学习必备欢迎下载解析几何高考第一问训练（第一课时）高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通学校来说还是非常重要的，而第一问常考查动点的轨迹，求直线方程，圆锥曲线方程中的基本量，近年来，又加入了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考查的还不多。例一（2004. 辽宁卷）（本小题满分12 分）设椭圆方程为1422yx，过点 M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、 B，O 是坐标原点，点 P 满足)(21OBOAOP，点 N 的坐标为)21,21(，当 l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；解答：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分 12 分. （1）解法一：直线l 过点 M（0，1）设其斜率为k，则 l 的方程为.1kxy记),(11yxA、),(22yxB由题设可得点A、B 的坐标),(11yx、),(22yx是方程组14122yxkxy的解 . 2分将代入并化简得，032)4(22kxxk，所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP6 分设点 P 的坐标为),(yx则.44,422kykkx消去参数k 得0422yyx当 k 不存在时， A、B 中点为坐标原点（0， 0） ，也满足方程，所以点P 的轨迹方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载程为.0422yyx8 分解法二：设点P 的坐标为),(yx，因),(11yxA、),(22yxB在椭圆上，所以, 142121yx.142222yx得0)(4122212221yyxx，所以.0)(41)(21212121yyyyxxxx当21xx时，有.0)(4121212121xxyyyyxx并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx将代入并整理得.0422yyx当21xx时，点 A、B 的坐标为（ 0，2） 、 （0， 2） ，这时点 P 的坐标为（ 0，0）也满足，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122yx8 分例二（2004.湖南理）（本小题满分12 分）如图，过抛物线x2=4y 的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点. （I）设点 P 分有向线段AB所成的比为，证明 :)(QBQAQP；31解： （）依题意，可设直线AB 的方程为,mkxy代入抛物线方程yx42得.0442mkxx设 A、B 两点的坐标分别是),(11yx、122),(xyx则、x2是方程的两根. 所以.421mxx由点 P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得.,012121xxxx即又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（ 0， m） ，从而)2, 0(mQP. ).)1(,(),(),(21212211myyxxmyxmyxQBQA)1(2)(21myymQBQAQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载221212122212144)(2)1(442xmxxxxmnxxxxxxm.0444)(2221xmmxxm所以).(QBQAQP例三(2004. 天津卷 )（本小题满分14 分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(ccF的准线l与x轴相交于点A，|2|FAOF，过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点。(I) 求椭圆的方程及离心率；(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算: (I) 解：由题意，可设椭圆的方程为22221(2).xyaab由已知得2222,2().acaccc解得6,2.ac所以椭圆的方程为22162xy，离心率6.3e（课后训练）1.（2004.江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F（-m,0）(m 是大于0 的常数 ). ()求椭圆的方程； ：答案：（1）2222143xymm2 （2004. 福建理）（本小题满分12 分）如图， P 是抛物线C：y=21x2上一点，直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q. （）若直线l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ 中点 M 的轨迹方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载答案： . 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法解： （）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10 ，y10，y20. 由 y=21x2，得 y=x. 过点 P 的切线的斜率k切= x1，直线 l 的斜率 kl=切k1=-11x，直线 l 的方程为y21x12=11x(xx1)，方法一：联立消去y，得 x2+12xxx122=0. M 是 PQ 的中点x0=221xx=-11x，y0=21x1211x(x0 x1). 消去 x1，得 y0=x02+2021x+1(x0 0) ，PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x 0).方法二：由 y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx，得 y1y2=21x1221x22=21(x1+x2)(x1 x2)=x0(x1x2)，则 x0=2121xxyy=kl=-11x，x1=01x，将上式代入并整理，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载y0=x02+2021x+1(x0 0) ，PQ 中点 M 的轨迹方程为y=x2+2021x+1(x 0).3 （2004.湖北理）（本小题满分12 分）直线12:1:22yxCkxyl与双曲线的右支交于不同的两点A、B. （ I）求实数k 的取值范围；答案：本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12 分. 解： （）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122yxCkxyl.022)2(22kxxk 依题意，直线l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222kkkkkkkk的取值范围是解得5. （04. 上海春季高考）(本题满分18 分)本题共有3 个小题 ,第 1 小题满分4 分 ,第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知倾斜角为45的直线l过点)2,1(A和点B，B在第一象限，23| AB. (1) 求点B的坐标；(2) 若直线l与双曲线1:222yaxC)0(a相交于E、F两点， 且线段EF的中点坐标为)1,4(，求a的值；答案：(1) 直线AB方程为3xy，设点),(yxB，由18) 2()1(322yxxy及0x，0y得4x，1y，点B的坐标为)1,4(。（2）由13222yxyax得0106) 1(212xxa，设),(,),(2211yxFyxE，则4221621aaxx，得2a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载解析几何第一问 (第二课时 ) 例一 椭圆 C 的中心在原点， 焦点 F1、F2在 x 轴上， 点 P 为椭圆上的一个动点，且 F1PF2的最大值为90 ，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为12（1）求椭圆C 的离心率；答案： ）设cFFrPFrPF2| ,| ,|212211, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e例二 知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:yxl上 . （）求此椭圆的离心率；答案：设A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa） . 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa故椭圆的离心率为22e. 例三 线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点 . （1）求证：2214pxx; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载讲解 : （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若 lx 轴，则 l 的方程为4,2221PxxPx显然. 若 l 不垂直于 x 轴， 可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4, 04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （课后练习）04 北京 文史第 17 题，本小题满分14 分）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2） ，A（xy11,） ，B（xy22,）均在抛物线上。（I）写出该抛物线的方程及其准线方程（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求yy12的值及直线AB 的斜率y P O x A B 22 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0） （0c）的准线l与 x 轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OQOP，求直线PQ 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页