优秀学习资料欢迎下载奥狐杯竞赛三角函数第二讲：和差化积、积化和差、三倍角、万能公式等练习1.和差化积、积化和差公式（高考需要掌握）1） 和差化积公式sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin222)积化和差公式1sincossinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos22.三倍角公式（自招竞赛要求）3sin33sin4sin4sinsin 60sin 603cos34cos3cos4coscos 60cos 60323tantantan3tantan 60tan 6013tan例（北约 2013）对于任意的，求2cos154cos66coscos326的值3.万能公式（ 高考要求 ）22tan2tan1tan2，22tan2sin1tan2，221 tan2cos1tan24.等差角正余弦求和（自招竞赛要求 ）1cossin22coscoscos2cossin2nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载1sinsin22sinsinsin2sin2nnn5.“点鞭炮”公式（自招竞赛要求）1sin 2coscos2 cos4cos22 sinnnn二经典例题例 1. 求值sincossincossinsin71587158分析一： 要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数。注意到7158与和的关系，本题采用积化和差与和差化积公式求解。解法一： 原式 =sin(sinsin)cos(coscos)712237712237sinsincoscossincoscoscostantan()tantantantan23723721582158154530453014530133133313123分析二： 利用7158这一特点，用两角差的正弦、余弦公式求解解法二： 原式 =sin()cossincos()sinsin158158158158sincoscossincossincoscossinsinsinsinsincoscoscostancossin15815815815815815815815815130301321223评述： 解法一属常规方法，只要公式记忆准确就可以完成。解法二，简洁明快，它的巧妙之处在于拆角上。因此，观察是前提，交换是关键，全面的观察和透彻的分析可避免盲目精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载推演，本题解法二抓住7158这一等角变换不仅避免了和积互化，而且也能更好地考查推理运算能力。例 2. 化简：coscos ()cos ()2222343AAA分析：先利用二倍角公式降次，再和差化积， 最后用诱导公式将此三角函数式化到最简。解： 原式=1221432218322coscos()cos()AAA)22cos(2cos212332cos)22cos(22cos2123)238cos()234cos(2cos2123AAAAAAA232cos2cos2123AA评述： 本题求解过程中要注意倍角降次的作用，以及和差化积的使用，最后能求出值的一定要求出值来。例 3. 证明：tantansincoscos32222xxxxx分析： 本题可以采用从左向右证，即切化弦，也可以从右向左证，把弦的问题转化成切的问题，还可以左右同时向第三个式子证（此方法对本题而言略显繁琐），下面给出前两种证法，证明过程中所用公式有相同的，也有不同的，各有各的特点。证法一： 左边 =tantansincossincos322323222xxxxxxsincoscossincoscossin()coscossin(coscos )sincoscos32232232232232212222xxxxxxxxxxxxxxxx右边等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载证法二： 右边 =2222322sincoscossincoscosxxxxxxsin()coscossincoscossincoscossincossincostantan322322322322322323222322xxxxxxxxxxxxxxxx左边评述： 证法一是将“切化弦” ，是常用方法。证法二是变角，分项，具有逆向思维的特点，这也是一种重要的思维方法。例 4. 求值：(cottancottan) tan1818363636分析： 从结构看：既有正切，又有余切，不统一，为此，可全部化为正切原式 =(tantantantan) tan7218543636注意到：721890543690，可利用正切的和差化积公式：tantansincossincossin()coscos化简解： 原式(tantantantan) tan721854363636cos36sin18cos36sin18cos54sin436tan72sin36sin)36sin72(sin236tan)72sin236sin2(36tan)36cos36sin118cos18sin1(36tan)36cos54cos)3654sin(18cos72cos)1872sin(36tan)36cos36sin54cos54sin18cos18sin72cos72sin(436cos54sin4评述： 要注意观察式中角的关系与函数名称的关系，选择恰当三角公式解题。从不同角度观察问题，探索多种解法， 从中总结出一般的解题规律和常见的解题技巧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载例 5. 在 ABC中，求证coscoscossinsinsin22222222222ABCABC。分析： 这是有附加条件的三角恒等证明ABCABCABCABCC222sin()sin()sincos()cos()cossinsin()cosABCCABCC2222等在证明时， 左边先用倍角降次，再利用和差化积以及上面附加条件中的结论，就可将其化简，整理合并后即等于右边。证明： 左边 =121212coscoscosABC3212(coscoscos )ABC3212(coscos)cos()ABAB右边2Bsin2Asin2Csin22212Bsin2Asin22BAcos23 1)2BAcos2BA(cos2BAcos22123 12BAcos22BAcos2BAcos221232评述： 本题是在ABC的条件下，考查运用倍角公式、和差化积、诱导公式对三角函数式进行变形化简的能力，这类题目在证明过程中，常用到：sin()sincos()cossincoscossinsin()sincos()cosABCABCABCABCABCABC，2222222222失误分析： 不能正确的使用在ABC中，这个附加条件。三角公式不熟练，致使思路受阻。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载二、随堂练习一. 选择题： 1. sincossinsin20701050值是（）A. 14B. 32C. 12D. 34 2. 积coscos()cos()2323化成和差为（）A. cos3B. 143cosC. 183cosD. cos31 3. sin()cos()44化成和差为（）A. 1212sin()cos()B. 1212cos()sin()C. 1212sin()sin()D. 1212cos()cos() 4. cotcos70470的值为（）A. 33B. 3C. 2 3D. 32 *5. 已知，则()(sinsin)coscos03（）A. 23B. 3C. 3D. 23 6. sinsinsinsin6933933的值等于（）A. 23B. 23C. 624D. 624 7. (coscoscos)(coscoscos)73757274767的值为（）A. 12B. 12C. 14D. 1 8. 若04，sincossincosab，则（）A. ab C. ab2 二. 填空题： 9. 求值：sincossincos10708020_ 10. 求值：csccot4080_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载 11. 化简：1221232sincoscos_ *12. 求值：34812482182tansecsin_ 三. 解答题： 13. 已知sinsincoscostan()1413，求的值。 14. 化简cossincos ()cossincos()222。 *15. 已知cos()coscos()，的倒数成等差数列，(2kkZ)，求证：coscos2222。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载综合测试答案一. 选择题 1. A 解法一：原式129050126040sinsin()coscos()12125012121240141250125014sincossinsin故选 A 解法二： 原式 =cossinsin27050101140212604012124014124014cos(coscos)coscos 2. B 解： 原式cos(coscos)1243214122141431414314143coscoscoscos(coscos)coscoscoscos故选 B 3. B 解： 原式122sin()sin()1212cos()sin()故选 B 4. B 解析：cotcos7047070sin70cos70sin470cos70cos470sin70cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载20cos50cos10cos20cos50cos10cos60cos270sin50cos50cos70cos70sin140sin270cos23020203coscoscos故选 B *5. D 分析： 由3(sinsin)coscos2 32222232232223sincossinsincossincossintan即，得，故()()02222323故选 D 6. C 解析： 原式 =236332363cossincossin236333436181541818361815236361815721815624cos(sinsin)cossincossincoscoscoscossincoscoscossincoscos故选 C 7. C 解析：(coscoscos)(coscoscos)73757274767精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载72sin76cos72sin74cos72sin72cos72sin7sin75cos7sin73cos7sin7cos7sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin2747276747274767278747227121214()故选 C 8. A 分析： 本题解法很多，下面只介绍“和差化积”的解法。其它方法请同学们自己去做。解：04820024，ab(sinsin)(coscos )2222222222cossinsinsinsin(cossin)sincossin202200上式，故ab故选 A 二. 填空题： 9. 23解： 原式=sinsincoscossincoscoscostan10201020215521551523 10. 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载解析： 原式 =14080802408080sincossincoscossincoscoscossincoscoscoscoscoscos40260208040201023010102323 11. sin12解析：122123211211212122121221212sincoscossincoscoscossincossincoscossin *12. 12解析： 原式 =348481248136sincoscoscos348482136483013618361723612541812181836181sincoscossin()cossincoscoscossinsinsincoscoscossincoscossincoscoscos363618172218118218112112三. 解答题： 13. 解： 由已知得：sinsinsincos22214coscoscoscos22213两式相除得tan234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载tan()tantan( )221223413424722 14. 分析： 利用降幂公式，和差化积、积化和差公式逐步化简。解： 原式=121212122(cos)(cos)cos ()cossincos()122222(coscos)cos ()cossincos()cos() cos()cos ()cossincos()cos()cos()cos()cossincos()22coscoscossincot说明： 把一个复杂的三角函数式逐步变形，使之越来越接近目标，或化为最简式， 在三角函数的恒等变形连续化简的过程中，合理准确地选取三角公式，会帮你节省精力走近路。一看角，二看三角函数，三看式子特征是三角变形的总的策略和方向。 *15. 证明： cos()coscos()，的倒数成等差数列2112coscos()cos()coscos()cos()cos() cos()2212222222212122222121222222222coscos cos(coscos)coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos(cos)(cos)即：210122222222kcoscoscoscoscoscos即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载三、思考题1.1sinsin3xy，1coscos5xy，求sin()xy与cos()xy的值 .（华约自招 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页