1 概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1事件的关系ABABAABBABA2运算规则（1）BAABABBA（2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP（2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P（5）)(1)(APAP（6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA,独立)()()(BPAPABP（注意独立性的应用）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页2 第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（ 1）0ip， （2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（ 1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(； （3）对任意Ra，0)(aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pBpXP)1(，pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2, 1 ,0,)(，npnpqPoisson分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1,)(1kpqkXPkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(，2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24 分布函数)()(xXPxF，具有以下性质（1）1)(,0)(FF； （2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6） 对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数， 且在)(xf连续点上，)()(xfxF5 正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布) 1 , 0(N的分布函数，则有（1）5.0)0(； （2）)(1)(xx； （3）若),(2NX，则)()(xxF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页3 （4）以u记标准正态分布)1 ,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP6 随机变量的函数)(XgY（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（ 2 ）X连 续 ，)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 ， 且 有 一 阶 连 续 导 数 ， 则|)(|)()(11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时iiipxXE)(，iiipxgXgE)()(；(2) 连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()()(；(3) 二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(； （5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX ,独立时，)()()(YEXEXYE2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX ,独立时，)()()(YDXDYXD3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX ,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页4 4相关系数)()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY5k阶原点矩)(kkXE，k阶中心矩kkXEXE)(第五章大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式2)(|)(|XDXEXP或2)(1|)(|XDXEXP2大数定律3中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE， 则),(21nnNXnii近似， 或),(121nNXnnii近似或)0,1(1NnnXnii近似，（ 2） 设m是n次 独 立 重 复 试 验 中A发 生 的 次 数 ，pAP)(， 则 对 任 意x， 有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX，则),(npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(） ；样本方差niiXXnS122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(12统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(2222212nXXXn，其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1 , 0(N，若)(),(2212nYnX且独立，则)(212nnYX；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页5 （2）t分布)(/ntnYXt，其中)(),1 ,0(2nYNX且独立；（3）F分布),(/2121nnFnYnXF，其中)(),(2212nYnX且独立，有下面的性质),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布（1）)/,(2nNX；（2）)()(11222nXnii；（3）)1() 1(222nSn且与X独立；（4）)1(/ntnSXt；（5）)2()()(21212121nntnnnnSYXt，2) 1()1(212222112nnSnSnS（6）)1, 1(/2122222121nnFSSF第七章参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数； （2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （4）令导数或偏导数为 0， 解出极大似然估计 （如无解回到 （1）直接求最大值， 一般为 minix或 maxix）3估计量的评选原则(1)无偏性：若)?(E，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间2已知nxu/2nux2未知nsxt/)1(2nsntx2未知222)1(sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页6 复习资料一、填空题（15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】 （P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（ E）方差（ D）（ 01）分布01p1(1),0,1kkP Xkppkp(1)pp二项分布101np(1),0,1,kn knP Xkppkknnp(1)npp负二项分布101rp1(1)1,1,rkrkP Xkpprkr rrp2(1)rpp几何分布01p1(1)1,2,kPXkppk1p21pp超几何分布,()()N M aMNnN,max0,min ,MNMknkP XkNkknNMkn M为整数nMN11nMMNnNNN泊松分布0!0,1,2,keP Xkkk均匀分布ab1,axbba( )f x0,其他2ab2()12ba【相关例题】1、设( , )XU a b:，()2E X，1()3D Z，则求 a，b 的值。21( , ),()2,(),3()12,21231,3.XU a b E XD XabbaababQ:解：根据性质：解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页7 2、已知( ,),()0.5,()0.45Xb n pE XD X:,则求 n，p 的值。0.5,(1)0.450.1.npnppp解：由题意得：解得：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】 （P163）2/2,1-/XnXzn为已知 由枢轴量，得到的一个置信水平为的置信区间：【相关例题】1、（样本容量已知）1225( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体为样本 且则 的置信度的置信区间为：/20.0250.9550.18 1.964.6472,5.35285Xzzn解：代入公式得：2、（样本容量未知）123( ,1),0.9510.88,18.92.nXNXXXX:已知为样本容量 若关于的置信度的置信区间，求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解：由题意知：样本长度为，则有：代入数据，得：题型三：方差的性质【相关公式】 （P103）21( )0,2()(),()()3,()()( )D CCD CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。， 为常数。相互独立【相关例题】1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNXXD XX:已知，两变量，且相互独立求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 44 页8 1221212(2,4),(0,9)()1(2)()4()4936123XUXbaD XXD XD XQ:解：题型四：2t分布、分布的定义【相关公式】 （P140、P138）21232222122221(0,1),( ),/.2,(0,1),.nnXYnX YXtYnnttt nXXXXNXXXnn:设且相互独立，则称随机变量服从自由度为的 分布，记为设是来自总体的样本 则称统计量服从自由度为的分布 记为【相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YYn:若且相互独立？(4)/XtYn:答：2、302123301,0,1 ,?iiXXXXNX:若变量服从则30221(30).iiX:答：题型五：互不相容问题【相关公式】 （P4）,ABAB若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题】1、()0.6,().P AA BP AB若互不相容求,()( ()()( )0.6A BABP ABP A SBP AABP AQ解：互不相容二、选择题（15 分）题型一：方差的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页9 【相关公式】 （见上，略）【相关例题】 （见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】(0,2),(3,9), ?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2 ,01xx设( )Xfx0,其他已知,P XaP Xaa则求 。2011212|02022aP XaP XaP XaaxdxxaaQ解：由题意，得：即有：又三、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】?全概率公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页10 n1122SP()=|()|()()(|)( )=()(|) ( )(|).innESAEBAP A BP BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实验的样本空间为， 为 的事件， B，B，B为 的划分，且0,则有：P? 其中有：。特别地：当 n 2时，有：?贝叶斯公式：i100(1,2, ),()(|)()(|)( )(|) ()=()(|) ( )(|)()(|) ( )(|) ()iiiiniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验的样本空间为。 为 的事件 ,B ，B，B 为S的一个划分，且 P，则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供原件的份额1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页11 11223311121=(1,2,3).1()(|)()(|)()(|)()0.020.150.010.800.030.050.0125(2)(|)()0.020.15(|)0.24()0.0125(|ABiiBP AP ABP BP A BP BP A BP BP A BP BP BAP AP BA解：设取到一只次品，在 厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有：由贝叶斯公式有：22333(|)()0.010.80)0.64()0.0125(|) ()0.030.05(|)0.12( )0.0125P A BP BP AP A BP BP BAP A答：综上可得，次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有m 枚正品硬币，n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？=B=rP|,1=,(),(|),(|)1.21()(|)()2|.1()(|)()(|)()2rrrAA BmnP AP AP B AP B AmnmnmP ABP B A P AmnP A BmnP BP B A P AP B A P Amnmn解：设所抛掷的硬币是正品，抛掷 次都得到国徽，本题即求得：即有：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏 2%（这一事件记为A1） ，损坏 10% （这一事件记为A2） ，损坏 90% （这一事件记为A3） ，且知 P （A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3 件，发现这三件都是好的（这一事件记为B） ，123(|),(|),(|)()P AB P AB P AB试求这里物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 44 页12 333123123112233333111(|)0.98 , (|)0.9 ,(|)0.1()0.8, ()0.15, ()0.05()(|) ()(|) ()(|) ()0.980.80.90.150.10.050.8624(|) ()0.983 0.8(|)0( )0.8624P B AP B AP B AP AP AP AP BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P AP ABP B解：由题意可知：23.8731(|)0.1268(|)0.0001P ABP AB4、将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出其他字母的概率都是（1-） /2.今将字母串AAAA 、 BBBB 、CCCC 之一输入信道， 输入 AAAA 、 BBBB 、 CCCC的概率分别为p1、p2、p3（p1+p2+p3=1 ） ，已知输出为ABCA 。问输入AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。）2233331232212231=AAAA=CCCC=ABCA|.()(|) ( )(|) ( )(|) ( )111()()()2221()()(|)( )2(|)11()()()()22ABBBBBCDP A DP DP D A P AP D B P BP D C P CppppP ADP D A P AP A DP DP Dp解：设输入为， = 输入为，输入为，输出为，依题意求3231111123111()2111(31)1()()(1)222pppppapppppp题型二： 1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】 已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度f(x) 求分布函数抓住公式：( )1f x dx， 且对于任意实数， 有：212211()()( )xP xXxF xF xf x dxx。【相关例题】（1）设随机变量X 的分布函数为：0,1xFX（X）= ln,1xxe1,xe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 44 页13 5(2)(03)(2)2P XPXPX求、( ).xfx求概率密度（见下）(1) (2)(2)ln 2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXP XP XPXFFPXFFdFXdxx解：1,1xex( )xfx0,其他（2）2( )()1Af xxx，是确定常数A。200+1-1+(arctanarctan11AdxxAxxA解：由相关性质得：解得：（3）,036xx设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342xx，求 X 的分布函数。0,其他解：0，x0 ,030 6xxdxx2,0312xx3 622,3403xxxx232,344xxx1,4x2、正态分布 (高斯分布 ) ( )F x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 44 页14 【相关公式】（1）公式22()21( )()2xf xex其中：,为常数，则称X服从参数为的正态分布。（2）若2=(0,1).xX NZN，则（3）相关概率运算公式：122112();()();( )1().XxxP XxPxxxxXP xXxPxx【相关例题】1、（ P58 27）某地区18 岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）服从N（110,122） ，在该地任选一名18 岁女青年，测量她的血压X，求：（1）105,100120;P XPX（2）确定最小的,0.05xP Xx使2(1)(110,12 )110105 1105105()1(0.42)10.66280.3372;121212100 110110120 110101010100120()()2()10.5934121212121212110110(2) 111212XNXP XPXPXPXxP XxP XxPQB解：min1101()0.0512110()0.95(1.65)121101.65129.812129.8xxxxxB即有：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数10.05,0.06的正态分布，规定长度在范围10.05 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。（见下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44 页15 .9.93 10.0510.0510.17 10.0510.05()( 22)2(2)10.95440.060.060.060.06( )1( )10.95440.0456AP AXXP APPP AP A解：设一螺栓合格 ，本题求题型三：二维随机变量的题型【相关公式】+1( , )=( , )1-2( , )( )( )3(1):()( )( )()1(2):( )( )( )(3):( )XYxyXYXYXYXYYXf x y dxdyf x y dx dyf x yfxfyZXYfffzy fy dyfx fzx dxzZXYfzfx fdxxxYZfzX、二维随机变量的求法：、联合概率密度求法 :、随机变量的函数分布：( )()XYx fx fxz dx【注意点】讨论 x,y 取值范围。【相关例题】1、（ P84 3）设随机变量（X,Y ）的概率密度为：(6),02,24kxyxy( , )f x y0,其他(1).(2)X1,Y3.(3)X1.5.(4)4.kPPP XY确定常数求求求（见下）y x 0 4 4 2 y=4-x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页16 22042441(6)6|10212022218311326208841.5127(3)6208324412(4)62083xkxy dx dykxxydyky dyxy dx dyxy dx dyyxy dx dy解：解得:k=由题意即求：由题意即求：由题意即求 ( 如图)：2、（ P86 18）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（ 0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为：21,02yey( )Yfy0,其他12XY.XYP求和 的联合概率密度.求X解：由题意的：的概率密度如下：1,0x1 XfX0,其他2222121( , ),01,02( , )0,(2)111112|00022221yyyyxf x yexyf x yyedy dxeddxedxxxe其他由题意 , 即求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 44 页17 3、（ P87 25）设随机变量X，Y 相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为1,1xex( )f x0，其他求 Z=X+Y 的概率密度。1122( , )( )()001(2).(2)1xxzXYXYzzfx yfx fzx dxeedxzedxezx解：4、（ P87 26）设随机变量X,Y 相互独立，它们的概率密度为,0xex( )f x0，其他求 Z=Y/X 的概率密度。00(1)20000,0.0()()( )()( )()1.10()0.xzxxzxzxXZxYf Zfx fX x fY zx dxx fX x fY zx dxXxeedxxe edxxedxzxf ZZ解：由题意知:当时，当时,综上所述，的概率密度为：21,01zz( )Zfz0,0z题型四：最大似然估计的求解【相关公式】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 44 页18 (1)( )0ln( )0220ln0(1,2,3, )iiddLLddiiLLik当只有一个变量的时候，有：或；当未知变量有 的时候，有：或【相关例题 】1、设概率密度为：,01xex( )f x0,其他求 的最大似然估计.$1111( )expln( )ln( )1( )0=.nnxniiiniiniinLexlLnxdnlxddldx解：令，即有：2、（ P174 8）123,nXXXX设,? 是来自概率密度为：1,01xx( ;)f x0,其他的总体的样本，未知，求的最大似然估计。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 44 页19 $1111111( )( )ln( )ln1 lnln ( )lnln ( )=0=lnnnniiiniiniiniiLxxlLnxdnlxddldnx解：令，得：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式 】000/202220221201/(2)(1)/(1)/21(1)1:(1)XZnXtt nsnXttnsnHnSnnSn:1、正态总体均值的假设检验标准差已知（ Z检验法）：标准差未知（ t 检验法） :拒绝域为：、正态总体方差的假设检验当为真时，有：拒绝域为【相关例题 】1、（ P218 3）某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在=0.01 下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为3.25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 44 页20 0120=0.013.25:3.253.252=0.013-3.2523.250.3442/0.013 /5:(1)0.005(4)4.6061, 4.6061(4.6061,)0.34424.6061=0.01HxHxxSXtSnttnttHBQ00解：在显著性水平下检验问题：检验统计量，=3.25,n=5 。代入数据，得观察值：=拒绝域为即：接受在3.25.的情况下可以接受假设，这批矿砂的镍含量均值为2、 （ P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0.005，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著偏大？0122222210.050=0.050.0050.0050.007,9,0.005(1)80.00715.680.005:(1)(8)15.50715.6815.507=0.05HHsnnStnHQ解：在显著水平下检验问题：检验统计量：代入数据，得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一一、填空题（每空3 分，共 45 分）1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A|B) = P( A B) = 2、设事件A 与 B 独立， A 与 B 都不发生的概率为19， A 发生且 B 不发生的概率与B发生且 A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6 个同学，求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 44 页21 4、 已知随机变量X 的密度函数为：,0( )1/ 4,020,2xAexxxx, 则常数 A= , 分布函数F(x)= , 概率 0.51 PX；5、设随机变量X B(2 ，p)、Y B(1 ，p)，若15/ 9P X，则 p = ，若 X 与 Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设(200,0.01),(4),XBYP且 X 与 Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,XXXL是总体(0,1)XN的简单随机样本，则当k时，12222345() (3)k XXYtXXX；8、设总体(0, )0XU为未知参数，12,nXXXL为其样本，11niiXXn为样本均值，则的矩估计量为：。9、设样本129,XXXL来自正态总体( ,1.44)N a，计算得样本观察值10x，求参数a的置信度为95% 的置信区间：；二、计算题（35 分）1、 (12 分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02( )20,xxx其它求： 1）| 21|2PX；2）2YX的密度函数( )Yy；3）(21)EX；2、(12 分)设随机变量 (X,Y)的密度函数为1/ 4,|,02,( , )0,yxxx y其他1） 求边缘密度函数( ),( )XYxy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 44 页22 2） 问 X 与 Y 是否独立？是否相关？3） 计算 Z = X + Y的密度函数( )Zz；3、 （11 分）设总体X 的概率密度函数为：1,0( ),000xexxxX1,X2,Xn是取自总体X 的简单随机样本。1）求参数的极大似然估计量?；2）验证估计量?是否是参数的无偏估计量。三、应用题（20 分）1、 （10 分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ，1/5 ，1/10和 2/5 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 ，1/3 ，1/2 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？2 （10 分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.530 ， 0.542 ， 0.510 ， 0.495 ， 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)？附表：模拟试题二一、填空题 (45 分，每空3 分) 1设( )0.5,(|)0.6,()0.1,P AP BAP AB则( )P B()P AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 44 页23 2 设,A B C三事件相互独立，且()()()P AP BP C，若37()64P ABC，则()P A。3设一批产品有12 件，其中 2 件次品， 10 件正品，现从这批产品中任取3 件，若用X表示取出的3 件产品中的次品件数，则X的分布律为。4设连续型随机变量X的分布函数为( )arctan( ),F xABxxR则( ,)A B，X的密度函数( )x。5设随机变量 2,2XU，则随机变量112YX的密度函数( )Yy6设,X Y的分布律分别为X-1 0 1 Y0 1 P1/4 1/2 1/4 P1/2 1/2 且00P XY，则(,)X Y的联合分布律为。和1 P XY7 设(,) (0,25;0,36;0.4)X YN， 则cov(,)X Y，1(31)2DXY。8设1234(,)XXXX是总体(0,4)N的样本，则当a，b时，统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从自由度为2 的2分布。9 设12(,)nXXXK是 总 体2( ,)N a的 样 本 ， 则 当 常 数k时 ，221?()niikXX是参数2的无偏估计量。10 设由来自总体2( ,0.9 )XN a容量为9 的样本，得样本均值x=5 ，则参数a的置信度为 0.95 的置信区间为。二、计算题 (27 分) 1(15 分)设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 44 页24 1(),02,02( , )80,xyxyx y其它（1）求XY与的边缘密度函数( ),( )XYxy；（2）判断XY与是否独立？为什么？（3）求ZXY的密度函数( )Zz。2(12 分)设总体X的密度函数为(),( )0,xexxx其中0是未知参数，12(,)nXXXK为总体X的样本，求（1）参数的矩估计量1?；（2）的极大似然估计量2?。三、应用题与证明题(28 分) 1(12 分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3 件正品和3 件次品，乙箱中仅有 3 件正品，从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后，（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3 件产品中恰有 2 件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36 位考生的成绩，算得平均成绩66.5x分，标准差15s %分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分，并给出检验过程。3(8 分)设0()1P A，证明：AB与相互独立(|)(|)P BAP BA。附表：0.950.9750.950.951.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 44 页25 模拟试题三一、填空题（每题3 分，共 42 分）1设()0.3,()0.8,P AP AB若AB与互斥，则( )P B；AB与独立，则()P B；若AB，则()P AB。2在电路中电压超过额定值的概率为1p，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为；3设随机变量X的密度为34,01( )0,xxx其它，则使P XaP Xa成立的常数a；0.51.5PX；4如果(,)X Y的联合分布律为Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 则,应 满 足 的 条 件 是01,01,1/ 3， 若XY与独 立 ，(31)E XY。5设( ,)XB n p，且2.4,1.44,EXDX则n，p。6设2( ,)XN a，则32XY服从的分布为。7测量铝的比重16 次，得2.705,0.029xs， 设测量结果服从正态分布2( ,)N a，参数2,a未知，则铝的比重a的置信度为95% 的置信区间为。二、 （12 分）设连续型随机变量X 的密度为：,0( )0,0xcexxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 44 页26 （1）求常数c；（2）求分布函数( )F x；（3）求21YX的密度( )Yy三、 （15 分）设二维连续型随机变量(,)X Y的联合密度为,01,0( , )0,cxyxx y其它（ 1）求常数c；（2）求XY与的边缘密度( ),( )XYxy；（ 3）问XY与是否独立？为什么？（ 4）求ZXY的密度( )Zz；（5）求(23 )DXY。（2） 参数的极大似然估计量2?；五、 （10 分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1 ，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1 ，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。六、 （10 分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2( ,)N a，得到的10个测定值给出0.452,0.037xs %，试问可否认为水份含量的方差20.04？四、 （11 分）设总体X 的密度为(1),01( )0,xxx其它其中1是未知参数，1(,)nXXK是来自总体X 的一个样本，求（1）参数的矩估计量1?；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 44 页27 （0.05）22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,模拟试题四一、填空题（每题3 分，共 42 分）1、设A、B为随机事件，()0.8P B，()0.2P BA，则A与B中至少有一个不发生的概率为；当AB与独立时，则()P B AB2、椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：孩子得病P= 0.6 ，孩子得病母亲得病P=0.5 ，孩子得病母亲及父亲得病P=0.4 ，那么一个三口之家患这种传染病的概率为。3 、 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为 ：,.)2, 1 ,0(!3)(kkakXPk， 则a=_)1(XP。4、若连续型随机变量X的分布函数为3, 133,3arcsin3,0)(xxxBAxxF则常数A，B，密度函数)(x5 、 已 知 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 为22181( ),8xxf xex， 则)14( XE，2EX。21XP。6 、设X3 , 1U，Y)2(P，且X与Y独立 ，则附表：22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 44 页28 )3(YXD)= 。7 、设随机变量YX ,相互独立，同服从参数为分布)0(的指数分布，令YXVYXU2,2的 相 关 系 数 。 则),(VUCOV, VU ,。（注：6915.0)5.0(,8143.0)1(）二、计算题（ 34 分）1、 （18 分）设连续型随机变量)(YX，的密度函数为,01,01( , )0,xyxyx y其他（1）求边缘密度函数)(),(yxYX；（2）判断X与Y的独立性；（3）计算cov(,)X Y；（3）求),max(YXZ的密度函数)(zZ2 、 （ 16分 ） 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ， 且 同 分 布 于)10)(, 1(ppB。 令1,0XYZXY若为偶数，若为奇数。（1）求Z的分布律；（2）求)(ZX，的联合分布律；（3）问p取何值时X与Z独立？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 44 页29 三、应用题（24 分）1、 （12 分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2 。若一周5 个工作日内无故障则可获10 万元；若仅有 1 天故障则仍可获利5 万元；若仅有两天发生故障可获利0 万元；若有3 天或 3 天以上出现故障将亏损2 万元。求一周内的期望利润。2、 （12 分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1 。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5 ，0.4， 0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。答案（模拟试题一）四、填空题（每空3 分，共 45 分）1、0.8286 ， 0.988 ；2、2/3 ；3、14212661112C C，61266!12C；4、1/2 , F(x)= 1,021, 02241,2xexxxx，0.51 PX0.53142e；5、p = 1/3， Z=max(X,Y)的分布律：Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27 ；6、D(2X-3Y)= 43.92, COV(2X-3Y, X)= 3.96 ； 7、当k32时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 44 页30 12222345() (3)k XXYtXXX；8、的矩估计量为：2X。 9、9.216 ，10.784；五、计算题（35 分）1、解1）9| 21|20.51.516PXPX2）1()(),02( )0,01,0440,XXYyyyyyyy其它3）45(21)212133EXEX2、解： 1）1,02,02( )( , )420,0,xXxxdyxxxx y dy其它其它2| |11,| 2(2|),|24( )( , )40,0,yYdxyyyyx y dx其它其它2）显然，( , )( )( )XYx yxy，所以 X 与 Y 不独立。又因为 EY=0 ，EXY=0 ，所以， COV(X,Y)=0，因此 X 与 Y 不相关。3）22( )( ,)11,04,044280,0,Zzzx zx dxzdxzz其它其它3、解 1）112111(, )niiixxnnniL x xxeeL12ln(, )lnnnxL xxxnL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 44 页31 令2ln0dLnnxd解出：?X2）?EEXEXQ?是的无偏估计量。六、应用题（20 分）1 解：设事件 A1 ，A2，A3 ，A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于 3/10 ，1/5 ，1/10 和 2/5 ，事件 B 表示“迟到” ，已知概率|,1,2,3,4iP B Ai分别等于1/4 ，1/3 ，1/2 ，0 则41)()(|)iiiP BP A P B A23120111() (|)9(|)( )23P A P BAP ABP B，222()(|)8(|)()23P AP BAP ABP B333()(|)6(|)()23P AP BAP ABP B，444() (|)(|)0()P AP BAP ABP B由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解：0:0.5Ha（） ，1:0.5Ha拒绝域为：00.950.55(4)xts计算0.5184,0.018xs0.950.552.2857(4)xtts，所以，拒绝0H，说明有害物质含量超过了规定。答案（模拟试题二）一、填空题 (45 分，每空3 分) 1()0.4,()0.4P BP AB21( )4P A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 44 页32 3X0 1 2 P6/11 9/22 1/22 41 1(,)(,)2A B，21( ),(1)xxRx51,0, 2( )20,0, 2Yyyy6YX0 1 -1 0 1 1/4 0 01/2 1/4 0 31 4P XY71cov(, )12,(31)1982X YDXY811,20100ab；911kn；10. (4.412, 5.588)二、计算题 (27 分) 1 （1）11(1),0, 2(1),0, 2( ),( )440,0, 20,0, 2XYxxyyxyxy（2）不独立（3）21,0281( )(4),2480,Zzzzzzz其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 44 页33 2 （1）计算()1xEXxedx根据矩估计思想，1xEX解出：1?1X；（2）似然函数()11,(, )0,0,inxnxniiinexexL xxK其它其它显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x，所以(1)xee，即11(1)(,)(,)nnL xxL xxxKK所以，当2(1)1?min(,)nXXXK时，使得似然函数达最大。极大似然估计为2?。三、 1解：（1）设iA表示“第一次从甲箱中任取3 件，其中恰有i 件次品”， （i=0,1,2,3 ）设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；3211231113333333123313131166666661()() (|)04niiiCC CC CCCCCP BP A P B ACCCCCCC（2）22()(|)0.6( )P A BP ABP B2 解：0:70Ha（），1:70Ha拒绝域为：00.97570|36(35)xts %根据条件66.5x，15s %，计算并比较0.97570361.4(35)2.0301xts %所以，接受0H，可以认为平均成绩为70 分。3(8 分 )证明：因为(|)(|)P BAP BA()()()()P AB P AP AB P A()1()( )()( )P ABP AP BP AB P A()( ) ()P ABP B P AAB与相互独立答案（模拟试题三）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 44 页34 一、填空题（每题3 分，共 42 分）10.5 ； 2/7 ； 0.5 。21p2p； 3412；0.51.5PX15/16 ；401,01,1/ 3，2/9 ，1/9 ，17/3 。5n6 ，p0.4 。623(,)24aN。7(2.6895, 2.7205) 。二、解：（ 1）0( )11xx dxce dxc（2）00,0( )( )1,0xxtxxF xt dte dtex（3）Y 的分布函数1( )212YyFyPXyP X11220,11,10,10,1yyxe dxyeyyy121,1( )20,1yYeyyy三、解：（ 1）1001( , )2xcx y dxdycdydx，2c（ 2）022 ,01( )( ,)0,xXdyxxxx y dy其它122(1),01( )( , )0,yYdyyyyx y dx其它（3）XY与不独立；（4）/21/22,01( )( ,)22,120,zzXYzdyzzzx zx dxdyzz其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 44 页35 （5）1122300212,232EXx dxEXx dx112200112 (1),2(1)36EYyy dyEYyy dx22121111( ),( )23186318DXDY10012,4xEXYxydydx12 11cov(,)43 336X YEXYEXEY7(23 )492cov(2,3)18DXYDXDYXY四、解：（1）101(1),2EXxx dx令EXx，即12x解得121?1XX。（2）11( )(, )(1) () ,01,1,2,.,nnniiiiiLxxxin1ln( )ln(1)lnniiLnx，1ln( )ln01niiLnx解得21?1lnniinX五、解：设1A= 某机床为车床，19()15P A；2A= 某机床为钻床，21()5P A；3A= 某机床为磨床，32()15P A；4A= 某机床为刨床，41()15P A；B = 需要修理 ，11(|)7P BA，22(|)7P B A，33(|)7P B A，41(|)7P BA则4122( )()(|)105iiiP BP A P B A111() (|)9(|)( )22P A P BAP ABP B。六、解：2201:0.04,:0.04HH拒绝域为：22/ 21/22200(1)(1)(1)(1)nSnSnn%或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 44 页36 计算得220(1)(91) 0.0370.27380.04ns %，查表得20.025(9)2.70.2738样本值落入拒绝域内，因此拒绝0H。22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,答 案（模拟试题四）一、填空题（每题3 分，共 42 分）1、 0.4；0.8421 。2、0.12。3、3e，34e。4、1/ 2，1/，其他, 033,91)(2xxx。5、 3，5 ，0.6286 。6、 2.333。7、23/, VU ,3/5。二、 1、解（18 分）（1）其他,010,2/1)()(xxxxYX（2）不独立（3）其他,010,3)(2zzzZ2、解（1）求Z的分布律；pqYXPYXPZP2)0, 1()1,0()0(22)1,1()0,0()1(qpYXPYXPZP（2）)(ZX，的联合分布律：ZX0 1 附表：22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 44 页37 0 1 pq2qpq2pqppq222qp（3）当5.0p时， X 与 Z 独立。三、应用题（24 分）1、解：设X表示一周5 个工作日机器发生故障的天数，则X)2.0,5(B，分布律为：5,.,1 ,0,8 .02.0)(55kCkXPkkk设Y（万元）表示一周5 个工作日的利润，根据题意，Y的分布律057.0)3(,3, 2205.0)2(,2,0410.0) 1(,1,5328.0)0(,0,10)(XPXXPXXPXXPXXfY则216. 5EY（万元）。2、 解： 设321,AAA分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B表示输出为ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得：31111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP1 .0)(,4.0)(, 5.0)(321APAPAP0064.08.01. 01.08.0)(1ABP0008.01.01.08.01. 0)(2ABP0008.01 .08. 01 .01 . 0)(3ABP10.50.00648()0.50.00640.00080.40.00080.19P A B%07 试题一、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，总计18 分）1. 设,A B为随机事件 ,0.7P AP B,0.3P AB,则P ABP AB210 件产品中有4件次品 ,从中任意取2 件,则第 2 件为次品的概率为3设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布,则2YX的概率密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 44 页38 4设随机变量X的期望3E X,方差5D X,则期望24EX5. 设 随 机 变 量X服 从 参 数 为2 的 泊 松 分 布 , 则 应 用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得22PX. 6. 设1234,XXXX是来自正态总体X0,4N的样本,则当a时 , 22123422Ya XXa XX22. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3 分，总计18 分）1设,A B为对立事件 , 01P B, 则下列概率值为1 的是 ( ) (A) |P A B; (B) |P B A; (C) |P A B; (D) P AB2. 设随机变量X1,1N,概率密度为fx,分布函数F x,则下列正确的是( ) (A) 00P XP X; (B) 11 P XP X; (C) fxfx, xR; (D) 1F xFx, xR3. 设fx是随机变量X的概率密度 ,则一定成立的是( ) (A) fx定义域为0,1; (B) fx非负 ; (C) fx的值域为0,1; (D) fx连续4. 设41,1 9P XY,5119P XP Y,则min, 1PX Y( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 135. 设 随 机 变 量,X Y的 方 差4D X,1D Y, 相 关 系 数0.6XY, 则 方 差32DXY( ) (A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6 6. 设12,nXXXL是正态总体X2,N的样本 ,其中已知 ,未知 ,则下列不是统计量的是 ( ) (A) 1maxkknX; (B) 1minkknX; (C) X; (D) 1nkkX三、计算题（本大题共6 小题，每小题10 分，共计 60 分）1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4, (1) 求恰有 2 位同学不及格的概率；(2) 若已知 3 位同学中有2 位不及格 ,求其中 1 位是同学乙的概率.2已知连续型随机变量X的分布函数为220,0( ),0xxF xABex, 求: (1) 常数,A B的值 ; (2) 随机变量X的密度函数fx;(3) 22PX3设随机变量X与Y相互独立 ,概率密度分别为: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 44 页39 ,0( )0,0xXexfxx,1,01( )0,Yyfy其他, 求随机变量ZXY的概率密度4设二维随机变量(,)X Y的密度函数：,02,( , )0,Axyxf x y其他（1）求常数A的值； （2）求边缘概率密度,XYfxfy；（3）X和Y是否独立 ? 5 . 设二维随机变量(,)X Y的概率密度函数：3 ,0,01( , )0,yxyyf x y其他求（ 1）数学期望E X与E Y； （2）X与Y的协方差,Cov X Y6 . 设总体X概率密度为1,01( )0,xxf x其他，1未知，12,nXXXL为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量. 四、证明题（本大题共1 小题，每小题4 分，共 4 分）1.设,A B C任意三个事件 ,试证明 :P ABP BCP BP AC06 试题一、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，总计20 分）1. 设,A B为随机事件 ,0.5P A,0.6P B,0.7P ABU,则|P A B2设 10 把钥匙中有2 把能打开门 , 现任意取两把 , 能打开门的概率是3设X(10,3),NY(1,2)N, 且X与Y相互独立 , 则(32 )DXY4设随机变量0,6X在区间上服从均匀分布,则关于未知量x的方程2210xXx有实根的概率为 _ 5. 设 随 机 变 量X的 数 学 期 望()7E X,方 差()5D X,用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得212PX. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4 分，总计20 分）1设事件,A B相互独立 ,且( )0P A,()0P B,，则有(A) |0P B A; (B) |P A BP A; (C) |0P A B; (D) P ABP A2. 设X2(,)N,那么概率2P X(A) 随增加而变大 ; (B) 随增加而减小；(C) 随增加而不变 ; (D) 随增加而减小3. 设10,05P XY,2005P XP Y,则max,0PX Y(A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 44 页40 4 设,X Y相 互 独 立 ，X服 从0,2上 的 均 匀 分 布 ，Y的 概 率 密 度 函 数 为,0( )0,0yYeyfyy，则1P XY(A) 11e;(B) 21e;(C) 212e; (D) 110.5e5. 设总体X,12,nXXX是取自总体X的一个样本 , X为样本均值， 则不是总体期望的无偏估计量的是(A) X; (B) 123XXX; (C) 1230.20.30.5XXX; (D) 1niiX三、计算题（本大题共5 小题，每小题10 分，共计 50 分）1某产品整箱出售，每一箱中20 件产品，若各箱中次品数为0 件， 1 件， 2 件的概率分别为 80， 10， 10，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4 件，如果无次品，则买下该箱产品， 如果有次品， 则退货， 求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.2已知随机变量X的密度为,01( )0,axbxf x其它,且1/ 25/8P x, 求: (1) 常数,a b的值 ; (2) 随机变量X的分布函数F x3设二维随机变量(,)X Y有密度函数：21, 01,02;( ,)30,xxyxyf x y其他（1）求边缘概率密度,XYfxfy； （2）求条件密度|,|X YY Xfx yfy x；（3）求概率P XY. 4 . 设 随 机 变 量,X Y独 立 同 分 布 ， 都 服 从 参 数 为的 泊 松 分 布 ， 设2UXY,2VXY, 求随机变量U与V的相关系数UV5 . 设总体X(100,)bp为二项分布，01p未知，12,nXXXL为来自总体的一个样本. 求参数p的矩估计量和极大似然估计量。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）1.设事件, ,A B C相互独立 ,证明事件AB与事件C也相互独立2.设总体为X, 期望E X,方差2D X,12,nXXX是取自总体X的一个样本, 样本均值11niiXXn,样本方差22111niiSXXn,证明 :2S是参数2的无偏估计量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 44 页41 06 答案一、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，总计20 分）1. 2/3 217/45 335 45/6 5. 4/5 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4 分，总计20 分）1. (B) 2(D) 3(C) 4(D) 5. (D) 三、计算题（本大题共5 小题，每小题10 分，共计 50 分）1 解:设A表示 “顾客买下该箱产品”，iB分别表示“箱中次品数为0 件， 1 件， 2 件”0,1,2i则0P B80，1P B102P B10，0|P A B1，4191420|CP A BC，4182420|CP A BC，(3 分) 由全概率公式得：20|iiiP AP A B P B448/475，(7 分) 由贝叶斯公式得：000|()P A BP BP BAP A95/112 (10 分) 2解 : (1) 由1( )/ 2fx dxab, 1/ 25/81/ 2( )3 /8/ 2P Xf x dxab解得1,1/ 2ab(4 分) (2) 0.5,01( )0,xxf x其它,当0x时, 0F xP Xx，当01x时, 200.5/ 2xFxP Xxxdxxx, 当1x时, 1F x，所以20,0/ 2,011,1xF xxxxx(10 分 ) 3解 : （1）( ,)Xfxf x y dy222 /3, 010,xxx其他( ,)Yfyf x y dx1/ 3/ 6, 020,yy其他(4 分) (2) 当02y时 , |( , )|( )X YYf x yfx yfy=262,0120,xxyxy其他精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 44 页42 当01x时, |( ,)|( )Y XXfx yfy xfx223,02620,xxyyxx其他(8 分) (3) P XY( , )xyf x y dy120017/ 243xdxxxy dy(10 分) 4 .解 : E XE Y,D XD Y,3E U,3E V5D UD V,43Cov U VD XD Y, (8 分) UV,Cov U VD UD V=3/5 (10 分) 5 .解：由()100E XpX，得p的矩估计量?100Xp(4 分) 似然函数为1001001( )(1)iiinxxxiL pCpp，1001ln()lnln100ln 1inxiiiL pCxpxp由ln( )0dL pdp，得极大似然估计量?100Xp(10 分) 四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）1.证 明 ： 由 于 事 件,A B C相 互 独 立 ， 所 以P ABCP A P B P C，P ABP A P B，P ACP A P C，P BCP B P C，(2 分)所以PAB CP ACBCP ACP ABCP A P CP A P B P CP AB P C即PAB CP AB P C,所以事件AB与C也相互独立(5 分)2.证明：E X，2D X，12,nXXX是取自总体X的一个样本，所以E X，2/D Xn，所以22111niiE SEXXn22111niiE XnE Xn222211/1ninnn2， 即2S是参数2的无偏估计量(5 分)07 答案一、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，总计18 分）1. 0.1 20.4 3. 14,040,Yyyfy其他4 54 5. 1/2 6. 1/20 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3 分，总计18 分）1. (C) 2(B) 3(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 44 页43 三、计算题（本大题共6 小题，每小题10 分，共计 60 分）1解 :设,A B C分别表示“甲 ,乙 ,丙同学不及格”, 则0.2P A，0.3P B，0.4P C，由题意,A B C相互独立(2 分) (1) 事件“恰有2 位同学不及格”为 : DABCABCABCUU，所以P DP ABCP ABC P ABCP A P B P CP A P B P CP A P B P C=0.188 (6 分) (2)|()P BDP B DP D()P ABCP ABCP D=33/47 (10 分) 2 解 : (1) 由F x右连续性得00FF， 即0AB, 又由1F得，1A，解得1,1AB(5 分) (2) 22,0( )0,xxexf xFx其它, (8 分) (3) 22PX22FF12ee(10 分) 3解 : 由于随机变量X与Y相互独立 ,所以ZXY的密度函数为ZXYfzfx fzx dx(2 分) 01,01,10,0zxzxze dyze dyzz11,01,10,0zzzezeezz(10 分) 4解 : （1）由( , )1f x y dy，得1/ 4A(2 分) (2)( ,)Xfxfx y dy1/ 4,020,xxdyx其他/ 2, 020,xx其他(5 分 ) ( ,)Yfyf x y dx221/ 4,201/ 4,020,yydxydxy其他2/4,202/4, 020,yyyy其他(9 分) (3) ( , )XYfx fyf x y，不独立 (10 分) 5 .解 : 3/8E X,(2 分) 3/ 4E Y,(4 分) 3/10E XY(6 分)，所以,Cov X YE XYE X E X=3/160, (10 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 44 页44 6 .解： (1)由1()2E XX，得的矩估计量21?1XX(5 分) (2)似然函数为1( )1niiLx，1ln( )ln1lnniiLnx由ln( )0dLd，得极大似然估计量21?1/lnniinX(5 分) 四、证明题（本大题共2 小题，每小题4 分，共 4 分）1.证明：因为P ABP BCP ABBCP ABCU,又由于ABBCBU,ABCAC，所以P ABBCP BU，P ABCP B,所以P ABP BCP BP AC,即P ABP BCP BP AC(4 分 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 44 页