力矩分配法的概念及基本运算多结点力矩分配法渐进运算无Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望力矩分配法的理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。1、转动刚度S：表示杆端抵抗转动的能力。使杆端发生单位转角时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，SAB=4i1而与近端支承无关。9-1 力矩分配法的基本概念及基本运算2因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB31、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，SAB=4i1而与近端支承无关。2、传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：传递系数与远端支承有关2ii0C=1/2C=1C=0远端支承转动刚度传递系数固定铰支定向支座4i3ii1/21043、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法 iBCAMMiA=4i=SiAMiB=3i=SiBMiC=i=SiCM= MiA+MiB+MiCM=0a）分配系数和分配力矩注：1）称为力矩分配系数，结点力矩按分 配系数分配与各杆近端。 2）分配力矩是杆端转动时产生的近端 弯矩。 3） =1 4）结点集中力偶荷载顺时针为正。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：b）传递系数和传递力矩Mcji=CMuij j=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。2）只有分配弯矩才能向远端传递。54、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN20kN/mABCABC1）锁住结点150150902）放松结点MB=15090=60MBMBmBAmBCMB=60SBA=43i=12iSBC=34i=12iBA=12i/24i=1/2BC=12i/24i=1/23030153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩1/2 1/2150mFij150 9030 3015Mij165120120ABCM图（kN.m)16512090300不平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配.Mij=mFi j+ Mui j + Mci j6i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN例：用力矩分配法计算,画M图。解：1）求大家算AB= AC=AD=4/92/93/92）求mFij 计算mFAB= mFBA =mFAD =50 50 80M=15MAmABmADmACM+MA= mFAB + mFAD + mFAC M=508015= 45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩 5050 8010151010最后弯矩 4070 6510 1040701001080M图（kN.m)79-2 多结点力矩分配法渐进运算24kN/m50kN12812875MB=128MC=53MB24kN/m50kN4m4m8m8mABCD2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=1BA=0.6BC=0.4CB=0.4CD=0.676.8 51.225.6MC=78.6MC=78.631.4 47.215.715.7 15.79.4 6.325.6分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.61281287551.276.825.631.4 47.215.76.39.43.21.31.90.70.30.40.20.10.1086.6 86.6124.2 124.284m4m8m8m24kN/m50kNABCC86.6124.2192i=2i=2i=1100M图（kN.m)i=2i=2i=1i=2i=2i=1i=2i=2i=19注 意： 1）单结点力矩分配法得到精确解,多结点力矩分配法得到 渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二三结点）固端弯矩之和 加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数） 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。104I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例题例题 求图示刚架 的弯矩图。解：1）求分配系数SBA=3 SBC=4 SBE=43/4=3 SCB=4 SCD=3 SCF=41/2=2结点B：S=SBA+SBC+SBE3+4+3=10 BA=3/10=0.3BC=4/10=0.4BE=3/10=0.3CB=4/9=0.445CD=3/9=0.333CF=2/9=0.222结点C：S=SCB+SCD+SCF4+3+2=9 1）求固端弯矩mkNqlmFCB.7 .41122=mkNqlmFBC.7 .41122-=-=mkNqlmFBA.4082=11ABCD EFBA=3/10=0.3BC=4/10=0.4BE=3/10=0.3CB=4/9=0.445CD=3/9=0.333CF=2/9=0.222mkNqlmFBc.7 .41122-=-=mkNqlmFBA.4082=mFCB=41.7kN.mBABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.222 0.3334041.741.718.5 9.3 13.9 9.33.3 3.3 4.44041.79.3=112.21.0 0.5 0.7 0.50.15 0.15 0.243.4 3.5 46.5 24.4 9.8 14.8 EB1.60.11.7FC4.70.24.912ABCDEF20kN/m43.446.924.414.69.84.93.51.7M图（kN.m)ABCDEF29.150.954.545.53.71.32.5FS图(kN)ABCDEF49.2105.42.5FN图(kN)1.213静定伸臂的处理例题例题 作图示梁的M图。50kN1m1m5m50kN50SBA=15 EI=常数5 i=5i=1SBC=3BA=5/6BC=1/65/6 1/620.8mM50254.220.8 20.85050kN20.850M图（kN.m)ABC144EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF15结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.42 2.85 27.8024.96 19.940.560.29k计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和结点集中 力偶(顺时针为正)1620kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCEECm0.50.50.40.20.415170.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCEECmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)18例题例题 9-6 求矩形衬砌在土压力作用下的弯矩图。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmFBE=212iii+i211ii +BEBFBEBF212iii+i211ii +mMM图k当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。k当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。 此时竖柱对横梁起铰支座的作用。k由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅 决定于构造作法，也与相对刚度有关。k如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横 梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的 20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。i2i1i2i1201、无剪力分配法的应用条件：刚架中除了无侧移杆外，其余的杆全是剪力静定杆。2、剪力静定杆的固端弯矩：2kN/m2kN/m 求剪力静定杆的固端弯矩时先有平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。3、剪力静定杆的S和C：AABMAB=4iA6i/lMBA=2iA6i/l FSBA=（MAB+MBA）/l=0 MBA= MAB ，MAB=iA , MBA=iA 剪力静定杆的 S= i C=1/l=A /29-3 无剪力分配法计算固端弯矩上端定向、下端固定；计算计算固端弯矩上端定向、下端固定；计算S S和和C C上端固定、下端定向上端固定、下端定向21例题例题 9-7用无剪力分配法计算刚架。解：1、求分配系数SBC=3i1=12 SBA=i2=3BC=4/5 BA=1/5 BA杆的传递系数 =1 2m2m4m1kN/m 5kNi1=4i2=3ABC2、求固端弯矩：ABBABCCB4/51/5m5.33 2.67 3.75分传1.285.14M1.286.61 1.391.3901.395.706.61M图（kN.m)8m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)M=02kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求：大家算2、求m：大家算 6kN 4kN 1kNBCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/195/15241616446.32 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.4724BCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/195/15241616446.32 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.471.88 7.52 2.511.882.510.67 1.00 0.840.670.841.61 0.270.270.15 0.59 0.20M20.2527.6033.37 13.12 18.6812.376.31 14.3127.60请自己完成弯矩图的绘制 。位移法习题课25 对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解，用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。 首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为： 而弯矩可表示为：其中：可由力矩分配求解。r11，R1P可由弯矩图求得。=1R1Pr119-4 力矩分配法与位移法的联合应用264I4I5I3I3IABCDEF20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m4I4I5I3I3IABCDEF=1例题例题 9-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图。R1Pr11设EI=127ABCD EFBABEBCCBCFCD0.30.30.40.4450.222 0.3331.1250.338 0.338 0.449 0.2250.122 0.061 0.092 0.061-0.019 -0.019 -0.0230.319 -0.806 0.487 0.340 -0.436 0.096 EB0.169-0.009-0.965FC0.0310.0010.4681.1250.50.5-0.0120.005 0.003 0.004 28ABCDEF20kN/m43.446.924.414.69.84.93.451.7MP图（kN.m)R1PABCDEF=1r110.3180.4880.8060.9650.3400.0960.4360.467M29ABCDEFM图(kN.m)42.847.823.714.85.03.68.94.018.526.7最后弯矩可表示为：ABCDEF20kN/m43.446.924.414.69.84.93.451.7MP图（kN.m)ABCDEF0.3180.4880.8060.9650.3400.0960.4360.467M30P=1x Z1 Z1P=1x Z1=111P1W12=Z111 +PP1=W21=0Z1 = P1 /11机动法作法机动法作法: :Z1(x) = P1(x) /111、撤去与约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图P1 图，即为影响线的形状。横坐 标以上图形为正，横坐标以下 图形为负。3、将P1 图除以常数11 ，便确 定了影响线的竖标。静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。9-5 超静定力的影响线（机动法）31P=1xABCDEFMC11MC.I.LABCDEFMK11MK.I.LKP=1xABCDEFABCDEFRC11RC.I.LABCDEFQC右.I.LP=1xABCDEFMK.I.LRC.I.LKMC.I.L MKmaxMCminRCmaxv跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨有活载。v支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载,向两边每隔一跨有活载。9-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图33连续梁的内力包络图：求在恒载和活载联合作用下，各截面可能产生的最大正弯矩Mmax和最大负弯矩Mmin。求Mmax和Mmin的原则：1、必有恒载作用，且永远出现。 2、活载按最不利情况考虑。具体作法： 1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。 2、全梁布满恒载，绘制M恒。 3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。 4、求出各计算截面的Mmax 和Mmin。 5、将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。3410m10m10m例：例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p=12kN/m。作M包络图。0123456789101112120120q=12kN/m9030P=12kN/m 80110103020P=12kN/m60603030 P=12kN/m80110103020MmaxMmin00210024681012M恒M活1M活2M活31009090120100210060260 30260600MmaxMmin00210024681012100120100210060260 302606000123456789101112210602601001203026010021060弯矩图包络图弯矩图包络图（kN.m)将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。36超静定梁的影响线绘制（机动法）Z1(x) = P1(x) /111、撤去与所求约束力Z1相应的约束。2、使体系沿Z1的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图P1 图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图 形为负。3、将P1 图除以常数11 ，便确定了影响线的竖标。先绘制支座弯矩的影响线：如MBP=1EABCDP=1EABCDMB=111P137EABCDMBMAMCMBP=1EABCDMB11P1EABCD11EABCDP=1xlx杆端弯矩使梁下侧受拉为正。产生111P的Mp求11的 M求1p的 M38例题2-11 求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。6m6m6mABCD10.50.25AB:BC:x1P=1x2P=1x2P=1CD:MB=139ABCD0.123m0.346m0.389m0.497m0.520m0.281m0.151m0.175m0.108m 利用已作出的弯矩影响线,即可按叠加法求得连续梁上任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。AB:BC:CD:课间休息单元练习4041