学习必备欢迎下载平面向量基本定理一教学目标：了解平面向量基本定理， 理解平面向量的坐标概念， 会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点 : 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二. 课前预习1. 已知a=(x,2) ，b=(1,x) ，若a/b，则 x 的值为 ( ) A、2 B、2 C、2 D、 2 2. 下列各组向量，共线的是 ( ) ()A( 2,3),(4,6)ab()B(2,3),(3,2)ab()C(1, 2),(7,14)ab()D( 3,2),(6, 4)ab3. 已知点)4,3(),1, 3(),4 ,2(CBA, 且CBCNCACM2,3, 则MN_4已知点( 1,5)A和向量a=(2,3), 若 AB =3a, 则点 B的坐标为三. 知识归纳1. 平面向量基本定理： 如果12,e e 是同一平面内的两个 _ 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数12,，使1122aee 成立。其中12,e e 叫做这一平面的一组 _ ，即对基底的要求是向量 _ ；2 坐标表示法：在直角坐标系内， 分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i ，j 作基底，则对任一向量 a，有且只有一对实数x，y，使j yi xa、就把 _叫做向量 a的坐标，记作 _ 。3向量的坐标计算： O（0，0）为坐标原点， 点A的坐标为（x，y） ，则向量OA的坐标为OA_ ，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ） ，2P （2x ，2y ） ，则向量21PP的坐标为21PP_ ，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的_点坐标减去 _点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载4线段中点坐标公式： A（1x ，1y ） ，B（2x ，2y ）线段中点为 M ，则有：OM=_ ，M点的坐标为 _ 5两个向量平行的充要条件是：向量形式：_)0(/bba；坐标形式：_)0(/bba6.a=（x,y ）,则a=_.与 a共线的单位向量是：aae四例题分析：例 1.(1) 、 已知 M （2，7） 、N（10，2） ，点 P是线段 MN 上的点，且PN2 PM ，则 P点的坐标为（）A（14，16） （B） （22，11） （C ） （6，1）（D ） （2，4）(2) 、已知两点 A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB同向的单位向量是（）（A）54,53 (B)54,53 (C)53,54 (D)53,54(3) 、若a=（2，3） ，b=（4，7） ，则a在b方向上的投影为 _。例 2(1) 已知向量(1,2),( ,1),2abxuab，2vab，且/uv ，求实数x的值。(2)已知向量 a=（，1） ，b=（0，-1） ，c=（k，） 。若 a-2b 与 c共线，则 k=_例 3已知(1,0),(2,1)ab，（1）求|3|ba；（2）当 k 为何实数时， k ab与ba3平33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载行， 平行时它们是同向还是反向？例 4如图，平行四边形ABCD 中，,E F分别是,BC DC的中点， G 为交点，若 ABa， ADb，（1）试以 a， b 为基底表示 DE 、BF； （2）求证： A、G 、C三点共线。例 5. 如图，平行四边形ABCD 中，BE=41BA ，BF=51BD ，求证： E，F，C三点共线。（利用向量证明）五课后作业：131(,sin),(cos, )23ab且/ab，则锐角为 ( ) ()A 30()B 60()C45()D752平面内有三点(0,3),(3,3),( , 1)ABC x，且 AB BC，则x的值是 （）()A1 ()B5 ()C1()D5ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载3如果1e,2e是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（）()A若实数12,使11220ee，则120()B空间任一向量a可以表示为1122aee，这里12,是实数()C对实数12,，向量1122ee不一定在平面内()D对平面内任一向量a，使1122aee的实数12,有无数对4. 下列各组向量中：)2, 1(1e)7 , 5(2e)5 ,3(1e)10, 6(2e)3,2(1e)43,21(2e其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）ABCD 5. 若 A(-1,-2),B(4,8),且CBAC3, 则 C点坐标为；6. 已知)2, 3(a，) 1,2(b，若baba与平行，则 = ；7已知向量(1, 2)a，b与a方向相反，且| 2 |ba，那么向量b的坐标是 _ _ 8已知(5,4),(3,2)ab，则与 23ab平行的单位向量的坐标为。9已知(3, 1),(1, 2),(1,7)abc，求pabc，并以,a b为基底来表示p。10. 向量( ,12),(4,5),(10, )OAkOBOCk, 当 k 为何值时，,A B C三点共线？平面向量的数量积一、教学目标 ：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用教学重点 ：平面向量数量积及其应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载二、课前预习：1已知向量(3,4),(2,1)ab，如果向量axb与b垂直，则x的值为（）()A323()B233()C2 ()D252. 下列命题正确的是_ 0ABBA；00AB；ABACBC；00AB3平面向量,a b中，已知(4,3),| 1ab，且5a b，则向量b_ _ _. 4已知向量,a b的方向相同，且| 3,|7ab，则|2|ab_ _。5已知向量 a和b的夹角是 120，且2|a，5|b，则aba)2(= 。三、知识归纳1.平面向量的数量积：（1）定义 :a0,0_(_bab，为 a与b的夹角，)0；特例：00a， a2 =a a=| a|2；coscosab叫做向量abba在 方向上在 方向上的_ ；注：._cosb,cos同理bbaa（2）.坐标运算： 若 a=（1x，1y） ，b=（2x，2y）则 a b=_ 2.两个向量的夹角与长度已知向量 a=（1x，1y） ，b=（2x，2y）（1）两个向量 a与b的夹角：向量形式： cos=_ ；坐标形式： cos=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载注：0.0cos,20a,0cos,20;0cos,20babba即即即babababa,0，即反向时；，即同向时（2）向量 a的长度 | a|2=a2 =aa =_ 。| a|=_其中 a=),(yx；c o s2)(222babababa两点间的距离公式： |21PP|=_ 其中1P=（1x，1y） ，2P=（2x，2y） 3.向量的平行、垂直如果，两个向量 a=（1x，1y） ，b=（2x，2y）那么，（1）两个向量平行 的充要条件是：向量形式：_)0(/bba；坐标形式：_)0(/bba（2）两个向量垂直 的充要条件是：向量形式：ab_ ；坐标形式： ab_ 四：例题分析：例 1已知平面上三个向量a、b、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为120，（1）求证：)(bac ； （2）若1|bak)(Rk，求 k 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 2已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c|52，且ac /，求c的坐标；（2）若|b|=,25且ba2与ba2垂直，求a与b的夹角. 例 31.若向量，满足且c，则A4B3C 2D0 2.已知单位向量，的夹角为 60，则_ 3.在正三角形中，是上的点，则。4.已知向量满足，且，则 a 与 b 的夹角为. 5.在边长为 1 的正三角形 ABC中, 设则_ 例 4.(1) 已知由向量AB= （3， 2） ，AC= （1， k） 确定的 ABC 为直角三角形，求 k 的值。 (2) 设OA=（3，1） ，OB=（1，2） ，OCOB，BCOA，试求满足OD+OA=OC的OD的坐标（ O为原点） 。(2 )cab1e2e122eeABCDBC3,1ABBDAB AD,a b() ()abab1a2b2,3,BCBD CACEAD BE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载五课后作业：1平面内有三点(0,3),(3,3),( , 1)ABC x，且 AB BC，则x的值是 （）()A1 ()B5 ()C1()D52. 已知3a，2 3b，3a b，则a与b的夹角是（）A、150 B、120 C、60 D、303已知向量)75sin,75(cosa，)15sin,15(cosb，那么|ba的值是（）()A21()B22()C23()D1 4已知向量)sin,(cosa, 向量) 1,3(b则|2|ba的最大值，最小值分别是（）()A0,24()B24, 4()C16，0 ()D4，0 5在ABC中，0ACAB，ABC的面积是415，若3| AB，5| AC，则BAC()A6()B32()C43()D656. 在ABC中, 若060,4, 3BACACAB, 则ACBA（）A、6 B、4 C、-6 D、-4 7已知向量(1, 2)a，b与a方向相反，且|2|ba，那么向量b的坐标是 _ _ 平面上有三个点 A(1,3),B(2,2) ,C(7,x),若 B=90, 则 x=_ 8. 已知|a| 1，|b| 2，且向量a+ b与 2ab互相垂直，则b与a的夹角=_ 9已知(5,4),(3,2)ab，则与 23ab平行的单位向量的坐标为。10.(1) 已知向量(6,2)a与( 3, )bk的夹角是钝角 , 则 k 的取值范围是。(2) 已知向量(6,2)a与( 3, )bk的夹角大于90, 则 k 的取值范围是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载11(1) 已知向量(3,4),(2,1)ab，则a在b上的投影为 _ (2) 已知|a|=|b|=2 ，a与b的夹角为 600，则a+b在a上的投影为。12 设,O A B C为平面上四个点，aOA，bOB，cOC，且0cba，cbba=ac1，则|cba_ 。13. 已知|a| 1，|b| 2,(1) 若a与b平行，求ba; (2)若a与b的夹角为 600求ab (3) 向量a+ b与a互相垂直，求a与b的夹角 . 14已知1e 、2e 是夹角为 60的两个单位向量，1232aee ，1223bee ，求：(1) a b; (2)ab与ab； （3）ab与ab的夹角 . 15向量,a b都是非零向量，且(3 )(75 ),(4 )(72 )abababab，求向量a与b的夹角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页