学习必备欢迎下载二次函数提高性复习总结知识点 1 定义： 一般地，如果cbxaxy2(cba、是常数，0a） ，那么y叫做x的二次函数。例 1、 函数的解析式为cbxaxy2，其中cba、为常数。当 a 时该函数为二次函数；当 a、b时该函数为一次函数；当 a、b、c 时该函数为正比例函数。练 1、 （1）12) 1(12mxxmym的图像是抛物线，求m； （2）若232)3(mmxmy是二次函数，求m值。知识点 2、二次函数cbxaxy2由特殊到一般的几种表现形式之图像特征例 2、 某二次函数的图象如图所示，其解析式为 （）4.2xyA24.xyB)4(43.2xyC)2(43.2xyD练 2、二次函数9)2(32xy的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A开口向上，对称轴为2x，顶点为（2， 9）B开口向下，对称轴为2x，顶点为（ 2，9）C开口向上，对称轴为2x，顶点为（2， 9）D开口向下，对称轴为2x，顶点为（ 2， 9）知识点 3、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是abacab4422，对称轴是直线abx2。（2）配方法：将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为)(kh，对称轴是直线hx。（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。例 3、已知抛物线322xxy，若点)52(，P与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称，求点Q 的坐标。函数开 口 方 向对 称 轴顶 点 坐 标0a0a2axy开口向上开口向下0x（y轴）)00( ，kaxy20x（y轴）)0(k，2）（hxayhx)0( ，hkhxay2）（hx)(kh，cbxaxy2abx2abacab4422，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载C A y x O 练 3、用配方法将函数12212xxy化为khxay2）（的形式是（）1)2(21.2xyA1)1(21.2xyB3)2(21.2xyC1)2(21.2xyD知识点 4、在抛物线cbxaxy2(cba、是常数且0a）中，常数cba、所起的作用（1）a决定了抛物线cbxaxy2开口方向及开口大小：a的正、负决定抛物线的开口方向：当0a时，抛物线开口向上；当0a时， 抛物线开口向下；a的大小决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。（2）b和a共同决定了抛物线对称轴的位置：由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为0x(y轴 )；0ab时，对称轴在y轴左侧；0ab时，对称轴在y轴右侧。（3）c决定了抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置。 当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点)0(c，；0c， 抛物线过原点00，； 0c， 与y轴交于正半轴上点c，0； 0c， 与y轴交于负半轴上点c，0。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。例如：若抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab。例 4、若抛物线cbxaxy2的图象如图所示，OCOA，则（）bacA1.cabB1.abcC1.D以上都不对例 4 题图练 4（1）题图练 4（2）题图练4、 （1）小明从如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面5条信息：0c0abc0abc032ba40cb你认为其中正确信息的有（）个，能说出理由吗？A 2 B3 C4 D5 （2）如图，二次函数2yaxbxc的图象过点)21(，且与x轴交点的横坐标为21xx 、，其中121x、102x。在所列的4 个不等式中，根据，可知正确的是。024cba02ba1aacab482知识点 5、直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为)0(c，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点)(2cbhahh，。（3）x轴与抛物线的交点x轴与抛物线cbxaxy2图像两个交点横坐标21xx 、是对应的一元二次方程02cbxax两个实数根。x轴与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离。（4）平行于x轴的直线与抛物线cbxaxy2的交点同（ 3）一样可能有两个交点、一个交点、没有交点。当有两个交点时，两交点的纵坐标相等。设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根。（5）直线l：0knkxy与抛物线G：02acbxaxy的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点。（6）x轴与抛物线两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴的两交点为)0()0(21，、，xBxA，由于21xx 、是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,，aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121。例 5、已知二次函数)()(2mxamxay（ma、为常数，且0a） 。（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于BA、两点，与y轴交于点D。当ABC的面积等于1 时，求a的值；当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。练 5、已知二次函数mxxy22的图象1C与x轴有且只有一个公共点。（1）求1C的顶点坐标；（2）将1C向下平移若干个单位后，得抛物线2C，如果2C与x轴的一个交点为)03(，A，求2C的函数关系式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载并求2C与x轴的另一个交点坐标；（3）若)2()(21yQynP，、，是1C的两点，且21yy，求实数n的取值范围。知识点 6、用待定系数法求出二次函数的解析式常用方法（1）顶点式：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式khxay2；（2）交点式：已知图像与x轴的交点坐标01，x，02，x，通常选用交点式)(21xxxxay；（3）一般式：已知图像上三点坐标或三对yx、的值，通常选择一般式cbxaxy2。例 6、已知抛物线cbxaxy2的对称轴为1x，与x轴交于BA、，)03(两点，与y轴交于点02C，（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小，求出点P的坐标；（2）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）。过点D作DEPC交x轴于点 E，连接PEPD、。设CD长为m，PDE面积为，S求S与m间的函数关系式。试说明S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由。练 6、如图，抛物线cbxxy2与一直线相交于)01(，A、)32( ，C两点，与y轴交与点N。其顶点为点D。（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点)3(mM，求使MDMN的值最小时m的值；（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作BDEF /，交抛物线于点F，以、DBFE、为顶点的四边形能否为平行A C x y B O 例 6 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载四边形？若能，求点E坐标；若不能，请说明理由；（4）点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求出APC面积的最大值。练 6 题图练 7、如图，抛物线cbxaxy2经过)30()03()01(，、，、，CBA三点，直线l是抛物线的对称轴。（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。图 1 图 2 图 3 图 4 图 5例 7 题图知识点 7、所学各个知识点水乳交融在二次函数的综合性习题中，常作为中考压轴题来甄别学生的数学底蕴是否深厚。例 7、如图，已知二次函数21yxm xm（10m）的图像与x轴交于BA、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l。设 P 为对称轴l上的点，连接，、PCPAPCPA。（1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m 的代数式表示） ；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以CBQ、为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。yxOPCBAl例 8 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载练 8、在平面直角坐标系xoy中，抛物线22153244mmyxxmm与x轴的交点分别为原点O和点A，点），nB 2(在这条抛物线上。（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得PEED，以PD为斜边，在PD右侧作等腰PCDRt（当点P运动时，点DC、也随之运动） 。当等腰PCDRt的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若点P从点O出发向点A作匀速运动， 速度为每秒1 个单位， 同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2 个单位（当点Q到达点O时停止运动， 点 P也停止运动） 过Q作x轴垂线， 与直线AB交于点F，延长QFF 到点M，使得QFFM，以QM为斜边， 在QM的左侧作等腰QMNRt（当点Q运动时， 点NM、也随之运动） ，若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载练 7 题图练 9、如图 1，在ABCRt中，90C，68BCAC，点P在AB上，2AP点FE、同时从点P出发，分别沿PBPA、以每秒 1 个单位长度的速度向点BA、匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止。在点FE、运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧。设FE、运动的时间为t秒)0(t，正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S。（1）当1t时，正方形EFGH的边长是 _；当3t时，正方形EFGH的边长是 _；（2）当21t时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图 1 图 2 图 3 图 4 练 8 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页