名师总结优秀知识点圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师总结优秀知识点外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图1rRd图 3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理图 2rRd图4rRd图 5rRdOEDCBAOCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师总结优秀知识点圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD七、圆周角定理1、 圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师总结优秀知识点即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。EDCBANMAOPBAOPODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师总结优秀知识点即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（ 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点12OO垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtO O C中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师总结优秀知识点在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3 :2ODBD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3 :2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn： 圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr hECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师总结优秀知识点二、选择题：13. 若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（）A. 5 B. 1 C. 1 或 5 D. 1 或 4 14. O1和 O2的半径分别为1 和 4，圆心距O1O25，那么两圆的位置关系是（）A. 外离B. 内含C. 外切D. 外离或内含15如果半径分别为1cm 和 2cm 的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm 的圆的个数有（）A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个16若两圆半径分别为R 和 r（Rr） ，圆心距为d，且 R2 d2r22Rd，则两圆的位置关系是（）A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 相交17. 如图， O 的直径为 10 厘米，弦AB 的长为 6cm，M 是弦 AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（）A. 3OM5 B. 4OM 5 C. 3 OM 5 D. 4OM5 18. 已知： O1和 O2的半径是方程x25x60 的两个根，且两圆的圆心距等于5 则O1和 O2的位置关系是（）A. 相交B. 外离C. 外切D. 内切19. 如图， ABC 为等腰直角三角形，A90， ABAC 2， A 与 BC 相切 ，则图中阴影部分的面积为（）A. 12B. 13C. 14D. 15 20. 如图，点B 在圆锥母线VA 上，且 VB13VA，过点 B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥，若小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则下列判断中正确的是（）A. S113SB. S114SC. S116SD. S119S三、填空题21. 若半径分别为6 和 4 的两圆相切，则两圆的圆心距d 的值是 _ 。22. O1和 O2的半径分别为20 和 15，它们相交于A，B 两点，线段AB24，则两圆的圆心距 O1O2 _。23. O1和 O2相切，O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则 O2的半径为 _; O1和 O2相切， O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则 O2的半径为 _A B M O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师总结优秀知识点24.O1、 O2和 O3是三个半径为1 的等圆，且圆心在同一直线上，若O2分别与 O1，O3相交， O1与 O3不相交，则 O1与 O3圆心距d的取值范围是_。25. 在 ABC， C90， AC3，BC 4，点 O 是 ABC 的外心，现在以O 为圆心，分别以 2、 2.5、 3、 为半径作 O， 则点 C 与 O 的位置关系分别是_26.如图在 O 中，直径AB弦 CD，垂足为P， BAD 30，则 AOC 的度数是_度27.在 RtABC，斜边 AB13cm，BC12cm，以 AB 的中点 O 为圆心， 2.5cm为半径画圆，则直线 BC 和 O 的位置关系是_28. 把一个半径为12 厘米的圆片， 剪去一个圆心角为120的扇形后， 用剩下的部分做成一个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是_ 29.已知圆锥的母线与高的夹角为30， 母线长为 4cm，则它的侧面积为 _ cm2（结果保留 ） 。30. 一个扇形的弧长为4 ，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。四、解答题：31. 已知：如图，O1和 O2相交于点A、B，过点A 的直线分别交两圆于点C，D 点 M是 CD 的中点直线，BM 分别交两圆于点E、F。 求证： CE/DF 求证： ME MF 32. ABC 的三边长分别为6、8、10，并且以A、 B、C 三点为圆心作两两相切的圆，求这三个圆的半径33. 如图所示， O1和 O2相切于 P 点，过 P 的直线交 O1于 A,交 O2于 B，求证：O1AO2B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师总结优秀知识点34. 如图， A 为 O 上一点，以A 为圆心的 A 交 O 于 B、C 两点， O 的弦 AD 交公共弦 BC 于 E 点。（1）求证： AD 平分 BDC（2）求证： AC2AEAD35. 如图， O 的半径 OC 与直径 AB 垂直，点P 在 OB 上， CP 的延长线交O 于点 D，在 OB 的延长线上取点E，使 ED EP（1）求证： ED 是 O 的切线；（2）当 OC 2，ED2 时，求 E 的正切值tanE 和图中阴影部分的面积*36. 两圆相交于A、B，过点 A 的直线交一个圆于点C，交另一个圆于点D，过 CD 的中点P 和点 B 作直线交一个圆于点E，交另一个圆于点F，求证： PE=PFA B D O E C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页