抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出， 只给出函数记号 f(x) 的一类函数 . 这类函数解决起来较抽象， 但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。 因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点, 从而使问题得以解决。这类问题经常出现, 要认真理解其解题的要领和方法。例 1 设函数 f(x) 的定义域为自然数集， 若 f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数 x,y 恒成立，且 f(1) = 1，求 f(x) 的解析式。分析: 当令 y=1 时, 可得 f(x 1)=f(x)x1, 这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。解：令 y = 1, 则 f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 ,f(n) = f(n1) +n 各式相加得： f(n) = 1+2+3+, +n = f(x) = 例 2 已知函数 f(x) 满足 f(x+y) f(x y) = 2 f(x) f(y)，xR, yR,且 f(0) 0，求证： f(x) 是偶函数。分析: 当令 x=y=0 时, 可得 f(0)=1,再利用题中条件变形求解。证明：令 x = y = 0 f(0) +f(0) = 2f 2 (0) f(0) 0, f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(y) = 2f(0) f(y) f( y) = f(y), y R, f(x)是偶函数例 3 已知函数 f(x) 的定义域为 (0 , + ) ，对任意 x 0, y 0 恒有 f(xy) = f(x) + f(y) 求证：当 x 0时, f( ) = f(x) 分析: 当令 x=y=1 时, 可得 f(1)=0,再灵活运用 f(1)=f(x)可求得。证明：令 x = y = 1，则 f(1) = f(1) + f(1)， f(1) = 0 又令 y = ，x 0 ，则 f(1) = f(x) + f( ) f(x) + f( ) = 0 即 f( ) = f(x) 二 定义法在熟练掌握函数的定义、 性质的基础上， 对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。例 4 函数 f(2x) 的定义域是 1,1, 则 f(x) 定义域为f(log2x) 定义域为 _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 分析: 认真理解复合函数定义域的定义, 区分好题中三个定义域所指的变量x。解：1x1 2x2 f(x)定义域为 , 2 log2x2 x4 f(log2x) 定义域为 ,4 例 5 已知 f(x) 是周期为 2 的偶函数，且在区间 0,1 上是增函数，则f( 6.5) 、f( 1)、f(0) 的大小关系为 _ 分析: 利用周期性 , 把各个变量表示在同一区间内, 再结合其单调性 , 求出相应的函数值 , 比较大小。解： f(x) 是周期为 2 的偶函数 f( 6.5) = f(6.5+ 3 2)= f(0.5) = f(0.5) f( 1) = f(1) 又f(x) 在0,1 上是增函数， f(0) f(0.5) f(1) 故 f(0) f(6.5) 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当 x 0 时，f(x) 的解析式。分析: 利用变量间的代换 , 把 x0, 先求出相应 f( x), 再结合函数的奇偶性 , 求出 f(x) 。解： 令 x 0 f( x) = (x)(1 x) 又f(x) 是奇函数f(x) = x(1 x) f(x) = x(1x) 例 8 已知 f(x) 是周期为 2 的函数，且在区间 1,1 上表达式为f(x)= x1 则在2k+1 ,2k+3 , kZ 上的表达式为 _ 分析: 利用周期性把要求区间转化为已知的区间, 结合条件求出表达式。解：设 t 1,1 ，则 2k+2+t2k+1 ,2k+3 , 令 T = 2k+2+t ，则 t = T 2k2 又f(x) 是周期为 2 的函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - f(2k+x) = f(x) f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = t+1= (T2k2)+1=T+2k+3 f(x) = x+2k+3 ,x 2k+1 ,2k+3 四、图象法即借助图形或图像的直观性， 数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效 , 它避开了一些烦杂的计算 , 必须认真地体会 . 例 9 若奇函数 f(x) 在区间 3,7 上是增函数，且最小值为5，最大值为 7，试判断在 7, 3 上的单调性及最值情况分析: 利用题中条件 , 结合奇函数图象关于原点对称, 可求出 f(x) 在相应区间的情况 . 解：根据奇函数的图象关于原点对称的性质不妨作图如下：由图可知f(x) 在 7, 3 上是增函数最小值为 7，最大值为 5 例 10已知 y = f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间 0 ,1 上的图象 , 如图所示线段 AB ，则在区间 1,2 上，f(x) 的解析式是 _ 分析: 利用函数为偶函数 , 可画出 1,0 的函数图象 , 再利用周期性可得到1,2 的图象 , 最后根据图象的情况求出解析式。解：f(x) 是偶函数，周期为2，故可知 f(x) 在1,2 的图象为线段 BC ，其中 B（1,1 ）,C(2,2) 故在1,2 上 f(x) 的解析式为 y = x 例 11 已知 f(x) 是 R上的奇函数，当x0的解为 _ 分析: 利用函数的奇偶性及在x0 的图象情况 ,故可解出在 xR,f(x)0的解。解： f(x) 在 R上是奇函数且 f(x)在 x0 为减函数又f(2) = 0，f( 2) = 0, 可知 f(x) 在 R上的图象大致如右图：故 f(x) 0的解为 x2 或 0x2 五、其他有少部分抽象函数的问题， 它们必须灵活运用题中的条件， 在特定的环境下，运用学过的知识和性质来寻找问题的解决。例 12 若 f(x) 是 R上的减函数，且f(x) 的图象经过点 A(0,3) 和B(3, 1) ，则不等式 |f(x+1)1| 2的解为 _ 分析: 由 A(0,3),B(3,1)可知 f(0)=3,f(3)=1再结合 f(x) 在 R上是减函数 ,可求得不等式的解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解： |f(x+1)1| 2 1 f(x+1)3 又 f(3) = 1 ,f(0 ) = 3 f(3) f(x+1) f(0 ) 又 f(x)是 R上的减函数 0x+13 1x 0，求证 Tn+1Tn (nN) 分析: 通过赋值可解 1), 再结合题中条件利用放缩法可求得2) 解：1)f(ab) = af(b) + bf(a) 令 a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0) f(0) = 0 令 a = b = 1 , f(1) = 0 2) Tn = f(2n) ，且 Tn 0，nN f(2) 0 Tn+1 = f(2 n+1) = f(22n) = 2f(2n) + 2 nf(2) 2TnTn以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。希望通过上面的举例 , 能让同学们理解掌握这类问题的常用求法, 并能达到举一反三 , 触类旁通的效果。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -