第四章： 圆一、知识回顾圆的周长 ： C=2r 或 C=d、圆的面积 ：S=r 2圆环面积计算方法： S=R 2- r 2或 S=（R 2-r 2）(R 是大圆半径， r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系rddCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdRr；内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；图 1rRd图 3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，图 2rRd图4rRd图 5rRdOEDCBAOCDAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF； 弧BA弧BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径推论 3： 若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。EDCBANMAOPBAOPODCBAOEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO 垂直平分AB。即：1O 、2O 相交于A、B两点12OO 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在RtOAE中 进 行 ，:1:1:2OEAE OA：DECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAOECBADO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - （3）正六边形同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行 ，:1 :3 : 2A BO BO A.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形： （1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）A圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhrB圆柱的体积：2Vr h（2）A圆锥侧面展开图SSS侧表底=2RrrB圆锥的体积：213Vr hBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -