个人收集整理仅供参考学习1 / 4 第十四讲数列概念及等差数列一、知识整合：1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；文档来自于网络搜索数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2） 通项公式的定义： 如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。文档来自于网络搜索例如，数列的通项公式是na= n（n7，nN） ，数列的通项公式是na= 1n（nN） 。说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 例如，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1， 1.4，1.41，1.414，文档来自于网络搜索（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n当自 变 量n从1 开 始 依 次 取 值 时 对 应 的 一 系 列 函 数 值(1),(2),(3),fff ，( )f n，通常用na来代替f n，其图象是一群孤立点。文档来自于网络搜索（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。文档来自于网络搜索（5）递推公式定义：如果已知数列na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。文档来自于网络搜索2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。文档来自于网络搜索（2）等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页个人收集整理仅供参考学习2 / 4 （3）等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。 其中2abAa，A，b成等差数列2abA。（4）等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad。二典例精析题型 1：数列的递推公式例 3如图 , 一粒子在区域( , ) |0,0x yxy上运动 , 在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B, 接着按图中箭头所示方向在x 轴、 y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。文档来自于网络搜索（1）设粒子从原点到达点nnnABC、时，所经过的时间分别为nnna 、b 、c， 试写出nnna 、b 、c的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004 秒后，它所处的坐标。题型 2：数列的应用例 2设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点 若用)(nf表示这n条直线交点的个数， 则)4(f=_； 当4n时，)(nf（用n表示） 。文档来自于网络搜索题型 3：等差数列的概念例 3设 Sn是数列 an的前 n 项和，且Sn=n2，则 an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型 4：等差数列通项公式例4设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa题型 5：等差数列的前n 项和公式例 5 （ 1）若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）文档来自于网络搜索A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项（2）设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页个人收集整理仅供参考学习3 / 4 （）A.1 B.2 C.4 D.6 （3）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若36SS13，则612SS（）A310B13C18D19例 6 （1）设 an为等差数列，Sn为数列 an的前n 项和，已知S77，S1575， Tn为数列nSn的前 n 项和，求Tn。文档来自于网络搜索（2）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+ +b10=100.，求数列 bn的通项bn；文档来自于网络搜索题型 7：等差数列的性质及变形公式例 7设 an （nN*）是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且S5S6，S6S7 S8，则下列结论错误的是（）文档来自于网络搜索A.d0 B.a70C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值三重点题型强化1、数列na中，411,2,31aaaaannn则2、如果数列na的前n项和NnnnSn12，则通项公式为na3、设na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是4、在等差数列na中，若5076543aaaaa，则82aa5、在等差数列na中，前n项和为 30，前n2项和为 100，则前n3项和为6、在等差数列na中，已知20091a，其前n项和为nS，若22007200920072009SS，则2009S7、设数列na的通项公式为Nnnan72，则1521aaa8、已知数列na的前n项和为23103nnSn。 （1）求通项na； （2）求nS的最大值；（3）求niia1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页个人收集整理仅供参考学习4 / 4 9、已知数列na的前n项和为pnn2，数列nb的前n项和为nn232。 （ 1）若1010ba， 求p的值；（ 2） 去数列nb的第 1 项， 第 3 项，项，第5构成一个新数列nC，求nC的通项公式。文档来自于网络搜索10、设等差数列na的前n项和为nS，已知0,0,1213123SSa. (1)求公差d的取值范围；（2）指出12321,SSSS中哪个的值最大，并说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页