3.1.1数系的扩充和复数的概念1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法.1.复数的概念及代数表示法(1)定义:我们把集合C=a+bi|a,bR中的数,即形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集合C叫做复数集,规定ii=-1.(2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,bR,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.2.复数相等的充要条件在复数集C=a+bi|a,bR中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,dR),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c,且b=d.温馨提示应用两复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部,然后列出等式求解.温馨提示实数集R是复数集C的真子集,即RC.至此,我们学过的有关数集的关系为:N*NZQRC.【做一做3-1】下列命题是假命题的是()A.自然数集是非负整数集B.实数集与复数集的交集为实数集C.实数集与虚数集的交集是0D.纯虚数与实数集的交集为空集解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故选项C中的命题是假命题.答案:C【做一做3-2】“a=0”是“复数z=a+bi(a,bR)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由复数的概念知:若a+bi为纯虚数,则必有a=0成立,即为必要条件;但若a=0,且b=0,则a+bi=0为实数,即不是充分条件.故选B.答案:B1.数系扩充的一般原则是什么?剖析:数系扩充的脉络是:自然数系整数系有理数系实数系复数系,用集合符号表示为NZQRC.从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则:(1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集;(2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用;(3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.2.如何理解虚数单位i?剖析:在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x2+1=0,为解决解方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.由于i2b,则a+ib+i.分析:解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行判断.解:(1)错误.当且仅当zR时,z20成立.若z=i,则z2=-10.(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0i=0R.(3)错误.两个虚数不能比较大小.题型一题型二题型三题型四反思数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.【变式训练1】有下列四个命题:(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;(4)x4=1在实数R中有两解,在复数集C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.一般地,两个复数只能相等或不相等,不能比较大小.2.复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据,是复数问题实数化的桥梁.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思在利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组),求解参数时,注意考虑问题要全面.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思在解决此类问题时,首先要明确条件中的字母所代表的意义.不明确时,一定要注意设出相关的复数形式,满足复数相等的前提条件后,再根据复数相等的充要条件建立方程(组)求解.