精品资料欢迎下载第八章多元函数微分法及其应用(A) 1填空题(1)若yxfz,在区域 D 上的两个混合偏导数yxz2，xyz2，则在 D 上，xyzyxz22。(2)函数yxfz,在点00,yx处可微的条件是yxfz,在点00,yx处的偏导数存在。(3)函数yxfz,在点00, yx可微是yxfz,在点00, yx处连续的条件。2求下列函数的定义域(1)yxz；(2)22arccosyxzu3求下列各极限(1)xxyyxsinlim00；(2)11lim00xyxyyx； (3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx4设xyxzln，求yxz23及23yxz。5求下列函数的偏导数(1)xyarctgz；(2)xyzln；(3)32zxyeu。6设utuvzcos2，teu，tvln ，求全导数dtdz。7设zyeux，tx，tysin，tzcos ，求dtdu。8曲线4422yyxz，在点 (2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？9求方程1222222czbyax所确定的函数z的偏导数。10设yxyezx2sin2，求所有二阶偏导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页精品资料欢迎下载11设yxfz,是由方程yzzxln确定的隐函数，求xz，yz。12设xyeexy，求dxdy。13设yxfz,是由方程03xyzez确定的隐函数，求xz，yz，yxz2。14设yyezxcos2，求全微分 dz。15求函数222lnyxz在点2, 1的全微分。16利用全微分求2201. 498. 2的近似值。17求抛物面22yxz与抛物柱面2xy的交线上的点2 ,1 , 1P处的切线方程和平面方程。18求曲面3914222zyx上点3, 1,2P处的切平面方程和法线方程。19求曲线tx34，2ty，3tz上点0000,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。20求函数224,yxyxyxf的极值。21求函数yyxeyxfx2,22的极值。22要建造一个容积为10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？ (B) 1求下列函数的定义域(1)222410lnlnarcsinyxyxz；(2)222241yxyxu2(1)设22,yxxyyxf，求yxf,，xyyxf,。(2)设yxyxf2,，求yxfxyf,3求下列函数的极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页精品资料欢迎下载(1)2222221limyxyxyx；(2) 22221100sinlimyxyxyxee4设0 ,0,00 ,0),(,24yxyxyxxyyxf当当，问yxfyx,lim00是否存在？5讨论函数的连续性，其中yxyxyxyxxyxf2,02,22sin,。6二元函数0 ,0,00 ,0,22yxyxyxxyyxf在点0,0处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。7设yyxz21，求xz，yz。8设zyxfu23223，求xf，22xf。9设zyxfu2 ,3,223，求zf，xzf2。10设2222,yxyxxyfz，f可微，求 dt 。11设0,xzzyxyf，求xz，yz。12设0zxyz，求111zyxdz。13设sin,cosrrfz可微，求全微分 dz。14设yxfz,是由方程0, yzzxf所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求 dz，并由此求xz和yz。15求xyyxz22的偏导数。16设10222zyxzyx，求dzdx，dzdy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页精品资料欢迎下载17设xyzeu，求zyxu3。18求函数xyzu在点2, 1 , 5处沿从点2, 1 , 5到点14,4, 9方向的方向导数。19求函数222zyxxu在点2,2, 1M沿tx，22ty，42tz在此 点的切线方向上的方向导数。20求函数zyxu2286在点 P 处沿方向 n的方向导数。21判断题： (简单说明理由 ) (1)00,yxyyxf就是yxf,在00, yx处沿y轴的方向导数。(2)若yxf,在00, yx处的偏导数yf，yf存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。22证明曲面4323232zyx上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23证明：球面：1222zyx上任意一点cba,处的法线都经过球心。24求椭球面163222zyx上的一点3 ,2, 1处的切平面与平面0z的交角。25设u，v都是x， y，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：26问函数zxyu2在2, 1, 1P处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。27求内接于椭球面122222czbyax的最大长方体的体积。28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R 与 报 纸广 告费x及 电 视广 告费 y ( 单位 ： 万 元)之 间 的 关 系有 如下 经验 公 式：221028311415yxxyyxR，在限定广告费为1.5 万元的情况下， 求相应的最优广告策略。29求函数yxeyxf,的n阶麦克劳林公式，并写出余项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页精品资料欢迎下载30利用函数yxyxf,的 2 阶泰勒公式，计算02.111的近似值。 (C) 1证明0lim2200yxxyyx。2设yxyxyxf,|,，其中yx,在点0 ,0，邻域内连续，问 (1)yx,在什么条件下，偏导数0 ,0xf，0 ,0yf存在； (2)yx,在什么条件下，yxf,在0 ,0处可微。3设txfy,而t为由方程0,tyx所决定的函数，且tyx,是可微的，试求dxdy。4设yxzz,由0ln2dtezzxyt确定，求yxt2。5从方程组1122222vuzyxvuzyx中求出xu，xv，2xu，2xv。6设byaxeyxuz,，且02yxu，试确定常数a， b ，使函数yxzz,能满足方程：02zyzxzyxz。7证明：旋转曲面22yxfz)0( f上任一点处的法线与旋转轴相交。8试证曲面azyx(0a)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。9抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10 设x轴正向到方向 l 的转角为， 求函数22,yxyxyxf在点1 , 1沿方向 l 的方向导数，并分别确定转角，使这导数有 (1)最大值； (2)最小值； (3)等于 0。第八章多元函数微分法及其应用(A) 1填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页精品资料欢迎下载(1)若yxfz,在区域D上的两个混合偏导数yxz2，xyz2连续，则在D上，xyzyxz22。(2)函数yxfz,在点00,yx处可微的必要条件是yxfz,在点00, yx处的偏导数存在。(3)函数yxfz,在点00,yx可微是yxfz,在点00, yx处连续的充分条件。2求下列函数的定义域(1)yxz解：设定义域为 D ，由0y和0yx，即02yx，0x得yxyxyxD2,0,0|,，如图 1 所示(2)22arccosyxzu解：设定义域为 D ，由022yx，即x， y不同时为零，且122yxz，即222yxz，得0,|,22222yxyxzzyxD。3求下列各极限(1)xxyyxsinlim00(2)11lim00xyxyyx解：原式yxyxyyxsinlim00解：原式) 11)(11()11(lim00xyxyxyxyyx001211l i m00xyyxy O (0,1) x 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页精品资料欢迎下载(3)22222200)()cos(1limyxyxyxyx解：原式222222222200422sin2limyxyxyxyxyx220011lim21yxyx4设xyxzln，求yxz23及23yxz解：1lnlnxyxyyxxyxzxxyyxz122，023yxz，yxyxyxz12，2231yyxz5求下列函数的偏导数(1)xyarctgz解：222222211yxyyxyxxxyxxyxz类似地22211yxxxyyxyxz(2)xyzln解：xyxxyxyxxxzln211lnln121lnln同理可证得：xyyyzln21(3)32zxyeu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页精品资料欢迎下载解：32323232zxyzxyezyzxyxexz3223322zxyzxyexyzzxyyeyu323222323zxyzxyezxyzxyzezu6设utuvzcos2，teu，tvln ，求全导数dtdz。解：utvutuvuuzsincos22，uvutuvvvz2cos2，utzcos依复合函数求导法则，全导数为dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz1c o s12s i n2utuveutvttttteteteettc o sln2sinln27设zyeux，tx，tysin，tzcos ，求dtdu。解：dtdzzudtdyyudtdxxudtdutetezyexxxs i nc o stets i n28曲线4422yyxz，在点 (2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少？解：242xxxz，tgzz15,4,2，故4。9求方程1222222czbyax所确定的函数z的偏导数。解：关于x求导，得到02222xzczax，即zaxczx22关于 y 求导，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页精品资料欢迎下载02222yzczby，即zbyczy22。10设yxyezx2sin2，求所有二阶偏导数。解：先求一阶偏导数，得yyexzx2sin22，yxeyzx2cos22再求二阶偏导数，得xxyeyyexxzxxz222242sin2，yeyyeyxzyyxzxx2cos222sin2222，yeyxeyyzxxyzxx2c o s222c o s2222，yxyxeyyzyyzx2si n42c o s222211设yxfz,是由方程yzzxln确定的隐函数，求xz，yz。解一：记yzzxzyxFln,，则zFx1，yyzzyFy12，221xzxzzxFz当0zF时，便得zxzzxzFFxzzx221，zxyzzzxyFFyzzy221。解二： （提示）直接对方程yzzxln两边求偏导数，并明确z是x、 y 的函数，即可得xz，yz。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页精品资料欢迎下载12设xyeexy，求dxdy。解：令xyeexyyxF,，则xxeyF，yyexF，则yxyxexeyFFdxdy。13设yxfz,是由方程03xyzez确定的隐函数，求xz，yz，yxz2。解：方程两边对x求偏导数，有03yxzxzez，即013yxzez解得zeyxz13类似地，方程两边对y 求偏导数，解得zexyyz132再求二阶混合偏导数，得2322113zzzeyzeyeyxzyyzz把上述yz的结果代入，便得：33222113zzzeexyeyyxz。14设yyezxcos2，求全微分 dz。解：由于22xxyexz，yeyzxsin2，所以全微分为dyyedxxyedyyzdxxzdzxxsin222。15求函数222lnyxz在点2, 1的全微分。解：72222, 1222, 1yxxxz，74222, 1222, 1yxyyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页精品资料欢迎下载所以dydxdz7472。16利用全微分求2201. 498. 2的近似值。解：设22yxz，则全微分yyxyxyxxdz2222由近似关系dzz，得yyxyxyxxyxyyxx22222222上式中取3x，02. 0x，4y，01.0y，得01.043402.04334301.498.222222222996.4008. 0012. 05因此，所求近似值996.401.498.222。17求抛物面22yxz与抛物柱面2xy的交线上的点2 ,1 , 1P处的切线方程和平面方程。解：交线方程222yxzxy，只要取x作参数，得参数方程：,422xxzxyxx则有1dxdx，xdxdy2，342xxdxdz，于是交线在点2 ,1 , 1P处的切线向量为6, 2, 1T。切线向量为622111zyx法平面方程为026121zyx，即01562zyx。18求曲面3914222zyx上点3, 1,2P处的切平面方程和法线方程。解：记3914,222zyxzyxF，则2,xzyxFx，yzyxFy2,，zzyxFz92,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页精品资料欢迎下载于是曲面在点 P 处的法线向量为32,2,13 ,1,2,3, 1, 2,3 , 1,2zyxFFFn从而，切平面方程为03321221zyx，即06322zyx，法线方程为3232112zyx。19求曲线tx34，2ty，3tz上点0000,zyxM，使在该点处曲线的切线平行于平面62zyx。解：曲线在点0000,zyxM处的切线方程为000000tzzztyyytxxx又切线与平面62zyx平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有0121000tztytx，即03434200tt，得320t所以0M点的坐标为278,94,98。20求函数224,yxyxyxf的极值。解：解方程组024,024,yyxfxyxfyx，求得驻点2,2，由于022,2xxfA，02.2xyfB，22,2yyfC，02BAC，所以在点2, 2处，函数取得极大值，极大值为92,2f。21求函数yyxeyxfx2,22的极值。解 ： 解 方 程 组022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx， 得 驻 点1,21。 由 于124,22yyxeyxfAxxx，142yexyfBxxy，xyyeyxfC22,在点1,21处，02eA，0B，eC2 ，224eBAC，所以函数在点1,21处取得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页精品资料欢迎下载极小值，极小值为21,21ef。22要建造一个容积为10 立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8 元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为yxxzxyu1620，(0x，0y，0z)， 且x， y ，z必须满足10xyz， 从解出xyz10代入，得yxxyu116020，(0x，0y)，于是问题就成为求u当0x，0y时的最小值，由极值的必要条件，有. 016020; 01602022yxyuxyxu解此方程组得2yx。据题意存在最小造价， 而2x，xy是唯一驻点，所以当2x，2y，25z时，水池的材料造最小。(B) 1求下列函数的定义域(1)222410lnlnarcsinyxyxz解： 设定义域 D 。 使2a r c s i nyx有意义的区域为：12yx， 即1122yx，1122yxy， 使22410lnlnyx有 意 义 的 区 域 为 ：141022yx， 即194922yx。故定义域1949, 11|,2222yxyxyyxD。如图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页精品资料欢迎下载(2)222241yxyxu解：设定义域为 D 。由根式性质可知，必须0412222yxyx，且0422yx，即04012222yxyx或04012222yxyx解得：41|,22yxyxD。如图 3 2(1)设22,yxxyyxf，求yxf,，xyyxf,。解：设vxyuyx，则得vuvyvux11由此vvuvuvvuvuf1111,222从而yyxyxf11,2xyxyyxxyyxf11,2(2)设yxyxf2,，求yxfxyf,解：xyyxyxxyyxfxyyxfxyf4222,2,. 3求下列函数的极限(1)2222221limyxyxyxy y 1.5 x x 3 0 图 2 0 1 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页精品资料欢迎下载解：原式442222221limeyxyxyx(2) 22221100sinlimyxyxyxee解：原式1sinlim22221100yxyxyxee4设0 ,0,00 ,0),(,24yxyxyxxyyxf当当，问yxfyx,lim00是否存在？解：取沿直线xy的途径，当0,0, yxP时，有111limlim,lim202400xxxxxyxfxxxyxxy，沿抛物线xy的途径，当0 ,0, yxP时，有01limlim,lim30400xxxxxxyxfxxxyyxy可见，沿两条不同的途径，函数的极限不同，故极限yxfyx,lim00不存在。5讨论函数的连续性，其中yxyxyxyxxyxf2,02,22sin,。解：在0,0处，0 ,0022sinlim,lim0000fyxyxxyxfyxyx所以yxf,在0 ,0处连续若0200yx，则取路径yx2，0y则000022,222sinlim,lim00yxfxyyxyxxyxfxxyxxxyx因此，间断点为直线yx2，除0, 0以外的其他点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页精品资料欢迎下载6二元函数0 ,0,00 ,0,22yxyxyxxyyxf在点0,0处：连续，偏导数存在；连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在。解：应选事实上，由于222001limkkyxxykxyx，随k 的值不同而改变，所以极限不存在，因而yxf,在点0,0处不连续，又000lim0 ,0220xxxfxx，类似地00,0yf，所以yxf,在0 ,0处的偏导数存在。7设yyxz21，求xz，yz。解：令yxu21，yv，于是vuz，得xvvzxuuzxz1221120ln2yvvyxxyuuxyvu，yvvzyuuzyz1ln21uuxvuvvyxyxyxyxyy221221ln11。8设zyxfu23223，求xf，22xf。解：zyxfxxf2326232，fxfxxf4223612。9设zyxfu2 ,3,223，求zf，xzf2。解：32fzf，312212fxxzf。10设2222,yxyxxyfz，f可微，求 dt 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页精品资料欢迎下载解：dyyzdxxzdz，先求xz，yz21221222ffyxyfxfxfxyyfxz，21221222ffxyxfyfyfxyxfyz，所以dyffxyxfdxffyxyfdz21221222。11设0,xzzyxyf，求xz，yz。解：关于x求导，而yxzz,，得0321xzxzFxzFyF即03231xzxFFzFyF(*) 得：32312FFFFyxz相仿地，可得3212FxFFxFyz。12设0zxyz，求111zyxdz。解：令zxyzF，yyxzzzzFxFxzzxxlnln1，yyxzzyzFyFyzzxzln11dyyzdxxzdz，于是在1 ,1 , 1处dydz。13设sin,cosrrfz可微，求全微分 dz。解：drrdfdzsincossincos21rdfrdf21c o ss i ns i nc o sfdrdrfdrdrrdffdrffsincossincos1221。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页精品资料欢迎下载14设yxfz,是由方程0, yzzxf所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求 dz，并由此求xz和yz。解：方程两边求全微分，得021yzdfzxdf，即0211udzzdyfdzfdxf，即02121dzf yfdyf zdxf，当021fyf时，解出dyfyff zdxfyffdz212211由此得到211f yffxz，212f yffzyz。15求xyyxz22的偏导数。解：令22yxu，xyv，则vuz，z是x， y 的复合函数。1vvuuz，uuvzvln，xxu2，yyu2，yxv，xyv于是，22222221ln2ln2yxyyxyxyxyuuxvuxzxyvv，22222221ln2ln2yxxyxxyyxxuuyvuyzxyvv16设10222zyxzyx，求dzdx，dzdy。解：所给方程组确定两个一元隐函数：zxx和zyy，将所给方程的两边对z求导，得zdzdyydzdxxdzdydzdx2221在022211zyyxD的条件下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页精品资料欢迎下载yxzyDyzdzdx2211，yxxzDzxdzdy2211。17设xyzeu，求zyxu3。解：xyzyzexu，xyzyeyzyxu2xyzxyzxyzexyzzxyzeez1xyexyzzzxyeexyzzuxuxyzxyzxyz113xyzezyxxyz22231. 18求函数xyzu在点2, 1 , 5处沿从点2, 1 , 5到点14,4, 9方向的方向导数。解：12, 3 ,4214, 14 ,59L13| L，134cos,133cos，1312cos。因为coscoscoszuyuxuluxyxzyz1312133134所以1398513121014221342, 1 ,5lu。19求函数222zyxxu在点2,2, 1M沿tx，22ty，42tz在此 点的切线方向上的方向导数。解：因曲线过2,2,1M点，所以10t，10tx，40ty，80tz，切线的方 向余 弦 为98,94,91， 又2782322222MMxzyxzyu，类 似 地，272Myu，272Mzu，故24316982729427291278lu。20求函数zyxu2286在点 P 处沿方向 n的方向导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页精品资料欢迎下载解：zuyuxudugra,，14686622PPyxzxxu，1488682PPyxzyyu，1486222zyxzuP由0ndugrauu，曲面的外侧法线向量为1 ,3 ,222 ,6,4Pzyxn则7111 , 3 ,214114,148,146uu。21判断题： (简单说明理由 ) (1)00,yxyyxf就是yxf,在00, yx处沿y轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若yxf,在00,yx处的偏导数yf，yf存在， 则沿任一方向 l 的方向导数均存在。解：错。由于偏导数仅刻画了yxf,在00,yx处沿x轴或y轴的变化率，要确定函数00, yx处沿任一方向的变化率，还应要求此函数在00, yx处可微。22证明曲面4323232zyx上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。证： 令4,323232zyxzyxF。 由于曲面0,zyxF的法向量是zyxFFF,，故曲面上任一点zyx,处法线方向向量为31313132,32,32zyx，设ZYX,为点zyx,处切平面上任一点，则切平面方程为0323232313131zZzyYyxXx，即4313131ZzYyXx，其截距式为1444313131zZyYxX，由此得截距的平方和为：6441616323232zyx。23证明：球面：1222zyx上任意一点cba,处的法线都经过球心。证 ： 令1,222zyxzyxF， 则cba, ，axxFcbacba22,，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页精品资料欢迎下载byyFcbacba22,，czzFcbacba22,，法线方程为：cczbbyaax222，于是任一法线都过原点。24求椭球面163222zyx上的一点3 ,2, 1处的切平面与平面0z的交角。解：设163,222zyxyzxF，则法向量为xFx6，yFy2，zFx2，在3 ,2, 1处的法向量3 ,2,326 ,4,6n。又平面0z的法向量1 ,0 ,01n，由平面夹公式：22313)2()3(1130203cos22，即223arccos。25设u，v都是x， y ，z的函数，u，v的各偏导数都存在且连续，证明：dvugraduvgrauvdrga)(。证：kzuvjyuvixuvduvgrakzvuzuvjyvuyuvixvuxuvkzvjyvixvukzujyuixuvdvugraduvgra26问函数zxyu2在2, 1, 1P处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。解：22,2,xyxyzzyuuudugrazyx1 , 4, 22,2,1dugra是方向导数最大值的方向。21142222dugra是此方向导数的最大值。27求内接于椭球面122222czbyax的最大长方体的体积。解：设zyxP,是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为：xyzV8(0x，0y，0z) (*1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页精品资料欢迎下载由于yzxP,在椭球面上，故x， y ，z应满足条件：122222czbyax，于是问题即求函数(*1)在约束条件（ *2）下的条件极限问题。引入L 函数18,222222czbyaxxyzzyxF令)4(01)3(,028)2(,028) 1(,028222222222czbyaxFczxyFbyxzFaxyzFzyx得：328xyz，得唯一解：3ax，3by，3cz由题意，所求的最大体积存在故以点(3a,3b,3c)为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大。最大体积为abccbaV9383338。28某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报 纸 广 告 费x及 电 视 广 告 费 y ( 单 位 ： 万 元 ) 之 间 的 关 系 有 如 下 经 验 公 式 ：221028311415yxxyyxR，在限定广告费为1.5 万元的情况下， 求相应的最优广告策略。解；作 L 函数：5.11028311415,22yxyxxyyxzyxF令05.102083104813yxFyxFxyFyx得5.1962yxyx，得唯一解：0x，5.1y。又由题意，存在最优策略，所以将1.5 万全部投到电视广告的方案最好。29求函数yxeyxf,的n阶麦克劳林公式，并写出余项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页精品资料欢迎下载解 ：10,0f，10,0xf，10,0yf， 同理10, 00, 0yxnyxefmnm， 所以nknknnyxRkyxRyxnyxyxyxe022!12! 211其中yxnenyxR!1（10） 。30利用函数yxyxf,的 2 阶泰勒公式，计算02.111的近似值。解：在点1 , 1处将yxyxf,展开成三阶泰勒公式：11 , 1f，11 , 11 , 11yxyxf，0ln1 ,11,1xxfyy，011 , 11 ,12yxxxyyf，1ln1 , 11 , 111xyxxfyyxy，0ln1 , 11 ,12xxfyyy所以2112! 211111 ,11,Ryxxxyxfyxfy1111yxx故102.102.01.01 .011102.1。(C) 1证明0lim2200yxxyyx。证明：因为xyyx222，即2|22yxxy所以2222222222yxyxyxyxxy0，取2当220yx时，就有2202222yxyxxy所以0lim2200yxxyyx。2设yxyxyxf,|,，其中yx,在点0 ,0，邻域内连续，问 (1)yx,在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页精品资料欢迎下载什么条件下，偏导数0 ,0xf，0 ,0yf存在； (2)yx,在什么条件下，yxf,在0 ,0处可微。分析：从定义出发，进行推演解：(1)0 ,00 ,lim00,lim0,00,0lim000xxxxxfxfxxx0 ,00 ,lim0 ,00 ,0lim00xxfxfxx0,0,0lim,0lim0 ,00 ,0lim000yyyyyfyfyyy0,0, 0lim0, 00 ,0lim00yyfyfyy若00,0，则偏导数0,0xf，0 ,0yf存在，且00,00 ,0yxff。(2)0 ,00,0fyxffyxyx,|2|2222yxyxyxyx，故若00,0，当022yx时，有yxyfxffyx220 ,00, 00,22yxyxyx所以当00,0时，yxf,在0 ,0处可微，且0df。3设txfy,而t为由方程0,tyx所决定的函数，且tyx,是可微的，试求dxdy。分析：可依隐函数求导法则求出dxdy。解；由txfy,，得dxdttfxfdxdy(1) 由0,tyx，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页精品资料欢迎下载0dxdttdxdyyx(2) 将(2)代入(1)，得tdxdyyxtfxfdxdytytfxtftxf。4设yxzz,由0ln2dtezzxyt确定，求yxt2。解：对0ln2dtezzxyt两边关于x求导，得012xexzzxz，解得：12zzexzx(1) 原式两边对 y 求导，得012yeyzzyz解得12zzeyzy(2) (1)式两边对 y 求导得yzzezyzzezeyzyxzxxx222111222以(2)式代入即得：32122zzeyxzyx5从方程组1122222vuzyxvuzyx中求出xu，xv，2xu，2xv。解：将u，v看作x， y，z的函数，将方程组对x求偏导，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页精品资料欢迎下载001xxxxvvuuxvu(*) 解得uvvxux，uvxuvx再将方程组 (*) 对x求偏导数，得010222222xxxxxxvvvuuuvu解得：uvuvxuuvvxuvvuuxxx2222112vuuvxuuvvxvuvuvxxx22221126设byaxeyxuz,，且02yxu，试确定常数a， b ，使函数yxzz,能满足方程：02zyzxzyxz。解：byaxbyaxbyaxeauxuaueexuxz，byaxbyaxbyaxebuyubueeyuyz，byaxbyaxbeauxueyuayxuyxz22byaxeabuyuaxubyxu2byaxeabuyuaxub，代入方程得0111byaxeubaabxubyuya故必须1a，1b。7证明：旋转曲面22yxfz)0( f上任一点处的法线与旋转轴相交。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页精品资料欢迎下载证明：因为fyxxxz22，fyxyyz22所以，在000,zyx处法线方程为：10220020200zzfyxyyyfyxxxx当0yx时，202020200yxfyxzz即法线与旋转轴的交点为202020200,0 ,0yxfyxz。8试证曲面azyx(0a)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。证明：设azyxzyxF,，则zyxn21,21,21，在曲面上任取一点000,zyxM，则在点 M 处的切平面方程为0111000000zzzyyyxxx，即azyxzzyyxx000000，化为截距式，得1000azzayyaxx。所以截距之和为azyxaazayax000000。9抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上点的坐标为zyx,，则原点到椭圆上这一点的距离平方为2222zyxd，其中zyx,同时满足22yxz和1zyx，令1,2221222zyxyxzzyxzyxF，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页精品资料欢迎下载,02,022,022212121zFyyFxxFzyx的前两个方程知yx。将yx代入22yxz和1zyx得22xz和12zx，再由01222xx解得231yx，32z，由题意这种距离的最大值最小值一定存在，所以必在这两点处取得，因为2222zyxd35932231222所以3591d为最长距离；3592d为最短距离。10 设x轴正向到方向 l 的转角为， 求函数22,yxyxyxf在点1 , 1沿方向 l 的方向导数，并分别确定转角，使这导数有 (1)最大值； (2)最小值； (3)等于 0。解：sincosyfxflfs i n2c o s2yxyxsincos1, 1lf故所求的方向导数为sincos20cossinlf，令0lf，得驻点4，45因为0sincos44lf，所以4为极大值点。因为0sincos4545lf，所以45为极小值点。比较sincos1 , 1lf在0、4、45、2的值 1，2，2，1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页精品资料欢迎下载知：当4时，1, 1lf有最大值，当45时，1 ,1lf有最小值。令0sincos1 ,1lf，设43或47故当43或47时，01 ,1lf。注：若只需求方向导的最大值及其转角，则可用梯度来求，1, 1lf取得最大值 的 方 向 为yxyxyfxfyxdfgra2,2,在1 , 1点 处 的 方 向1 , 11 , 1dfgra， 由21c o s，21sinr得4，1 , 1lf的 最 大 值21 , 1dfgra。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页