名师精编优秀教案利用空间向量求空间角目标： 会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：bababa,cos|（ 2）两向量夹角公式：|,cosbababa二、知识讲解与典例分析知识点 1：两直线所成的角（范围：2,0(）（ 1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线a 与 b ，那么直线a 与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与 b 所成的角 . （ 2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为a和b，问题 1： 当a与b的夹角不大于90 时，异面直线 a、b 所成的角与a和b的夹角的关系？问题2：a与b的夹角大于90时，异面直线a、b 所成的角与a和b的夹角的关系？结论：异面直线a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角 . 解法步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解： 如图建立空间直角坐标系xyzA， 则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0 ,0,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC1AC和1CB所成的角为3总结 :（ 1）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？a b O ObaObaba,ba,x y Z AyxCB1AD1B1C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师精编优秀教案x y Z AyxCB1AD1B1C知识点 2、直线与平面所成的角（范围：2,0）思考：设平面的法向量为n，则BAn,与的关系？据图分析可得：结论：例 2、如图， 正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和BBAA11面所成角的正弦值. 分析： 直线与平面所成的角步骤：1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角， (锐角 )其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则),0,0(),2,0 ,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC设平面BBAA11的法向量为),(zyxn由00002001zyayazABnAAn取1x，)0, 0, 1(n设1AC和BBAA11面所成角为213|23|,cos|sin22111aaNACnACnAC1AC和BBAA11面所成角的正弦值21. 知识点 3：二面角 （范围：,0）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中CDlCDABlAB,. 结论：ABOBAn,2ABOn2, BAnABOn（图 1）（图 2）|,cos|sinABnABnABnD C B A l |,coscosCDABCDABCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师精编优秀教案法向量法结论：或归纳： 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例 3、如图，ABCD是一直角梯形，90ABC，SA面ABCD，1BCABSA，21AD，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)1 ,0,0(),0,21,0(),0, 1 , 1(),0 ,0 ,0(SDCA易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn，)1,21, 0(),0,21, 1(SDCD设面SCD的法向量为),(2zyxn，则有0202zyyx，取1z，得2, 1 yx，)1 ,21,1 (2n36|,cos212121nnnnnn即所求二面角的余弦值为36.练习1： 如图，正三棱柱1 11ABC ABC的所有棱长都为2，D为1CC中点求二面角11CBAA的余弦值；解：取11BC中点1O， 以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系设平面BAA1的法向量为()xyz， ，n)3,0 , 1 (AB，1(0 2 0)AA， ，1,AAnABn030211zxABnyAAn令1z，得平面1A AD的一个法向量) 1 ,0 ,3(n设平面11BCA的法向量为),(cbav)3, 2, 1(1BA，)0, 2,2(1BC11,BCvBAv02203211baBCncbaBAn1nl 2n21,nn|,coscos212121nnnnnn|,coscos212121nnnnnn1nl 2n21,nn21,nn21,nnABCDxzySx z A B C D 1A1C1BO F y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师精编优秀教案令1a，得平面11BCA的一个法向量)3, 1, 1 (v5155232,cosvnvnvn, 所求的二面角11CBAA的余弦值为515。练习 2: 如图 2，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中， AD/BC ， ABC=900，SA面 ABCD，SA=21，AB=BC=1 ， AD=21。 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值。解：以 A 为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，21） ， A（0， 0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，1， 0） ，D（21，0，0） ，)21, 1, 0(),21,0,0(SBSA)21, 1, 1(),21,0,21(SCSD，显然平面SBA 的一个法向量为1n=(1，0，0)，设平面 SCD 的一个法向量为2n=(x，y，z)，则2n平面 SCD )212(,2022000222,nzzyxzxSCnSDn则取则323121| |,cos212121nnnnnn，所以面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为32。三、小结： 1 异面直线所成的角：|,cos|cosnmnmnm2直线和平面所成的角：3二面角： . 或A z y x D C B S 图 2 |,cos|sinABnABnABn|,coscos212121nnnnnn|,coscos212121nnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页