第五章第五章 连续系统的建模设计连续系统的建模设计 与仿真与仿真n基于微分方程的建模方法基于微分方程的建模方法n状态空间模型的建模方法状态空间模型的建模方法n面向结构图的模型面向结构图的模型n数值积分法数值积分法n离散相似法离散相似法n转移矩阵法转移矩阵法n 按系统模型的特征分类，可以有连续按系统模型的特征分类，可以有连续系统仿真及离散事件系统仿真两大类。系统仿真及离散事件系统仿真两大类。过程控制系统、调速系统、随动系统等过程控制系统、调速系统、随动系统等这类系统称作连续系统，它们共同之处这类系统称作连续系统，它们共同之处是系统状态变化在时间上是连续的，可是系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式或结构图来描述系统模型。以用方程式或结构图来描述系统模型。 连续系统数字仿真的一般过程如图连续系统数字仿真的一般过程如图51所示。所示。图图5-15-1n 利用系统建模技术可以建立系统的利用系统建模技术可以建立系统的数学模型。如何把建立起来的系统数学数学模型。如何把建立起来的系统数学模型转换成系统仿真模型，以便为分析模型转换成系统仿真模型，以便为分析解决实际问题服务，是计算机仿真的一解决实际问题服务，是计算机仿真的一个重要研究内容，即仿真算法。由仿真个重要研究内容，即仿真算法。由仿真算法可以得到连续系统的数字仿真方法，算法可以得到连续系统的数字仿真方法，如图如图52所示。所示。 图图5-15-15.1 基于微分方程的建模方法基于微分方程的建模方法n5.1.1建模步骤建模步骤 n一个系统是由许多具有不同功用的一个系统是由许多具有不同功用的元件所构成的。同时，这些元件的元件所构成的。同时，这些元件的动态性能又各不相同。在对元件和动态性能又各不相同。在对元件和系统进行研究时，由于研究的内容系统进行研究时，由于研究的内容不同，出发点也不一样。例如，对不同，出发点也不一样。例如，对控制系统的元件大都以下列两种观控制系统的元件大都以下列两种观点加以讨论。点加以讨论。n第一种观点是根据元件的功用来研究元第一种观点是根据元件的功用来研究元件。在这种情况下，可以分成测量、放件。在这种情况下，可以分成测量、放大、执行等作用及其他作用的元件。当大、执行等作用及其他作用的元件。当研究系统的结构组成时，采用这种方法研究系统的结构组成时，采用这种方法比较方便。利用这种划分方法，根据系比较方便。利用这种划分方法，根据系统原理图可以很容易画出系统方块图。统原理图可以很容易画出系统方块图。n第二种观点是按照运动方程式将元件或第二种观点是按照运动方程式将元件或系统划分为若干环节。在建立数学模型，系统划分为若干环节。在建立数学模型，研究系统的动态特性时，用这种方法可研究系统的动态特性时，用这种方法可以使问题得以简化。以使问题得以简化。n所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或几个元件。环节方程中的系数只取决于本环节部分或几个元件。环节方程中的系数只取决于本环节中元件的参数，与其他环节无关。划分环节时应注意中元件的参数，与其他环节无关。划分环节时应注意相邻两个元件间的相互影响。元件前后连接时，前一相邻两个元件间的相互影响。元件前后连接时，前一元件的输出信号就变成后一元件的输入信号，后一元元件的输出信号就变成后一元件的输入信号，后一元件就变成前一元件的负载了。元件承受负载后，其运件就变成前一元件的负载了。元件承受负载后，其运动方程可能改变，即称后一元件对前一元件产生了负动方程可能改变，即称后一元件对前一元件产生了负载效应。这样，前一元件就不能单独作为一个环节，载效应。这样，前一元件就不能单独作为一个环节，必须与后一元件同时考虑。在环节划分时必须注意到必须与后一元件同时考虑。在环节划分时必须注意到这一点。这一点。 建立系统微分方程的一般步骤如下：建立系统微分方程的一般步骤如下：n(1)将系统划分为若干环节，确定每一环节的输入及输将系统划分为若干环节，确定每一环节的输入及输出信号，此时应注意前一环节的输出信号是后一环节出信号，此时应注意前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。的输入信号。n(2)根据物理学基本定律，写出每一环节输出量与输入根据物理学基本定律，写出每一环节输出量与输入量间的数学关系式，即环节的原始方程。量间的数学关系式，即环节的原始方程。n(3)对每一环节的原始方程进行一定的简化对每一环节的原始方程进行一定的简化(如非线性如非线性因素的线性化处理因素的线性化处理)及数学处理。及数学处理。n(4)消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的方程，这就是系统的微分方程。量的方程，这就是系统的微分方程。图图5-25-2例例5-15-1图图5-25-2（5-15-1）例例5-2 机械平移系统。机械平移系统。设有一个弹簧一质量一阻尼器系统，设有一个弹簧一质量一阻尼器系统，如图如图53所示。阻尼器是一种产生黏性所示。阻尼器是一种产生黏性摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞，因为何相对运动都将受到油液的阻滞，因为这时油液必须从活塞的一端经过活塞周这时油液必须从活塞的一端经过活塞周围的间隙围的间隙(或通过活塞上的专用小孔或通过活塞上的专用小孔)而而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储藏任何动能或热能。藏任何动能或热能。图图5-35-3n记系统的输入量为外力记系统的输入量为外力x，输出量为质量，输出量为质量m的位移的位移y。我们的目标是求系统输出量。我们的目标是求系统输出量y与输入量与输入量z之间所满足的关系式，即系之间所满足的关系式，即系统的微分方程。取质量统的微分方程。取质量m为分离体，根为分离体，根据牛顿第二定律有：据牛顿第二定律有：（5-25-2）（5-5-3 3）n以上推出的各种系统的运动方程以上推出的各种系统的运动方程(数学模数学模型型)，尽管它们的物理模型不同，但却可，尽管它们的物理模型不同，但却可能具有相同的数学模型，这种具有相同能具有相同的数学模型，这种具有相同的微分形式的系统称为相似系统。在微的微分形式的系统称为相似系统。在微分方程中占据相同位置的物理量称为相分方程中占据相同位置的物理量称为相似量，比较方程式似量，比较方程式(51)和方程式和方程式(53)可以看出它们具有相同的数学模型，可以看出它们具有相同的数学模型，是相似系统。是相似系统。n 相似理论在工程上很有用处，在处理复相似理论在工程上很有用处，在处理复杂的非电系统时，如果能将其转化成相似的杂的非电系统时，如果能将其转化成相似的电系统，则更容易通过实验进行研究。元件电系统，则更容易通过实验进行研究。元件的更换、参数的改变及测量都很方便，且可的更换、参数的改变及测量都很方便，且可应用电路理论对系统进行分析和处理。应用电路理论对系统进行分析和处理。图图5-25-2n 另外，尽管各种物理系统的结构不一样，输入另外，尽管各种物理系统的结构不一样，输入量、输出量以及中间变量可以是各种不同的物理量，量、输出量以及中间变量可以是各种不同的物理量，但它们的运动方程却有下列几点共同之处。但它们的运动方程却有下列几点共同之处。n(1)常参量线性元件和线性控制系统的运动方程都是常系常参量线性元件和线性控制系统的运动方程都是常系数线性微分方程。数线性微分方程。n(2)运动方程的系数由元件或系统结构本身的参量组合而运动方程的系数由元件或系统结构本身的参量组合而成，因而都是实数。成，因而都是实数。n(3)运动方程式的形式取决于元件或系统的结构及在其中运动方程式的形式取决于元件或系统的结构及在其中进行的物理过程，即取决于元件或系统本身的特殊矛盾。进行的物理过程，即取决于元件或系统本身的特殊矛盾。因此，运动微分方程是揭示系统内部特殊矛盾的工具，它因此，运动微分方程是揭示系统内部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系统的运动规律。的解反映了元件或系统的运动规律。n(4)对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运动方程式的形式也就不同。动方程式的形式也就不同。 （5-5-4 4） 5.2.1根据物理学定律直接建立状态空根据物理学定律直接建立状态空间模型间模型基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下。基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下。5.2 状态空间模型的建模方法状态空间模型的建模方法 例例5-3 建立建立RCL电气网络电气网络系统系统(图图54)的状态方程。的状态方程。图图5-45-45.2.2由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型 1状态变量图 系统传递函数是描述线性定常(时不变)系统输入与输出间微分关系的另一种方法。为便于实现计算机数字仿真，应将传递函数变换为状态空间模型。由系统传递函数导出系统状态空间模型的方法是先将传递函数用状态变量图描述，然后根据状态变量图中积分器的输出确定系统状态变量及状态方程。 图图5-55-5图图5-5(a)5-5(a)( (图图5-5(b)5-5(b)（5-55-5）例例5-4(5-5)(5-5)（5-65-6）（5-75-7）（5-85-8）n根据传递函数根据传递函数H(s)的三种不同表达形式，的三种不同表达形式，可以画出三种不同形式的状态变量图，可以画出三种不同形式的状态变量图，进而可以写出三种不同形式的状态方程。进而可以写出三种不同形式的状态方程。以式以式(5-6)、式、式(5-7)和式和式(5-8)为基础的为基础的方法分别称为级联法、串联法、并联法。方法分别称为级联法、串联法、并联法。其中，级联法相当于由信号流图求状态其中，级联法相当于由信号流图求状态空间模型，而串联法与并联法则相当于空间模型，而串联法与并联法则相当于由方块图求状态空间模型。由方块图求状态空间模型。2.由方块图求状态空间模型由方块图求状态空间模型n1.串联法串联法图图5-65-6式（式（5-5-7 7）图图5-65-6图图5-75-7如图如图5-75-7(5-8)(5-8)（5-5-1010）（5-95-9）（5-5-9 9）（5-115-11）（5-125-12）（5-5-1010）（5-5-1313）（5-5-1414）（5-135-13）（5-145-14）5.3面向结构图的模型面向结构图的模型 工程上常常将系统描述为结构图的工程上常常将系统描述为结构图的形式，因为工程技术人员更习惯面向结形式，因为工程技术人员更习惯面向结构图的仿真方法。本节介绍面向结构图构图的仿真方法。本节介绍面向结构图的线性系统模型。的线性系统模型。5.3.1典型环节的选择典型环节的选择n 利用系统模型结构图，选择积分环节利用系统模型结构图，选择积分环节作为典型模块在程序实现上固然十分简便，作为典型模块在程序实现上固然十分简便，但是当系数比较复杂时，要将系统的各个但是当系数比较复杂时，要将系统的各个环节都变成由积分模块组成的仿真模型需环节都变成由积分模块组成的仿真模型需要一定的时间和技巧。所以，目前许多面要一定的时间和技巧。所以，目前许多面向结构图的线性系统都采用更复杂一些的向结构图的线性系统都采用更复杂一些的环节，如一阶超前、滞后环节环节，如一阶超前、滞后环节(图图5-8)来作来作为典型模块，这一典型模块可以十分方便为典型模块，这一典型模块可以十分方便地表示上述一些常用的典型环节。地表示上述一些常用的典型环节。图图5-85-8图图5-95-9图图5-95-95.4数值积分法数值积分法n数值积分法可分为两大类：单步法、多数值积分法可分为两大类：单步法、多步法。步法。n1、单步法、单步法n（1）欧拉法（一阶龙格）欧拉法（一阶龙格-库塔法）库塔法）n（2）改进的欧拉法（二阶龙格）改进的欧拉法（二阶龙格-库塔法）库塔法）n（3）龙格）龙格-库塔法库塔法n（4）四阶）四阶Runge-Kutta法的向量公式法的向量公式n2、多步法、多步法（5-155-15）（5-155-15）n 多步法特点如下。多步法特点如下。n 不能自动启动，需用单步法计算才能不能自动启动，需用单步法计算才能启动。启动。n 存储量大。存储量大。n 计算工作量小计算工作量小(达到相同的精度达到相同的精度)，与，与其他法相比，其他法相比，f 的计算次数减少的计算次数减少2次。次。积分方法的选择主要从以下几方积分方法的选择主要从以下几方面加以考虑：面加以考虑： n(1)精度要求。影响数值积分精度的因素包括截断误精度要求。影响数值积分精度的因素包括截断误差差(同积分方法、方法阶次、步长大小等因素有关同积分方法、方法阶次、步长大小等因素有关)、舍入误差舍入误差(同计算机字长、步长大小、程序编码质量同计算机字长、步长大小、程序编码质量等因素有关等因素有关)、初始误差、初始误差(由初始值准确度确定由初始值准确度确定)。当。当步长步长h取定时，算法阶次越高，截断误差越小；当算取定时，算法阶次越高，截断误差越小；当算法阶次取定后，多步法精度比单步法高，隐式精度比法阶次取定后，多步法精度比单步法高，隐式精度比显式高。当要求高精度仿真时，可采用高阶的隐式多显式高。当要求高精度仿真时，可采用高阶的隐式多步法，并取较小的步长。但步长步法，并取较小的步长。但步长h不能太小，因为步不能太小，因为步长太小会增加迭代次数，增加计算量，同时也会加大长太小会增加迭代次数，增加计算量，同时也会加大舍入误差和积累误差。舍入误差和积累误差。 总之，实际应用时应视仿真精度要求合理地选择总之，实际应用时应视仿真精度要求合理地选择方法和阶次，并非阶次越高、步长越小越好。方法和阶次，并非阶次越高、步长越小越好。n(2)计算速度。计算速度。 计算速度只要取决于每步积分运算所花费的时间以及积计算速度只要取决于每步积分运算所花费的时间以及积分的总次数，每步运算量同具体的积分方法有关，它主要取分的总次数，每步运算量同具体的积分方法有关，它主要取决于导函数复杂程度以及每步积分应计算导函数的次数。在决于导函数复杂程度以及每步积分应计算导函数的次数。在数值求解中，最费时间的部分往往就是积分变量导函数的计数值求解中，最费时间的部分往往就是积分变量导函数的计算。对相同的步长算。对相同的步长h，RK4比四阶比四阶Adams预估一校正法慢。预估一校正法慢。 一般来说，对于系统阶次高、导函数复杂、精度要求高一般来说，对于系统阶次高、导函数复杂、精度要求高的复杂仿真问题宜采用的复杂仿真问题宜采用Adams预估一校正法。为了提高仿预估一校正法。为了提高仿真速度，在积分方法选定的前提下，应在保证精度的前提下真速度，在积分方法选定的前提下，应在保证精度的前提下尽可能加大仿真步长，以缩短仿真总时间。对于那些对速度尽可能加大仿真步长，以缩短仿真总时间。对于那些对速度要求特别要求苛刻的仿真问题，如实时仿真，则宜采用实时要求特别要求苛刻的仿真问题，如实时仿真，则宜采用实时仿真算法。仿真算法。 n(3)数值解的稳定性。数值解的稳定性。 保证数值解的稳定性是进行仿真的先决条保证数值解的稳定性是进行仿真的先决条件，否则计算结果将失去实际意义，导致仿真件，否则计算结果将失去实际意义，导致仿真失败。从前面稳定性的分析可知，小于四阶时，失败。从前面稳定性的分析可知，小于四阶时，同阶的同阶的RK法的稳定性比显式法的稳定性比显式Adams法好，但法好，但不如同阶次的隐式不如同阶次的隐式Adams法好，因此从数值解法好，因此从数值解稳定性角度考虑，应尽量避免采用使用显式稳定性角度考虑，应尽量避免采用使用显式Adams法。法。 总之，积分方法的选择具有较大的灵活性，总之，积分方法的选择具有较大的灵活性，要结合实际问题而定。当导函数不是十分复杂要结合实际问题而定。当导函数不是十分复杂而且要求精度不是很高时，而且要求精度不是很高时，RK法是合适的选法是合适的选择；如果导函数复杂、计算量大，则最好采用择；如果导函数复杂、计算量大，则最好采用Adams预估一校正法；对于那些实预估一校正法；对于那些实5.5离散相似法离散相似法n用数字计算机对一个连续系统进行仿真用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，必须将这个系统看作一个时间离散时，必须将这个系统看作一个时间离散系统。也就是说，只能计算到各状态量系统。也就是说，只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值，它们是一些在各计算步距点上的数值，它们是一些时间离散点的数值。前面主要从数值积时间离散点的数值。前面主要从数值积分法的角度讨论数字仿真问题，没有显分法的角度讨论数字仿真问题，没有显式地涉及到式地涉及到“离散离散”这个概念。史密斯这个概念。史密斯从控制和工程的概念出发提出离散相似从控制和工程的概念出发提出离散相似问题，并导出离散相似法。问题，并导出离散相似法。 基本原理基本原理n将连续系统进行离散化处理，得到一个与该连将连续系统进行离散化处理，得到一个与该连续系统等价的离散模型。以后的每一步计算均续系统等价的离散模型。以后的每一步计算均在这个模型基础上进行，而原来的连续模型不在这个模型基础上进行，而原来的连续模型不再参与计算。对比数值积分法，虽然也进行了再参与计算。对比数值积分法，虽然也进行了离散化处理，但在离散化过程中每一步都用到离散化处理，但在离散化过程中每一步都用到连续系统的模型连续系统的模型(导函数力，离散一步计算一导函数力，离散一步计算一步。步。n用周期为用周期为T的采样开关的采样开关(虚拟的虚拟的)将连续模型的将连续模型的输入、输出分别离散化，要求离散化后的输出输入、输出分别离散化，要求离散化后的输出y(t)在采样时刻的值等同于原输出在同一时刻在采样时刻的值等同于原输出在同一时刻的值。的值。离散相似法的步骤离散相似法的步骤n (1)画出连续系统的结构图。画出连续系统的结构图。n (2)在适当的地方引入虚拟采样开关，选择在适当的地方引入虚拟采样开关，选择合适的信号保持器。合适的信号保持器。n (3)将所引进的信号保持器传递函数与连续将所引进的信号保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通系统传递函数串联，通n过过z变换求得系统的脉冲传递函数。变换求得系统的脉冲传递函数。n (4)通过通过z逆变换得系统的差分方程，即离逆变换得系统的差分方程，即离散模型。散模型。n (5)根据差分方程编制仿真程序。根据差分方程编制仿真程序。5.6 转移矩阵法转移矩阵法典型环节的离散状态空间模型典型环节的离散状态空间模型图图5-105-10图图5-105-10图图5-115-11图图5-115-11图图5-125-12图图5-125-12图图5-135-13图图5-135-13用转移矩阵法仿真下图所示系统。用转移矩阵法仿真下图所示系统。