目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数可用对数说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:求导法求导 :高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,两边取对数两边对 x 求导高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, 对 x 求导两边取对数高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得记记高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 ?例例4. 设, 且求已知解解:练习练习: 书P112 题8(1)解解:注意注意 :对谁求导? 高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设由方程确定函数求解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: 对 t 求导已知求高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 试求当容器内水例例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为点击图中任意处动画播放暂停高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 2. 设求提示提示: 分别用对数微分法求答案答案: :高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 3. 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五节 高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数 .解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导备用题备用题1. 设高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 , 求解解：方程组两边同时对 t 求导, 得 2. 设高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版隐函数求导