是无穷大.若函数若函数f (x)在自变量的某变化过程中，相应的函数值在自变量的某变化过程中，相应的函数值的绝对值的绝对值| f (x)|可以无限地增大，则称函数可以无限地增大，则称函数f (x)在这个在这个变化过程中是无穷大量，简称无穷大。变化过程中是无穷大量，简称无穷大。 例例1. （2）无穷大与有界函数之和为无穷大）无穷大与有界函数之和为无穷大.无穷大的性质无穷大的性质: :4 （1）无穷大量是一个）无穷大量是一个变量变量,不要与很大的数混淆不要与很大的数混淆.注意注意 （2）无穷大量必须指明极限过程。）无穷大量必须指明极限过程。 （3）无穷大量与无穷小量的关系。）无穷大量与无穷小量的关系。 （4）两个无穷大之和未必是无穷大）两个无穷大之和未必是无穷大 （5）两个无穷大之差未必是无穷大）两个无穷大之差未必是无穷大 （6）两个无穷大之商未必是无穷大）两个无穷大之商未必是无穷大例如：例如：X 与与X 在在X趋于正无穷大时趋于正无穷大时例如：例如：X 与与1+X 在在X趋于正无穷大时趋于正无穷大时例如：例如：X 与与2X 在在X趋于正无穷大时趋于正无穷大时5定理定理 1.5.3 在自变量的同一变化过程中，在自变量的同一变化过程中，（1）若若f (x)为无穷大，则为无穷大，则 为无穷为无穷小小.（2）若若f (x)为无穷为无穷小小，且，且 f (x)0，则，则 为无穷为无穷大大. 由此可知无穷大也可定义如下：由此可知无穷大也可定义如下：若函数若函数 在自变量的某变化过程中在自变量的某变化过程中为无穷为无穷小小，则称函数则称函数 f (x) 在该变化过程中为无穷大。在该变化过程中为无穷大。6