第第08章章 线性电路的频率特性线性电路的频率特性8. 3 RLC串联谐振电路串联谐振电路8. 4 GCL并联谐振电路并联谐振电路8. 5 串并联电路的谐振串并联电路的谐振*8. 1 网络函数与频率特性网络函数与频率特性8. 2 RC电路的频率特性电路的频率特性8. 1 网络函数与频率特性网络函数与频率特性* 电路电路(网络网络)的频率响应特性的频率响应特性(网络函数网络函数)* 为什么要研究电路的频率响应特性为什么要研究电路的频率响应特性 H为为 的函数的函数,反映了网络的频率特性反映了网络的频率特性,它由其内它由其内部结构和元件参数决定部结构和元件参数决定.网络函数网络函数策动点函数（当激励与响应位于同一端口）策动点函数（当激励与响应位于同一端口）（driving point function）转移函数（当激励与响应位于不同端口）转移函数（当激励与响应位于不同端口）（transfer function）N-+N-+N-+-NN+-N-+8. 2 RC电路的频率特性电路的频率特性一、一、RC低通滤波电路低通滤波电路+-+-RRC低通滤波电路低通滤波电路10 c=1/RC幅频特性幅频特性0- /4- /2相频特性相频特性 c=1/RC通频带通频带 阻频带阻频带 高通高通 低通低通滤波滤波 截止角频率截止角频率 半功率点半功率点概念：概念：0|H(j )| c(a)理想低通理想低通0|H(j )| c(b)理想高通理想高通0|H(j )| c1(c)理想带通理想带通 c20|H(j )| c1(d)理想带阻理想带阻 c2二、二、RC高通滤波电路高通滤波电路+-+-RRC高通滤波电路高通滤波电路0 /4 /2相频特性相频特性 c=1/RC10 c=1/RC幅频特性幅频特性三、三、RC选频电路（文氏电路）选频电路（文氏电路）+-+-R文氏电路文氏电路R1/30 0 c1 c20- /2 /2 0一级一级RC电路移相电路移相| ( )| /28. 3 RLC串联谐振电路串联谐振电路当当满满足足一一定定条条件件(对对RLC串串联联电电路路，使使 L=1/ C)，电电路路呈呈纯纯电电阻阻性性，端端电电压压、电电流流同同相相，电电路路的的这这种种状状态态称为谐振。称为谐振。Rj L+_谐振：谐振：一、一、 谐振谐振(resonance)的定义的定义串联谐振：串联谐振：二、使二、使RLC串联电路发生谐振的条件串联电路发生谐振的条件1. L C 不变，改变不变，改变 。2. 电源频率不变，改变电源频率不变，改变 L 或或 C ( 常改变常改变C )。谐振角频率谐振角频率 (resonant angular frequency)谐振频率谐振频率 (resonant frequency) 通通常常收收音音机机选选台台，即即选选择择不不同同频频率率的的信信号号，就就采采用用改改变变C使电路达到谐振使电路达到谐振(调谐调谐)。三、三、RLC串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。2. 输输入端阻抗入端阻抗Z为为纯电阻，即纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值电路中阻抗值|Z|最小。最小。3. 电流电流I达到最大值达到最大值I0=U/R (U一定一定)。Rj L+_+_4. 电电阻阻上上的的电电压压等等于于电电源源电电压压，LC上串联总电压为零，上串联总电压为零，即即串串联联谐谐振振时时，电电感感上上的的电电压压和和电电容容上上的的电电压压大大小小相相等等，方方向向相相反反，相相互互抵抵消消，因因此此串串联联谐谐振振又又称称电电压压谐振谐振。谐振时的相量图谐振时的相量图5. 功率功率P=RI02=U2/R，电阻功率最大。电阻功率最大。即即L与与C交换能量，与电源间无能量交换。交换能量，与电源间无能量交换。+_PQLCR四、特性阻抗和品质因数四、特性阻抗和品质因数1. 特性阻抗特性阻抗 (characteristic impedance)单位：单位： 与电源频率无关，仅由与电源频率无关，仅由L、C参数决定。参数决定。2. 品质因数品质因数(quality factor)Q它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。的参数决定。无量纲无量纲(a) 电压电压品质因数的意义：品质因数的意义：即即 UL0 = UC0=QU谐振时电感电压谐振时电感电压UL0(或电容电压或电容电压UC0)为电源电压的为电源电压的Q倍。倍。当当 Q 很高，很高，L 和和 C 上出现高电压上出现高电压 ,这一方面可以利用，这一方面可以利用，另一方面要加以避免。另一方面要加以避免。例：例： 某收音机某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20 但但是是在在电电力力系系统统中中，由由于于电电源源电电压压本本身身比比较较高高，一一旦旦发发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。如信号电压如信号电压10mV , 电感上电压电感上电压650mV ， 这是所要的。这是所要的。(b) 能量能量设设电场能量电场能量磁场能量磁场能量电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。总储能是常量，不随时间变化总储能是常量，不随时间变化.由由Q 的定义：的定义：Q 值越大，维持一定量的电磁振荡所消耗的能量值越大，维持一定量的电磁振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的愈小，则振荡电路的“品质品质”愈好。愈好。五、五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性1. 阻抗的频率特性阻抗的频率特性|Z( )|R 0 O阻抗幅频特性阻抗幅频特性 ( ) 0 O /2 /2阻抗相频特性阻抗相频特性电流谐振曲线电流谐振曲线 0 O|Y( )|I( )U/R2. 电流谐振曲线电流谐振曲线谐振曲线：表明电压、电流与频率的关系。谐振曲线：表明电压、电流与频率的关系。幅值关系：幅值关系：可见可见I( )与与 |Y( )|相似。相似。从从电电流流谐谐振振曲曲线线看看到到，谐谐振振时时电电流流达达到到最最大大，当当 偏偏离离 0 0时时，电电流流从从最最大大值值U/R降降下下来来。换换句句话话说说，串串联联谐谐振振电电路路对对不不同同频频率率的的信信号号有有不不同同的的响响应应，对对谐谐振振信信号号最最突突出出(表表现现为为电电流流最最大大)，而而对对远远离离谐谐振振频频率率的的信信号号加加以以抑抑制制(电电流小流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性选择性”。3. 频率选择性与通用谐振曲线频率选择性与通用谐振曲线(a)选择性选择性 (selectivity) 0 OI( )为了方便与不同谐振回路之间进行比较，令：为了方便与不同谐振回路之间进行比较，令：(b) 通用谐振曲线通用谐振曲线Q=100Q=1通用谐振曲线：通用谐振曲线：Q=1010.70701（1）标准化：最大值为标准化：最大值为1，且总出现在，且总出现在 / 0=1处，便于比较。处，便于比较。（2）Q越大，谐振曲线越尖，选频性能越好。越大，谐振曲线越尖，选频性能越好。 Q是反映谐振是反映谐振电路选频性能的一个重要指标。电路选频性能的一个重要指标。Q=100Q=1Q=1010.70701称为称为通频带通频带 (Band Width)可以证明：可以证明：若若Bffc2fc1, 则：则：例：例：如图电路工作在谐振状态，求（如图电路工作在谐振状态，求（1）谐振角频率）谐振角频率 0 （2）品质因数）品质因数Q、特性阻抗特性阻抗 及谐振时及谐振时UL0 和和Uc0 （3）电路总的储能电路总的储能W （4）通频带通频带B R=1 L=1mH+_C=0.1 Fus解：解：例：例：RLC串联谐振电路，若已知谐振角频率串联谐振电路，若已知谐振角频率 0 =104rad/s，特性阻抗特性阻抗 =1000 ，Q=50，求求R、L、C。*4. UL( )与与UC( )的频率特性的频率特性(不讲不讲）UL( )：当当 =0， UL( )=0； 0 0，电电流流开开始始减减小小，但但速速度度不不快快， XL继继续续增增大大，UL 仍仍有有增增大大的的趋趋势势，但但在在某某个个 下下UL( )达达到到最最大大值值，然然后后减减小小。 ，XL， UL( )=U。类似可讨论类似可讨论UC( )。UUC( Cm)QU Cm Lm 0UL( )UC( )U( )1根据数学分析，当根据数学分析，当 = Cm时，时，UC( )获最大值；获最大值；当当 = Lm时，时，UL( )获最大值。且获最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。Q越高，越高， Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0。 Lm Cm = 0。上上面面得得到到的的都都是是由由改改变变频频率率而而获获得得的的，如如改改变变电电路路参数，则变化规律就不完全与上相似。参数，则变化规律就不完全与上相似。上上述述分分析析原原则则一一般般来来讲讲可可以以推推广广到到其其它它形形式式的的谐谐振振电电路路中中去去，但但不不同同形形式式的的谐谐振振电电路路有有其其不不同同的的特特征征，要要进行具体分析，不能简单搬用。进行具体分析，不能简单搬用。由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。电压，即对电压也具有选择性。8. 4 GCL并联电路的谐振并联电路的谐振RLC+_R0如图串联谐振电路的品质因数：如图串联谐振电路的品质因数：RLC串联谐振电路的局限：串联谐振电路的局限：R一般很小，一般很小，Q可以做到很大。可以做到很大。当接入信号源时：当接入信号源时：当信号源内阻当信号源内阻R0很大时，会使得回路的实际品质因数很大时，会使得回路的实际品质因数Q大大大降低，选频性能变得很差。大降低，选频性能变得很差。一、简单一、简单 GCL 并联电路并联电路对偶：对偶：R L C 串联串联G C L 并联并联+_GCL 故故RLC串联谐振电路只适合于低内阻电源。当电源内串联谐振电路只适合于低内阻电源。当电源内阻抗很大时（如理想电流源），需采用并联谐振电路。阻抗很大时（如理想电流源），需采用并联谐振电路。R L C 串联串联G C L 并联并联|Z| 0 0O OR 0 OI( )U/R 0 OU( )IS/G|Y| 0 0O OGR L C 串联串联G C L 并联并联电压谐振电压谐振电流谐振电流谐振UL0 =UC0=QUIL0=IC0=QIS 二二 、电感线圈与电容并联、电感线圈与电容并联 上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现象也就较为复杂。象也就较为复杂。谐振时谐振时 B=0，即即由电路参数决定。由电路参数决定。求得求得CLR此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。会发生谐振。 当电路满足当电路满足R 很小很小（电感线圈损耗很小）（电感线圈损耗很小） 工作在工作在谐振角频率谐振角频率 0附近附近时：时：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：工作在工作在 0附近附近R 很小很小CLR(a)CL(b) 图图(a)的近似等的近似等效效注意两个注意两个表达式的表达式的区别区别讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：(a)LC(b)LC图图(a)发发生生串串联联谐谐振振时时Z=0（短短路路），图图(b)发发生生并并联联谐谐振时振时Z= （开路）开路）。例：例： 激励激励 u1(t)，包含两个频率包含两个频率 1、 2分量分量 ( 1 1 ，滤去高频，得到低频。滤去高频，得到低频。讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：(a)(b)8. 5 * 串并联电路的谐振（串并联电路的谐振（不讲不讲）L1L3C2L1C2C3上上述述电电路路既既可可以以发发生生串串联联谐谐振振(Z=0)，又又可可以以发发生生并并联联谐谐振振(Z= )。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。对对(a)电电路路，L1、C2并并联联，在在低低频频时时呈呈感感性性。随随着着频频率率增增加加，在在某某一一角角频频率率 1下下发发生生并并联联谐谐振振。 1时时，并并联联部部分呈容性，在分呈容性，在某一角频率某一角频率 2下可与下可与L3发生串联谐振。发生串联谐振。对对(b)电电路路可可作作类类似似定定性性分分析析。L1、C2并并联联，在在低低频频时时呈呈感感性性。在在某某一一角角频频率率 1下下可可与与C3发发生生串串联联谐谐振振。 1时时，随随着着频频率率增增加加，并并联联部部分分可可由由感感性性变变为为容容性性，在在某某一一角角频频率率 2下发生并联谐振。下发生并联谐振。定量分析：定量分析：(a) 当当Z( )=0，即分子为零，有：即分子为零，有：可解得：可解得：当当Y( )=0，即分母为零，有：即分母为零，有：可见，可见， 1 2。(b)分别令分子、分母为零，可得：分别令分子、分母为零，可得：串联谐振串联谐振并联谐振并联谐振阻抗的频率特性：阻抗的频率特性： 1 X( )O 2Z ( )=jX( ) 1 X( )O 2(a)(b)其它形式的滤波电路：其它形式的滤波电路：L2L1C2L3C1C3L2L1C2C1L3C3带通滤波器带通滤波器 (band-pass filter)带阻滤波器带阻滤波器 (band elimination filter)静止无功补偿装置(SVC)中的谐振型滤波器：8. 6 非正弦周期信号激励下的稳态分析非正弦周期信号激励下的稳态分析f(t)t0TA(a) 方方波波-Af(t)t0TA(b) 锯齿波锯齿波f(t)tTA(c) 三角波三角波-A-f(t)tTA(d) 全波整流全波整流-f(t)tTA(e) 半波整流半波整流-典型非正弦典型非正弦周期信号周期信号一、非正弦周期信号表为傅立叶级数一、非正弦周期信号表为傅立叶级数周期信号周期信号 f(t)（满足满足狄里赫利条件狄里赫利条件时）一般可表为傅立叶时）一般可表为傅立叶级数，即：级数，即：其中：其中：f(t) 也可展为：也可展为：其中：其中： 周期信号一般都可以展为如上傅立叶级数，但不同周期信号一般都可以展为如上傅立叶级数，但不同的周期信号其傅立叶展开式中所含谐波成分不同，且各的周期信号其傅立叶展开式中所含谐波成分不同，且各次谐波的幅度和相位也不同。次谐波的幅度和相位也不同。f1(t)tTA三角波三角波-A-f2(t)全波整流全波整流tTA-(a) 周期矩形脉周期矩形脉冲冲us(t)(v)t(s)0T20+-us(t)5 FuR(t)+-(b)例：例：如图如图 (a)所示周期矩形脉冲作用与图所示周期矩形脉冲作用与图(b)电路，周期电路，周期T=6.28 s，求求uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波）的稳态响应。（计算至五次谐波）解：解：将将us(t)作傅氏作傅氏展开：展开：基波基波角频率角频率us5us0us1us3us05 FuR(t)+-us3us5+-us1当当直流成分直流成分us0=10V单独作用时，电容视为开路，单独作用时，电容视为开路， uR0=0基波成分基波成分（ =1rad/s)单独作用时如图单独作用时如图(c)(c) =1+-5 +-j15 三次谐波成分三次谐波成分（ =3rad/s)单独作用时如图单独作用时如图(d)(d) =3+-5 +-j5 五次谐波成分五次谐波成分（ =5rad/s)单独作用时如图单独作用时如图(e)(d) =5+-5 +-j3 将各次将各次谐波响应的瞬时值叠加：谐波响应的瞬时值叠加：思考：思考：各次谐波响应相量能否叠加各次谐波响应相量能否叠加？各次谐波引起的各次谐波引起的响应频率不同响应频率不同二、非正弦周期信号的有效值和功率二、非正弦周期信号的有效值和功率1.有效值有效值设设周期信号周期信号u(t)的的傅立叶展开式为：傅立叶展开式为：（均方根）均方根）考虑被积函数中四项：考虑被积函数中四项：(k=n)利用三角函数的利用三角函数的正交性正交性，两项在周期内积分为零。两项在周期内积分为零。故：故：即：即： 周期信号的有效值等于直流及各次谐波有效周期信号的有效值等于直流及各次谐波有效值的平方和开方。值的平方和开方。例：例：已知电流已知电流i(t)=4+10sin t+5sin3 t+2sin5 t mA，求其求其有效值有效值I。解：解：解：解： 错误解法错误解法：正确解法：正确解法：2.非正弦周期信号电路的功率非正弦周期信号电路的功率N0u(t)i(t)+-无源二端网络无源二端网络设：设：（1）瞬时功率）瞬时功率p(t)p(t)=u(t)i(t)可见，可见，u,i 中不论谐波电压与电流的频率是否相同，均构中不论谐波电压与电流的频率是否相同，均构成瞬时功率的一部分。成瞬时功率的一部分。（2）平均功率）平均功率对对p(t)求平均，求平均，p(t)中第中第2、3、5项对积分的贡献为零（项对积分的贡献为零（正交性正交性）（1）周期信号的平均功率等于直流功率与各次谐波平均周期信号的平均功率等于直流功率与各次谐波平均功率之和。功率之和。（2）不同频率的电压、电流间不构成平均功率。（构成）不同频率的电压、电流间不构成平均功率。（构成瞬时功率）瞬时功率）即：即：上式表明上式表明：例：例： 如图，求单口网络的平均功率如图，求单口网络的平均功率P，已知：已知：N0u(t)i(t)+-解：解：例例:如图如图(a)电路，电路，Is= 2A，求（求（1）R的平均功率的平均功率PR。（。（2）若若将将Is换成换成is=2+2costA的电流源，重求的电流源，重求PR 。（。（3）若将若将Is换成换成2cos2t A的电流源，再求的电流源，再求PR 。解解：（1）当）当Is= 2A时，显然时，显然R上的直流功率上的直流功率PR0=0左边电压源单独作用时如图左边电压源单独作用时如图(b)，有：有：-+2cos2t1H0.25FR1 1 Is(a)-+j2 1 (b) =2rad/s-+j2 1 1 -j2 +-故故两电源同时作用时：两电源同时作用时：（2）若将）若将Is换成换成is=2+2costA的电流源的电流源由于电源各成分频率不同，故平均功率可以叠加。由于电源各成分频率不同，故平均功率可以叠加。右边电流源中右边电流源中2cost成分单独作用时如图成分单独作用时如图(c)j1 1 1 (c) =1rad/s-j4 +-（分压分压）左边左边2cos2t电压源单独作用时电压源单独作用时2A直流电流源单独作用时直流电流源单独作用时 PR0=0 （已求）已求）故各电源成分同时作用时故各电源成分同时作用时另：另：也可写出也可写出uR的的瞬时表达式瞬时表达式（3）若将若将Is换成换成2cos2t A电流源电流源此时它与左边电压源同频率，平均功率不能叠加。此时它与左边电压源同频率，平均功率不能叠加。但瞬时响应电压、电流可以叠加。如图但瞬时响应电压、电流可以叠加。如图(d)+-+j2 1 1 (d)-j2 abuLiLucic1 1A+-+-+-+-+-+-+-1V