9第九章第九章 振动学基础振动学基础 9-0 9-0 教学基本要求教学基本要求 9-1 9-1 简谐振动的规律简谐振动的规律 9-2 9-2 简谐振动的描述简谐振动的描述 9-3 9-3 简谐振动的合成简谐振动的合成第九章第九章 振动学基础振动学基础教学基本要求教学基本要求 一、理解简谐振动的基本特征一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义并理解其物理意义. 三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素. 四、理解旋转矢量法和相位差的意义四、理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分析会用旋转矢量法分析和解决和解决简谐振动问题简谐振动问题, 会做振动曲线会做振动曲线. 五、理解两个同方向、同频率五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律简谐振动的合成规律. *六、了解相互垂直的两个同频率六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成简谐振动的合成. 9-1 简谐振动的规律简谐振动的规律预习要点预习要点1.注意简谐振动的规律和特点注意简谐振动的规律和特点. 如何判断一个振动是如何判断一个振动是否为简谐振动？否为简谐振动？2.简谐振动的能量有什么特点简谐振动的能量有什么特点?3.简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？振动的周期？4.研究谐振子模型的意义何在？研究谐振子模型的意义何在？一、一、简谐振动的定义简谐振动的定义1.1.弹簧振子弹簧振子 一个劲度系数为一个劲度系数为k的的轻质弹簧的一端固定，另一端轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子弹簧振子. .2.2.弹簧振子振动的微分方程弹簧振子振动的微分方程 弹弹簧簧振振子子偏偏离离平平衡衡位位置置O后后，仅仅因因回回复复力力( (弹弹性性力力) )和惯性而自由往返运动和惯性而自由往返运动. .有有弹簧振子的振动微分方程弹簧振子的振动微分方程( (动力学方程动力学方程) )解微分方程得解微分方程得令令(1) (1) 位移时间关系位移时间关系( (振动方程振动方程) )(2)(2)速度时间关系速度时间关系(4)(4)能量特征能量特征(3)(3)加速度时间关系加速度时间关系弹簧振子的总的弹簧振子的总的机械能机械能由由 弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发生间发生周期性变化周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的量，即系统的机械能守恒机械能守恒.4T2T43TE(5)(5)振动曲线振动曲线 3.3.简谐振动的简谐振动的定义定义4 4. . . .简谐振动的判据简谐振动的判据(1)(1)运动的微分方程运动的微分方程( (定义式定义式).).(2)(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断机械振动也可用其受力特征或运动特征判断. .任任一一物理量物理量x随时间随时间t的变化关系如果满足微分方程的变化关系如果满足微分方程 其其中中 是是系系统统固固有有性性质质决决定定的的常常数数, ,则则此此物物理理量量作作简简谐运动谐运动. .二、二、简谐振动的固有周期简谐振动的固有周期周期周期频率频率振动往复一次所需时间振动往复一次所需时间.角频率角频率都表示简谐运动的周期性，反映振动的都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢快慢.弹簧振子固有周期弹簧振子固有周期由由例例: : 质量为质量为m长度为长度为l的均匀细棒，绕的均匀细棒，绕O点作小角度摆点作小角度摆动动. . 求振动周期求振动周期. .重力矩重力矩“ ”“ ”表示力矩与逆时针表示力矩与逆时针张角张角方向方向相反相反. .解解: :当当时时,O令令得到得到振动微分方程振动微分方程由由表明棒作角简谐振动表明棒作角简谐振动三、三、谐振子模型谐振子模型 符符合合简简谐谐振振动动微微分分方方程程的的振振动动体体称称为为谐谐振振子子，它它是是振振动动学学的的研研究究基基础础. . 弹弹簧簧振振子子、无无阻阻尼尼LC振振荡荡电电路路等等是是典典型型的的经经典典谐谐振振子子模模型型，依依据据量量子子物物理理研研究究微微观观谐振子可揭示其能量量子化谐振子可揭示其能量量子化. .9-2 简谐振动的描述简谐振动的描述预习要点预习要点1.简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确如何确定它们的数值？定它们的数值？2. 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用.3.注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.一、振幅和初相位一、振幅和初相位1. 振幅振幅质点在振动过程中离开平衡位置的质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移最大位移的绝对值的绝对值.表征了系统的能量，由初始条件决定表征了系统的能量，由初始条件决定. 由由时时, ,有有得得2. 2. 相位相位在在 中，中， 称为振动的相位称为振动的相位. .（1 1） ， 存在一一对应的关系；即其决存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻的定质点在时刻的t的的位置和速度位置和速度( (即时刻即时刻t的运动状态的运动状态).).（2 2）初初相相位位 描描述述质质点点初初始始时时刻刻的的运运动动状状态态( (初初位置位置 和初速度和初速度 . . 已知初始条件已知初始条件 也可确定初相也可确定初相. . 上上式式可可求求得得 在在 区区间间内内两两个个解解，应应进进一一步步由由 的的符符号号判判定定 和和 的的符符号号后后选选定定其其中中的一个解的一个解. .二、相位差二、相位差 表示两个相位之差表示两个相位之差. . 对于两个对于两个同同频率的简谐运动，频率的简谐运动，相位差表示它们间相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异. . 两个两个同同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关时间无关. .1.1.相位差相位差2.2.超前和落后超前和落后 若若 ，则则x2比比x1较较早早达达到到正正最最大大，称称x2比比x1超前超前( (或或x1比比x2落后落后). ). 3. 3.同相和反相同相和反相 当当 =2k， ( k = 0,1,2,)，两两振振动动步步调调相相同同，称称同相同相. . 当当=(2k+1)， ( k=0,1,2,)，两两振振动动步步调调相相反反，称称反相反相. . OA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 x2TxOA1-A1A2- A2x1t反相反相两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线三、简谐振动的旋转矢量表示法三、简谐振动的旋转矢量表示法MP 可见，旋转矢量的长度可见，旋转矢量的长度A、角速度角速度 和和t=0时与时与x轴轴的夹角的夹角 分别代表投影点分别代表投影点简简谐振动的三个特征量：振幅、谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位角频率和初相位. . 如图，一长度为如图，一长度为A的矢量的矢量 绕其始端绕其始端O以恒角速度以恒角速度沿逆时针方向转动，其矢端沿逆时针方向转动，其矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P将以将以O为平衡位置做为平衡位置做简谐振动简谐振动. . 任任一一时时刻刻旋旋转转矢矢量量与与x轴轴的的夹夹角角 为为投投影影点点简简谐谐振动的相位振动的相位. . 规定规定 沿逆时针方向转动，则相位沿逆时针方向转动，则相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态的运动状态. . 所所以以，作作匀匀速速转转动动的的矢矢量量，其其矢矢端端在在过过其其始始端端的的直线直线(x轴轴)上的投影的运动就是上的投影的运动就是简谐振动简谐振动. .A简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径长半径长初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度旋转周期旋转周期物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较9-3简谐振动的合成简谐振动的合成预习要点预习要点1.注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 分分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？2.了解两个互相垂直的简谐振动的合成了解两个互相垂直的简谐振动的合成.一、一、两个同方向同频率的简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动的合成 两两个个同同方方向向同同频频率率简简谐谐运运动动合合成成后后仍仍为为简简谐谐运运动动，角速度不变角速度不变.1. .当当时时, , 合振动振幅合振动振幅最大最大. . 2. .当当时时, , 合振动振幅合振动振幅最小最小. .3. 3. 一般情况一般情况* *二、二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成两式消去两式消去t，合振动合振动分振动分振动为为椭圆椭圆轨迹方程，顺时针运行轨迹方程，顺时针运行.为直线方程为直线方程. 讨论讨论1.同相位同相位2. .为标准椭圆方程，逆时针运行为标准椭圆方程，逆时针运行.3. .反相位反相位4. .为标准椭圆方程，逆时针运行为标准椭圆方程，逆时针运行.为直线方程为直线方程.