1 1普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系2 2普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系圆心角的度数等于它所对的弧的度数。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.半半 圆圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角; 90的的圆周角所对的弦是直径圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆上一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半。圆周角定理圆周角定理圆心角定理圆心角定理推论推论1推论推论2【温故知新温故知新】3 3普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系二二.圆内接四边形圆内接四边形的性质与判定定理的性质与判定定理圆内接多边形圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边所有顶点都在一个圆上的多边形形.这个圆称这个圆称多边形的外接圆多边形的外接圆.思考思考: 任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆.那么那么 任意正方形有外接圆吗任意正方形有外接圆吗?为什么为什么? 任意矩形有外接圆吗任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢等腰梯形呢? 一般地一般地, 任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?ABCDOABCDADBCDABC4 4普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系如果一个四边形内接于圆如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征那么它有何特征?DABC如图（如图（1）连接OA,OC.则B= . D=性质定理性质定理1 圆内接多边形的对角互补圆内接多边形的对角互补将线段将线段AB延长到点延长到点E,得到图（得到图（2）（1）DABCE（2）性质定理性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。5 5普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系性质定理性质定理1 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补性质定理性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 性质定理的逆命题成立吗？性质定理的逆命题成立吗？6 6普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求求证：A,B,C,D在同一在同一圆周上（周上（简称四点共称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：明：(1)如果点如果点D在在 O外部。则外部。则（1）（2）AEC+B=180因因B+D=180得得 D=AEC与与“三角形外角大于任意三角形外角大于任意不相邻的内角不相邻的内角”矛盾。故点矛盾。故点D不可能在圆外。不可能在圆外。(2)如果点如果点D在在 O内部。则内部。则B+E=180B+ADC=180E=ADC同样矛盾。同样矛盾。点点D不可能在不可能在 O内。内。综上所述，点综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。只能在圆周上，四点共圆。7 7普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种通过对每一种情形分别论证情形分别论证,最后获证结论的方法最后获证结论的方法-穷穷举法举法推论推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆那么它的四个顶点共圆. DABCE8 8普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系例例1 如图，如图， 都经过都经过A,B两点。经过点两点。经过点A的的直线直线CD与与 交于点交于点C,与与 交与点经过点交与点经过点B的直的直线线EF与与 交于点交于点E,与与 交与点交与点F.ACDEBF证明证明：连接：连接ABBAD=E. BAD+F=180 E+F=180 CE/DF . 求证：求证：CE/DF.四边形四边形ABEC是是 的内的内接四边形。接四边形。 四边形四边形ADFB是是 的内的内接四边形。接四边形。 9 9普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系例例2 如图，如图，CF是是ABC的的AB边上的高，边上的高，FPBC,FQAC.求证求证：A,B,P,Q四点共圆四点共圆AFBPQC证明：连接证明：连接PQ。在四边形在四边形QFPC中，中，FPBC FQAC.FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。四点共圆。QFC=QPC.又又CFAB QFC与与QFA互余互余.而而A与与QFA也互余也互余.A=QFC.A=QPC. A,B,P,Q四点共圆四点共圆1010普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系习题习题2.21.AD,BE是是ABC的两条高，的两条高，求证：求证：CED=ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。一个圆周上。CABEDo3.如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长内接于圆，延长AB和和DC相相交于交于E,EG平分平分E,且与且与BC,AD分别相交于分别相交于F,G. 求证：求证： CFG=DGF.ABEFGDC1111普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系1212普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系三三. 圆的切线的性质及判定定理圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系:相交相交-有两个公共有两个公共点点相切相切-只有一个公共点只有一个公共点相离相离-没有公共点没有公共点1313普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系切线的性质定理切线的性质定理:O切线的性质定理切线的性质定理逆命题是否成立逆命题是否成立?M反反证证法法推论推论1: 经过经过圆心圆心且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过切点切点.推论推论2: 经过经过切点切点且垂直于切线的直线必经过且垂直于切线的直线必经过圆心圆心.这与线圆相切矛盾这与线圆相切矛盾.思考思考:圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直假设不垂直,作作OM因因“垂线段最短垂线段最短”,故故OAOM,即圆心到直线距离小于半径即圆心到直线距离小于半径.A1414普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系切线的判定定理切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在RtABO中OBOA=r故B在圆外1515普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系例例1 如图如图,AB是是 O的直径的直径, O过过BC的中点的中点D,DEAC.求证求证:DE是是 O是切线是切线.证明证明:连接连接OD. BD=CD,OA=OB,OD是是ABC的中位线的中位线,OD/AC.又又DEC=90ODE=90又又D在圆周上在圆周上,DE是是 O是切线是切线.AOBDCE1616普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系例例2 如图如图. AB为为 O的直径的直径,C为为 O上一点上一点,AD和过和过C点的切线互相垂直点的切线互相垂直,垂足为垂足为D.求证求证:AC平分平分DAB.ABOCD证明证明:连接连接OC, OCCD.又又ADCD,OC/AD.由此得由此得 ACO=CAD.OC=OA. CAO=ACO. CAD=CAO.故故AC平分平分DAB.CD是是 O的切线的切线,1717普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系习题习题2.31.如图如图,ABC为等腰三角形为等腰三角形,O是底边是底边BC的中点的中点, O与腰与腰AB相切于点相切于点D.ABOCD求证求证:AC与与 O相切相切.E1818普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系2.已知已知:OA和和OB是是 O的半径的半径,并且并且OAOB,P是是OA上任意一点上任意一点,BP的延长线交的延长线交 O于于Q.过过Q作作 O的切的切线交线交OA的的延长线于延长线于R,.求证求证:RP=RQBOPARQAQO= APQ1919普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系3.AB是是 O的直径的直径,BC是是 O的切线的切线,切点为切点为B,OC平平行于弦行于弦AD.求证求证:DC是是 O的切线的切线.AOBCD1324COD与COB全等2020普通高中普通高中课程数学程数学选修修4-1 第二第二讲 直直线与与圆的位置关系的位置关系思考思考:当当P由圆内移动到圆外是由圆内移动到圆外是,有何结论有何结论?BC与与AD的度数差的一半等于的度数差的一半等于APD的度数的度数.DACBPAD的度数与的度数与BC的度数和的一半等于的度数和的一半等于APD的度数的度数.DACBPEAB与与CD相交于圆内一点相交于圆内一点P.证明证明: ACD= AD P= BAC- ACP即即APD的度数等于的度数等于 BC与与AD度数的一半度数的一半.圆内角定理圆内角定理:且且BAC= P+ ACPCAB= BC